2019-2020学年北师大版九年级数学上册第四章：图形的相似复习学案(无答案)

2019秋北师大版九年级数学上册第四章图形的相似复习学案


知识回顾与例题讲解
1、线段的比与成比例线段
? 相关定义：
? 线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段,的长度分别是，，那么就说这两条线段的比，或者写成。其中，线段，分别叫做这个线段比的前项和后项。如果把表示成比值，那么，或
? 比例线段：四条线段，，，中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段，，，叫做成比例线段，简称比例线段
? 比例线段性质：
? 如果，那么
? 如果(，，，都不等于0)，那么
? 如果，那么
? 如果，那么
? 例题：
(1) 若∶3 =∶4 =∶5 , 且, 则；
(2) 已知∶∶= 3∶4∶5 , 且, 那么；
(3)若, 则；
(4) 已知∶4 =∶5 = z∶6 , 则 ①∶∶z = , ② ∶；


2、黄金分割
? 定义：如下图所示，设点是线段上一点，点把线段分成两条线段和，若，妈妈称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与叫做黄金比







? 例题
（1）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
（2）如图是一种贝壳的俯视图，点分线段近似于黄金分割．已知=10cm，则的长约为 cm．（结果精确到0.1cm）











3、相似多边形
? 相似多边形：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形
? 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比


4、相似三角形
? 定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。与相似，记作
? 两个三角形相似与否的判定定理
? 两角对应相等的两个三角形相似
? 三边对应成比例的两个三角形相似
? 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
? 例题：
(1) 三角尺在灯泡的照射下在墙上形成影子（如图4所示）.现测得，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 ．
(2) 如图8所示，给出下列条件：
①；②；
③； ④．
其中单独能够判定的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
(3) 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）










5、相似多边形的性质
? 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比
? 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方


? 例题：
（1）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的

三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．









（2）在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为（ ）
A．8，3　　B．8，6　　C．4，3　　D．4，6
（3）如图，中，直线交于点交于点交于点若则 ．



6、图形的放大与缩小
? 定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这是的相似比又称为位似比。
? 位似图形性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比









课堂演练：
1．若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．1∶
2．如图， 中，于一定能确定为直角三角形的条件的个数是（ ）
①②③
④⑤
A．1　 B．2 C．3 D．4




3．已知与相似且面积比为4∶25，则与的相似比为 ．

4．两个相似三角形的周长比为，则面积比为 （ ）
（A） （B） （C） （D

5．如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：
①∠AFC＝∠C； ②DF＝CF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD＝∠CAF．
其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．










6．如上图，已知零件的外径为25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，量得CD＝10mm，则零件的厚度x＝ mm．


7．如图，在△ABC中，已知DE∥BC，
AD=4，DB=8，DE=3，
（1）求的值；
（2）求BC的长．



8．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．
（1）求证：△ACB∽△DCE；（2）求证：EF⊥AB．







9．小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．
已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．










10 .E 为正方形 ABCD 的边上的中点，AB = 1 ，MN⊥DE 交 AB 于 M，交 DC 的延长线于 N，求证：⑴ EC= DC·CN； ⑵ CN = ； ⑶ NE = ；



11.已知，如图，梯形 ABCD 中，AB∥DC，梯形外一点 P，连结 PA、PB 分别交DC 于 F、G，且 DF = FG，对角线 BD 交 AF 于 E，求证：AP∶PF = AE∶EF



















12、如图,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,设BP=x,则PD+PE=（ ）






A. B. C. D.




13、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为（ ）
A、 B、 1 C、 D、



14、如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．
求证：（1）；
（2）



















15、如图下左，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.
（3）以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图下右).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE.
（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.












16、如图，四边形和四边形都是平行四边形，点为的中点，分别交于点．
（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；
（2）求．






17、如图，在△ABC中，BC>AC， 点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.
（1）求证：EF∥BC.
（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.






课后作业

一、
1．在比例尺为1∶50 0000的福建省地图上，量得省会福州到漳州的距离为46厘米，则福州到漳州实际距离约为 千米．
2．若线段，，，成比例，其中，，，则 ．
3．已知，则的值为　　　　．
4．两个相似三角形面积比是9∶25，其中一个三角形的周长为36cm，则另一个三角形的周长是　　　　．
5．把一个矩形的各边都扩大4倍，则对角线扩大到　　　　倍，其面积扩大到　　　　倍．
6．厨房角柜的台面是三角形(如图1)，如果把各边中点连线所围成三角形铺成黑色大理石，其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比为　　　　．







8．在同一时刻，高为1.5m的标杆的影长为2.5m，一古塔在地面上影长为50m，那么古塔的高为　　　　．
9．如图3，中，，，，，则　　　　．







10．如图4，在和中，，与的周长之差为10cm，则的周长是　　　　．


二、
1．在下列说法中，正确的是（　　）
A．两个钝角三角形一定相似
B．两个等腰三角形一定相似
C．两个直角三角形一定相似
D．两个等边三角形一定相似
2．如图5，在中，，分别是、边上的点，，，，则（　　）
A．60° B．45° C．30° D．20°






3．如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（　　）
A．都扩大为原来的5倍
B．都扩大为原来的10倍
C．都扩大为原来的25倍
D．都与原来相等
4．如图6， 在中，，于，若，，则（　　）






A．2 B．4 C．2 D．3
5．如图7，，，分别是线段和线段的中点，那么线段的长是（　　）
A．6 B．5 C．4.5 D．3







6．如图8，点是的边延长线上的一点，与相交于点，是的对角线，则图中相似三角形共有（　　）







A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
7．如图9，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（　　）





8．如图10，梯形的对角线交于点，有以下四个结论：
①； ②；
③；④．
其中始终正确的有（　　）
A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个








9．如图12，梯形中，，，为上一点，且． 若，，BE∶EC=1∶2，求AB的长．