沪科版数学八年级下册第17章 一元二次方程单元试题卷（含解析）

沪科版数学八年级下册第17章《一元二次方程》试题及解析
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
下列方程是一元二次方程的是(????)
A. ??
??
2
+????+??=0 B. 3
??
2
?2??=3(
??
2
?2)C.
??
3
?2???4=0 D. (???1
)
2
+1=0
方程(??+2)
??
|??|
+?????8=0是关于x的一元二次方程，则(????)
A. ??=±2 B. ??=2 C. ??=?2 D. ??≠±2
方程2
??
2
?6??=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(????)
A. 6，2，9 B. 2，?6，9 C. 2，6，9 D. 2，?6，?9
一元二次方程
??
2
?2??=0的解是(????)
A. ??=2 B.
??
1
=2，
??
2
=0 C. ??=0 D.
??
1
=2，
??
2
=1
将方程
??
2
+4??+3=0配方后，原方程变形为(????)
A. (??+2
)
2
=1 B. (??+4
)
2
=1 C. (??+2
)
2
=?3 D. (??+2
)
2
=?1
关于x的一元二次方程
??
2
+8??+??=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是(????)
A. ??<16 B. ??>16 C. ??≤4 D. ??≥4
已知关于x的方程
??
2
+3??+??=0有一个根为?2，则另一个根为(????)
A. 5 B. ?1 C. 2 D. ?5
已知??、??满足??+??=5，且????=6，则以??、??为两根的一元二次方程是(????)
A.
??
2
+5??+6=0 B.
??
2
?5??+6=0 C.
??
2
?5???6=0 D.
??
2
+5???6=0
若方程
??
2
?2???1=0的两根为
??
1
，
??
2
，则?
??
1
?
??
2
+
??
1
??
2
的值为(? ?)
A. ?1 B. 1 C. ?3 D. 3
某商品经过连续两次降价，销售单价由原来100元降到81元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为(????)
A. 81(1???
)
2
=100 B. 100(1+??
)
2
=81 C. 81(1+??
)
2
=100 D. 100(1???
)
2
=81
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
关于x的一元二次方程(???1)
??
2
+6??+
??
2
???=0的一个根是0，则k的值是______．
一元二次方程的两个根是2+
6
，2?
6
.那么这个一元二次方程为______ ．
甲乙同时解方程
??
2
+????+??=0，甲抄错了一次项系数，得两根为2﹑7，乙抄错了常数项，得两根为3﹑?10.则??=______，??=______．
对于实数a，b，定义运算“※”如下：??※??=
??
2
?????，例如，5※3=
5
2
?5×3=10.若(??+1)※(???2)=6，则x的值为______．
三、计算题（本大题共4小题，共40分）
求式子中x的值：4(???1
)
2
?16=0．
解方程：
??
2
?2???5=0．
解方程：(???1
)
2
=2(1???)
解方程：2
??
2
?2
2
???5=0．
四、解答题（本大题共3小题，共40分）
关于x的一元二次方程
??
2
?(??+3)??+2??+2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480
??
2
，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？

某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过1300台？ 答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是??
??
2
+????+??=0(且??≠0).特别要注意??≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．解答此题根据一元二次方程的定义解答即可．【解答】解：??.当??=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；B.化简原方程得到2???6=0，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；C.未知数最高次数是3，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；D.符合一元二次方程的定义，故本选项正确；故选D．2.【答案】B
【解析】【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是??
??
2
+????+??=0(且??≠0)．特别要注意??≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．根据一元二次方程的定义求解，可得答案．【解答】解：由(??+2)
??
|??|
+?????8=0是关于x的一元二次方程，得
??+2≠0
|??|=2
．解得??=2，故选B．3.【答案】D
【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式??
??
2
+????+??=0(??≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中??
??
2
叫做二次项，a叫做二次项系数；b叫做一次项系数；c叫做常数项．首先把方程化为一般式，然后可得二次项系数、一次项系数、常数项．【解答】解：2
??
2
?6??=9可变形为2
??
2
?6???9=0，二次项系数为2、一次项系数为?6、常数项为?9，故选D．4.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程?因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．【解答】解：??(???2)=0，??=0或???2=0，所以
??
1
=0，
??
2
=2．故选B．5.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．把常数项3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方．【解答】解：移项得，
??
2
+4??=?3，配方得，
??
2
+4??+4=?3+4，即(??+2
)
2
=1，故选A．6.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程
??
2
+8??+??=0有两个不相等的实数根，∴△=
8
2
?4??=64?4??>0，解得：??<16．故选：A．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=64?4??>0，解之即可得出q的取值范围．本题考查了根的判别式，牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．7.【答案】B
【解析】【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，根据关于x的方程
??
2
+3??+??=0有一个根为?2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【解答】解：∵关于x的方程
??
2
+3??+??=0有一个根为?2，设另一个根为m，∴根据根与系数关系得，?2+??=?
3
1
，解得，??=?1，故选B．8.【答案】B
【解析】【分析】若一元二次方程的两根是??、??，且满足??+??=5、????=6，则这个一元二次方程的系数应满足?
??
??
=5，
??
??
=6，当二次项系数??=1时，可直接确定一次项系数、常数项．【解答】解：∵所求一元二次方程的两根是??、??，且??、??满足??+??=5、????=6．∴这个方程的系数应满足??+??=?
??
??
=5，两根之积是????=
??
??
=6．当二次项系数??=1时，一次项系数??=?5，常数项??=6，即为
??
2
?5??+6=0．故选B．本题主要考查的是一元二次方程??
??
2
+????+??=0的根与系数关系即韦达定理，两根之和等于?
??
??
，两根之积等于
??
??
．9.【答案】C
【解析】解：∵方程
??
2
?2???1=0的两根为
??
1
、
??
2
，∴
??
1
+
??
2
=2，
??
1
??
2
=?1，∴?
??
1
?
??
2
+
??
1
??
2
=?(
??
1
+
??
2
)+
??
1
??
2
=?2?1=?3．故选C．根据根与系数的关系可得出
??
1
+
??
2
=2、
??
1
??
2
=?1，将其代入?
??
1
?
??
2
+
??
1
??
2
中即可求出结论．本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于?
??
??
、两根之积等于
??
??
是解题的关键．10.【答案】D
【解析】解：由题意可列方程是：100×(1???
)
2
=81．故选：D．此题利用基本数量关系：商品原价×(1?平均每次降价的百分率)=现在的价格，列方程即可．此题考查由实际问题抽象出一元二次方程．一元二次方程的应用最基本数量关系：商品原价×(1?平均每次降价的百分率)=现在的价格．11.【答案】0
【解析】【分析】由于方程的一个根是0，把??=0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的一元二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．【解答】解：由于关于x的一元二次方程(???1)
??
2
+6??+
??
2
???=0的一个根是0，把??=0代入方程，得
??
2
???=0，解得，
??
1
=1，
??
2
=0当??=1时，由于二次项系数???1=0，方程(???1)
??
2
+6??+
??
2
???=0不是关于x的一元二次方程，故??≠1．所以k的值是0．故答案为0．12.【答案】
??
2
?4???2=0
【解析】解：∵2+
6
+2?
6
=4，(2+
6
)(2?
6
)=4?6=?2，∴以2+
6
，2?
6
为根的一元二次方程可为：
??
2
?4???2=0．故答案为
??
2
?4???2=0．先根据2+
6
和2?
6
的和与积，然后根据根与系数的关系求解．本题考查了根与系数的关系：若
??
1
，
??
2
是一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)的两根时，
??
1
+
??
2
=?
??
??
，
??
1
??
2
=
??
??
．13.【答案】7? 14
【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系：若
??
1
，
??
2
是一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)的两根时，
??
1
+
??
2
=?
??
??
，
??
1
??
2
=
??
??
．根据根与系数的关系得到2×7=??，3+(?10)=???，然后解两个方程即可得到p和q的值．【解答】解：根据题意得2×7=??，3+(?10)=???，所以??=7，??=14．故答案为7，14．14.【答案】1
【解析】解：由题意得，(??+1
)
2
?(??+1)(???2)=6，整理得，3??+3=6，解得，??=1，故答案为：1．根据题意列出方程，解方程即可．本题考查的是一元二次方程的解法，根据题意正确得到方程是解题的关键．15.【答案】解：4(???1
)
2
?16=0，4(???1
)
2
=16，(???1
)
2
=4，???1=±2，∴??=3或??=?1．
【解析】本题主要考查了利用开平方法解一元二次方程.? 熟练掌握解方程的各种方法是解题的关键．方程整理后，利用开平方法即可求出x的值．16.【答案】解：
??
2
?2??+1=6，那么(???1
)
2
=6，即???1=±
6
，则
??
1
=1+
6
，
??
2
=1?
6
．
【解析】利用完全平方公式配平方，再利用直接开方法求方程的解即可．本题考查了解一元二次方程的方法，解题的关键是注意使用配方法是要保证不改变原方程．17.【答案】解：(???1
)
2
+2(???1)=0，(???1)(???1+2)=0，???1=0或???1+2=0，所以
??
1
=1，
??
2
=?1．
【解析】先移项得到(???1
)
2
+2(???1)=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程?因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．18.【答案】解：这里??=2，??=?2
2
，??=?5，∵??=8+40=48，∴??=
2
2
±4
3
4
=
2
±2
3
2
，∴
??
1
=
2
+2
3
2
，
??
2
=
2
?2
3
2
．
【解析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．此题考查了解一元二次方程?公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．19.【答案】(1)证明：∵在方程
??
2
?(??+3)??+2??+2=0中，△=[?(??+3)
]
2
?4×1×(2??+2)=
??
2
?2??+1=(???1
)
2
≥0，∴方程总有两个实数根；(2)解：∵
??
2
?(??+3)??+2??+2=0
??
2
?(??+3)??+2(??+1)=0(???2)(??????1)=0，∴
??
1
=2，
??
2
=??+1．∵方程有一根小于1，∴??+1<1，解得：??<0，∴??的取值范围为??<0．
【解析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程.解答本题的关键是正确求出该方程的两个根．(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得△=(???1
)
2
≥0，由此可证出方程总有两个实数根；(2)利用因式分解法解一元二次方程，可得出
??
1
=2、
??
2
=??+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．20.【答案】解：设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为(30?3??)??，宽为(24?2??)??，由已知得：(30?3??)?(24?2??)=480，整理得：
??
2
?22??+40=0，解得：
??
1
=2，
??
2
=20，当??=20时，30?3??=?30，24?2??=?16，不符合题意，答：人行通道的宽度为2米．
【解析】设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为(30?3??)??，宽为(24?2??)??，根据矩形绿地的面积为480
??
2
，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，经检验后得出??=20不符合题意，此题得解．本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．21.【答案】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：1+??+(1+??)??=121，整理得(1+??
)
2
=121，则??+1=11或??+1=?11，解得
??
1
=10，
??
2
=?12(舍去)，则(1+??
)
2
+??(1+??
)
2
=(1+??
)
3
=(1+10
)
3
=1331>1300．答：每轮感染中平均每一台电脑会感染10台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过1300台．
【解析】设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有(1+??)台被感染，第二轮后共有(1+??)+??(1+??)即(1+??
)
2
台被感染，利用方程即可求出x的值，并且3轮后共有(1+??
)
3
台被感染，比较该数同1300的大小，即可作出判断．本题考查了一元二次方程的应用．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．