一题可破万题山——二次函数压轴题常见模型小结(PDF版，无答案）

1

——二次函数压轴题常见模型小结
2
【特别说明】：

本次培训内容并非原创

根据王勇战老师《2019中考数学模型教学研讨会》分享内容学习整理

王勇战：郑州市名师，挑战压轴题郑州教研基地理事长。
编写有《冲刺十招》、《突围》、《春季攻势》、《沙场秋点兵》等书籍
D
B O
A

x
y
C
问题1：求抛物线解析式和顶点D坐标
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
1 2
( )( )y a x x x x? ? ?
2y ax bx c? ? ?
2( )y a x h k? ? ?
十字相乘
配方法（★）
1 2
轴交点( ，0)、( ，0)x x x
轴交点（0，c）y
顶点（h,k）
原始三角形：
重视四点围成的
三角形（边、角
关系）
函数 点 形
2
2
2 3
( 3)( 1)
( 1) 4
y x x
y x x
y x
? ? ?
? ? ?
? ? ?
3
问题2：判断△ACD的形状，并说明理由
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
D（-1，-4）
B O
A（-3,0）

x
y
C（0，-3）
4
问题3：E是y轴上一动点，若BE=CE,求点E的坐标
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
B（1,0）
O

x
y
C（0，-3）
B（1,0）
O

x
y
C（0，-3）
5
问题4：抛物线上有一动点P，过点P作PM⊥x轴于点M,交直线AC与点N，在线段PM、
MN中，若其中一条线段是另一条线段的2倍，求点P的坐标。
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
6
问题5：直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PH⊥AC于H，求线段PH的
最大值及此时点P的坐标
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
D
B O
A

x
y
C P
H
D
B O
A

x
y
C P
H
E
F
D
B O
A

x
y
C P
H
E
F
7
问题6：直线AC下方的抛物线上有一动点P，过点P作PH⊥AC于H，PG∥y轴交AC
于G，PH为邻边作矩形PEGH，求矩形PEGH周长的最大值。
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
D
B O
A

x
y
C P
H
E
G
8
问题7：在对称轴上找一点P，使得△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BCP的周长
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
B（1,0）
O
A（-3,0）

x
y
C（0，-3）
.x=1
P
9
问题8：在对称轴上找一点P，使得∣PA-PC∣最大，求出P点坐标
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
B（1,0）
O
A（-3,0）

x
y
C（0，-3）
.x=1
P
10
问题9：线段MN=1，在对称轴上运动（M点在N点上方），
求四边形BMNC周长的最小值及此时M点坐标
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
B（1,0）
O
A（-3,0）

x
y
C（0，-3）
.x=1
N
B’ B’’
M
11
将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！
解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折，对称。
解题策略：对称、翻折→化同为异；化异为同；化折为直。
· ·
A
B
P
两村一路（异侧）
和最小
两村一路（同侧）
和最小
一村两路和最小 两村两路和最小
两村一路（线段）和最小
两村一路（同侧）
差最大
两村一路（异侧）
差最大
12
问题10：求四边形ABCD的面积
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
D（-1，-4）
B（1,0）
O
A（-3,0）

x
y
C（0，-3）
E
D（-1，-4）
B（1,0）
O
A（-3,0）

x
y
C（0，-3）
E F
13
问题11：在AC下方的抛物线上有一动点N，使得三角形CAN的面积最大？若存在，
请求出△CAN的最大面积及点N的坐标。
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
D
B O
A

x
y
C N
E
F
14
宽高法(铅垂线法)：S =（宽×高）÷2
★重点：什么是宽？什么是高？如何确定？ （横平竖直；改斜归正）
定义：过三角形的一个顶点做y轴的平行线（x轴的垂线）与这个顶点的对边
（或延长线）相交，交点到这点的距离（纵坐标的差的绝对值）叫做该三角形
的“高”（竖直高）；另外两个顶点的水平距离（横坐标的差的绝对值）叫做
该三角形的“宽”（水平宽）。具体操作时有如图所示的三种情形：
A
B
C
D
m
S=（m×AD）÷2
A
B
C
D
S=（m×CD）÷2
A
B
C
D
m
S=（m×BD）÷2
m
注：一般来讲：过动点（设横表纵）做y轴的平行线与其对边或延长线相交！
15
问题12：在AC下方的抛物线上有一动点N，使得四边形ABCN的面积最大？若存在，
请求出四边形ABCN的最大面积。
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
D
B O
A

x
y
C N
E
F
16
问题13：抛物线上是否存在点N，使得S△ABN= S△ABC,若存在，求出点N的坐标；
若不存在，请说明理由
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
D
B O
A

x
y
C
N2
N1
N3
17
问题14：抛物线上是否存在点H，使得S△BCH= S△ABC,若存在，求出点H的坐标；
若不存在，请说明理由
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
D
B O A

x
y
C
H
18
问题15：抛物线上是否存在点Q，使得S△AOQ= S△COQ,若存在，求出点Q的坐标；
若不存在，请说明理由
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
D
B O
A

x
y
C
Q1
Q2
19
问题16：抛物线上是否存在点E，使得BE平分△ABC的面积，若存在，求出E点坐标，
若不存在，请说明理由
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
D
B O
A

x
y
C
E
F
20
问题17：抛物线上找一点P，作PM⊥x轴，交线段AC于点N，使AC平分△APM的面积
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
D
B O
A

x
y
C P
M
N
21
问题18：抛物线上找一点P，作PM⊥x轴，交线段AC于点N，使AC分△APM的面
积为2:1两部分？
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
D
B
O
A

x
y
C P
M
N
22
问题19：在y轴上是否存在一点E，使得△ADE是直角三角形？若存在，求出点E的
坐标；若不存在，请说明理由
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
D(-1,-4)
O

x
y
A(-3,0)
D(-1,-4)
O

x
y
A(-3,0)
D(-1,-4)
O

x
y
A(-3,0)
E1
E2
E3
E4
23
问题20：在y轴上是否存在一点F，使得△ADF是等腰三角形？若存在，求出点F的坐
标；若不存在，请说明理由
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
D(-1,-4)
O

x
y
A(-3,0)
F1
F2
F3
F4
F5
D(-1,-4)
O

x
y
A(-3,0)
F5
24
问题21：作垂直于x轴的直线x=-1交直线AC于点M，交抛物线于点N，以A、M、
N、E为顶点作平行四边形，求第四个顶点E的坐标
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
N
B O A

x
y
C
M
x=-1
25
问题22：在对称轴上有一点M，在抛物线上有一点N，若以A、B、M、N为顶点
的四边形为平行四边形，求M、N的坐标
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
D
B O
A

x
y
C
D
B O A

x
y
C
26
平行四边形的存在性
预备知识：①中点坐标公式；②三平三交定三点；③两对角线端点的横、纵坐标
之和分别相等（秒杀必备）；④横平竖直接做辅助。
分类
三定一动：用②③即可秒杀（本质还是中点坐标公式）
两定两动
两点之间线
段是一条边
两点之间线
段是对角线
利用①②③
④综合解决
27
问题23：点E是抛物线上一动点，点F在抛物线的对称轴上，若以C、D、E、F为顶
点的四边形为菱形，求点E的坐标
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
D
B
O
A

x
y
C
x=-1
28
问题24：在线段AC上是否存在点M，使得三角形AOM与△ABC相似？若存在，
求出点M的坐标，若不能，请说明理由
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
B O
A

x
y
C
B O
A

x
y
C
29
问题25：P是抛物线上一个动点，作PH⊥x轴于H，是否存在一点P,使得△PAH与
△BOC相似？若存在，求出点P的坐标，若不能，请说明理由
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
D
B O
A

x
y
C
30
问题26：在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO?若能，求出点P的坐标，
若不能，请说明理由
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
D
B O
A

x
y
C
31
问题27：过点B的直线交直线AC与点M，当直线AC与BM的夹角等于∠ACB的2倍时，
直接写出点M的坐标。
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
B
O
A

x
y
C
32
问题28：y轴上是否存在点N，使得∠BCO+ ∠BNO= ∠BAC?若存在，请写出点N的坐标。
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
B
O
A

x
y
C
33
问题29：将△BOC绕平面内一点顺时针转90°，得到△B’O’P’,若△B’O’P’
恰好有两个点同时落在抛物线上，求点O’的坐标？
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
D
B O
A

x
y
C
D
B O
A

x
y
C
34
问题30：将AD所在的直线绕点A逆时针旋转45°，所得直线与抛物线交于点M,求M点坐标。
D
B O
A

x
y
C
已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3,顶点为D
2y x bx c? ? ?
D
B O
A

x
y
C
35
题号 针对变式题目
形定问题 1-解析式、2-三角形形状
线段问题 3-线段相等、4-线段成比例
最值问题 5-线段最值1（直）、 6-线段最值2（斜） 、 7-和最小
8-差最大 、 9-两村一路
面积问题 10-定点求面积 、11-斜三角形求面积 、 12-（定+动）求面积
13-同底等高（直）、14-同底等高（斜）、15-面积平分1
16-面积平分 2 、17-面积平分3 、 18-面积分割
特殊图形 19-直角三角形 、20-等腰三角形 、21-平行四边形1
22-平行四边形2 、23-菱形 、 24-相似三角形1
25-相似三角形2
角度问题 26-角相等 、27-倍半角、28-和差角
旋转问题 29-形旋转 、30-线旋转
…… ……