北师大版数学七年级下学期 第3章 变量之间的关系 单元练习卷（PDF版 含解析）

第 3 章 变量之间的关系
一．选择题（共 10 小题）
1．下列曲线中不能表示 y 是 x 的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．购某种三年期国债 x 元，到期后可得本息和 y 元，已知 y＝kx，则这种国债的年利率为
（ ）
A．k B． C．k﹣1 D．
3．下列函数中，自变量 x 的取值范围为 x＞1 的是（ ）
A． B． C． D．y＝（x﹣1）
0
4．能使式子 + 成立的 x 的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x≤2
5．根据如图所示的程序计算函数 y 的值，若输入的 x 值是 4 或 7 时，输出的 y 值相等，则
b 等于（ ）
A．9 B．7 C．﹣9 D．﹣7
6．“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，
水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用 x 表示
漏水时间，y 表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示 y 与 x的对应关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．定义新运算：p⊕q＝ ，例如：3⊕5＝ ，3⊕（﹣5）＝ ，则 y＝2⊕x（x
≠0）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．随着时代的进步，人们对 PM2.5（空气中直径小于等于 2.5 微米的颗粒）的关注日益密
切．某市一天中 PM2.5 的值 y1（ug/m
3
）随时间 t（h）的变化如图所示，设 y2表示 0 时
到 t 时 PM2.5 的值的极差（即 0 时到 t 时 PM2.5 的最大值与最小值的差），则 y2与 t 的
函数关系大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．某学校组织团员举行“伏羲文化旅游节”宣传活动，从学校骑自行车出发，先上坡到达
甲地后，宣传了 8 分钟，然后下坡到乙地又宣传了 8 分钟返回，行程情况如图所示．若
返回时，上、下坡速度保持不变，在甲地仍要宣传 8 分钟，那么他们从乙地返回学校所
用的时间是（ ）
A．33 分钟 B．46 分钟 C．48 分钟 D．45.2 分钟
10．对于实数 a，b，我们定义符号 max{a，b}的意义为：当 a≥b 时，max{a，b}＝a；当 a
＜b 时，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于 x 的函数为 y＝max{x+3，
﹣x+1}，则该函数的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共 9小题）
11．圆的半径为 r，圆的面积 S 与半径 r 之间有如下关系：S＝πr
2
．在这关系中，常量
是 ．
12．若一个函数图象的对称轴是 y 轴，则该函数称为偶函数．那么在下列四个函数：
①y＝2x；②y＝ ；③y＝x
2
；④y＝（x﹣1）
2
+2 中，属于偶函数的是 （只填序
号）．
13．一个蓄水池储水 100m
3
，用每分钟抽水 0.5m
3
的水泵抽水，则蓄水池的余水量 y（m
3
）与
抽水时间 t（分）之间的函数关系式是 ．
14．底面半径为 r，高为 h 的圆柱，两底的面积之和与它们的侧面积相等，h 与 r 的函数关
系为 ．
15．请写出一个图象经过点（1，4）的函数解析式： ．
16．某下岗职工购进一批货物，到集贸市场零售，已知卖出的货物数量 x 与售价 y 的关系
如表所示：
质量 x（千
克）
1 2 3 4 5
售价 y（元） 2+0.1 4+0.2 6+0.3 8+0.4 10+0.5
写出用 x 表示 y 的公式是 ．
17．放学后，小明骑车回家，他经过的路程 s（千米）与所用时间 t（分钟）的函数关系如
图所示，则小明的骑车速度是 千米/分钟．
18．如图 1，点 P 从△ABC 的顶点 B 出发，沿 B→C→A 匀速运动到点 A，图 2 是点 P 运动时，
线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象，其中 M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面
积是 ．
19．如图①，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，点 P 是对角线 AC 上一动点．设 PC 的
长度为 x，PE 与 PB 的长度和为 y，图②是 y 关于 x 的函数图象，则图象上最低点 H 的坐
标为 ．
三．解答题（共 4小题）
20．求函数 y＝ 的自变量 x 的取值范围．
21．星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家．他离家的距离 y（千米）与时间
t（分钟）的关系如图所示．
根据图象回答下列问题：
（1）小明家离图书馆的距离是 千米；
（2）小明在图书馆看书的时间为 小时；
（3）小明去图书馆时的速度是 千米/小时．
22．下图是桂林冬季某一天的气温随时间变化的图象：请根据图象填空：在 时气温
最低，最低气温为 ℃，当天最高气温为 ℃，这一天的温差为 ℃（所
有结果都取整数）．
23．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分
段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数 y＝ 的图
象与性质．列表：
x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 2 3 …
y … 1 2 1 0 1 2 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量 x 的取值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标，
描出相应的点，如图所示．
（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；
（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点 A（﹣5，y1），B（﹣ ，y2），C（x1， ），D（x2，6）在函数图象上，则 y1 y2，
x1 x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值 y＝2时，求自变量 x 的值；
③在直线 x＝﹣1 的右侧的函数图象上有两个不同的点 P（x3，y3），Q（x4，y4），且 y3＝
y4，求 x3+x4的值；
④若直线 y＝a 与函数图象有三个不同的交点，求 a 的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1．下列曲线中不能表示 y 是 x 的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，对于 x 的每一个确定的
值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说 y 是 x 的函数，x 是自变量．由此即可判断．
【解答】解：当给 x一个值时，y 有唯一的值与其对应，就说 y 是 x 的函数，x 是自变量．
选项 C 中的曲线，不满足对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对
应，即单对应．故 C 中曲线不能表示 y 是 x的函数，
故选：C．
2．购某种三年期国债 x 元，到期后可得本息和 y 元，已知 y＝kx，则这种国债的年利率为
（ ）
A．k B． C．k﹣1 D．
【分析】由题意可列出关系式求解．
【解答】解：因为三年期国债 x 元，到期后可得本息和 y 元，已知 y＝kx，
则其 3 年的利息为：kx﹣x，
则这种国债的年利率为：
故选：D．
3．下列函数中，自变量 x 的取值范围为 x＞1 的是（ ）
A． B． C． D．y＝（x﹣1）
0
【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 对各选项分别列式计算即可得解．
【解答】解：A． 中 x≥1，此选项不符合题意；
B． 中 x＞1，此选项符合题意；
C． 中 x≠1，此选项不符合题意；
D．y＝（x﹣1）
0
中 x≠1，此选项不符合题意；
故选：B．
4．能使式子 + 成立的 x 的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x≤2
【分析】根据二次根式的意义：被开方数大于等于 0，就可以求解．
【解答】解：根据题意得： ，
解得：1≤x≤2．
故选：C．
5．根据如图所示的程序计算函数 y 的值，若输入的 x 值是 4 或 7 时，输出的 y 值相等，则
b 等于（ ）
A．9 B．7 C．﹣9 D．﹣7
【分析】先求出 x＝7 时 y 的值，再将 x＝4、y＝﹣1 代入 y＝2x+b 可得答案．
【解答】解：∵当 x＝7 时，y＝6﹣7＝﹣1，
∴当 x＝4 时，y＝2×4+b＝﹣1，
解得：b＝﹣9，
故选：C．
6．“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，
水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用 x 表示
漏水时间，y 表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示 y 与 x的对应关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，可知 y随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题．
【解答】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x 表示漏水时
间，y 表示壶底到水面的高度，
∴y 随 x 的增大而减小，符合一次函数图象，
故选：A．
7．定义新运算：p⊕q＝ ，例如：3⊕5＝ ，3⊕（﹣5）＝ ，则 y＝2⊕x（x
≠0）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中的新定义，可以写出 y＝2⊕x 函数解析式，从而可以得到相应的函
数图象，本题得以解决．
【解答】解：∵p⊕q＝ ，
∴y＝2⊕x＝ ，
故选：D．
8．随着时代的进步，人们对 PM2.5（空气中直径小于等于 2.5 微米的颗粒）的关注日益密
切．某市一天中 PM2.5 的值 y1（ug/m
3
）随时间 t（h）的变化如图所示，设 y2表示 0 时
到 t 时 PM2.5 的值的极差（即 0 时到 t 时 PM2.5 的最大值与最小值的差），则 y2与 t 的
函数关系大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据极差的定义，分别从 t＝0、0＜t≤10、10＜t≤20 及 20＜t≤24 时，极差
y2随 t 的变化而变化的情况，从而得出答案．
【解答】解：当 t＝0 时，极差 y2＝85﹣85＝0，
当 0＜t≤10 时，极差 y2随 t 的增大而增大，最大值为 43；
当 10＜t≤20 时，极差 y2随 t 的增大保持 43 不变；
当 20＜t≤24 时，极差 y2随 t 的增大而增大，最大值为 98；
故选：B．
9．某学校组织团员举行“伏羲文化旅游节”宣传活动，从学校骑自行车出发，先上坡到达
甲地后，宣传了 8 分钟，然后下坡到乙地又宣传了 8 分钟返回，行程情况如图所示．若
返回时，上、下坡速度保持不变，在甲地仍要宣传 8 分钟，那么他们从乙地返回学校所
用的时间是（ ）
A．33 分钟 B．46 分钟 C．48 分钟 D．45.2 分钟
【分析】由图象可知上坡路程和下坡路程，上坡速度和下坡速度问题即可求解．
【解答】解：观察图象可知上坡路程为 36 百米，下坡路程为 96﹣36＝60 百米，
上坡时间为 18 分，下坡时间为 46﹣18﹣8﹣8＝12 分，
∴v 上坡＝ ＝2 百米，v 下坡＝ ＝5 百米，
∴返回的时间＝ + +8＝45.2 分钟．
故选：D．
10．对于实数 a，b，我们定义符号 max{a，b}的意义为：当 a≥b 时，max{a，b}＝a；当 a
＜b 时，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于 x 的函数为 y＝max{x+3，
﹣x+1}，则该函数的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【分析】分 x≥﹣1和 x＜﹣1 两种情况进行讨论计算，
【解答】解：当 x+3≥﹣x+1，
即：x≥﹣1 时，y＝x+3，
∴当 x＝﹣1 时，ymin＝2，
当 x+3＜﹣x+1，
即：x＜﹣1 时，y＝﹣x+1，
∵x＜﹣1，
∴﹣x＞1，
∴﹣x+1＞2，
∴y＞2，
∴ymin＝2，
故选：B．
二．填空题（共 9小题）
11．圆的半径为 r，圆的面积 S 与半径 r 之间有如下关系：S＝πr
2
．在这关系中，常量是
π ．
【分析】根据题意可知 S，r 是两个变量，π是一个常数（圆周率），是常量．
【解答】解：在 S＝πr
2
中π是一个常数（圆周率），即π是常量，S，r 是两个变量．
故填π．
12．若一个函数图象的对称轴是 y 轴，则该函数称为偶函数．那么在下列四个函数：
①y＝2x；②y＝ ；③y＝x
2
；④y＝（x﹣1）
2
+2 中，属于偶函数的是 ③ （只填序号）．
【分析】根据对称轴是 y 轴，排除①②选项，再根据④不是偶函数，即可确定答案．
【解答】解：①y＝2x，是正比例函数，函数图象的对称轴不是 y轴，错误；
②y＝ 是反比例函数，函数图象的对称轴不是 y 轴，错误；
③y＝x
2
是抛物线，对称轴是 y 轴，是偶函数，正确；
④y＝（x﹣1）
2
+2 对称轴是 x＝1，错误．
故属于偶函数的是③．
13．一个蓄水池储水 100m
3
，用每分钟抽水 0.5m
3
的水泵抽水，则蓄水池的余水量 y（m
3
）与
抽水时间 t（分）之间的函数关系式是 y＝100﹣0.5t（0≤t≤200）． ．
【分析】根据余水量＝原有水量﹣用水量，时间应≥0，用水量不能超过原有水量得出．
【解答】解：依题意有 y＝100﹣0.5t，
时间应≥0，用水量不能超过原有水量，
∴0.5t≤100，解得 t≤200．
∴0≤t≤200．
故函数关系式是 y＝100﹣0.5t（0≤t≤200）．
故答案为：y＝100﹣0.5t（0≤t≤200）．
14．底面半径为 r，高为 h 的圆柱，两底的面积之和与它们的侧面积相等，h 与 r 的函数关
系为 r＝h ．
【分析】根据圆柱两底的面积之和与它们的侧面积相等得出 h 与 r 的函数关系．
【解答】解：由题意得 2πr
2
＝2πrh，即 r＝h．
则 h 与 r 的函数关系为 r＝h．
15．请写出一个图象经过点（1，4）的函数解析式： y＝4x ．
【分析】只要满足要求即可：1 是函数，2 过点（1，4）．
【解答】解：因为函数的图象过点（1，4），所以可设 y＝kx，
所以 4＝k，
即 k＝4，
所以 y＝4x．
16．某下岗职工购进一批货物，到集贸市场零售，已知卖出的货物数量 x 与售价 y 的关系
如表所示：
质量 x（千
克）
1 2 3 4 5
售价 y（元） 2+0.1 4+0.2 6+0.3 8+0.4 10+0.5
写出用 x 表示 y 的公式是 y＝2.1x ．
【分析】有表可知 4+0.2﹣2﹣0.1＝2.1，6+0.3﹣4﹣0.2＝2.1，所以 2.1 为常量，则 y
是 x 的 2.1 倍，据此即可确定 x 与 y 的关系．
【解答】解：由表可知：2.1 为常量，
∴x 表示 y 的公式是：y＝2.1x．
17．放学后，小明骑车回家，他经过的路程 s（千米）与所用时间 t（分钟）的函数关系如
图所示，则小明的骑车速度是 0.2 千米/分钟．
【分析】根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据
路程与时间的关系，可得答案．
【解答】解：由纵坐标看出路程是 2 千米，
由横坐标看出时间是 10 分钟，
小明的骑车速度是 2÷10＝0.2（千米/分钟），
故答案为：0.2．
18．如图 1，点 P 从△ABC 的顶点 B 出发，沿 B→C→A 匀速运动到点 A，图 2 是点 P 运动时，
线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象，其中 M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面
积是 12 ．
【分析】根据图象可知点 P 在 BC 上运动时，此时 BP 不断增大，而从 C 向 A 运动时，BP
先变小后变大，从而可求出 BC 与 AC 的长度．
【解答】解：根据图象可知点 P 在 BC 上运动时，此时 BP 不断增大，
由图象可知：点 P 从 B 向 C运动时，BP 的最大值为 5，
即 BC＝5，
由于 M 是曲线部分的最低点，
∴此时 BP 最小，
即 BP⊥AC，BP＝4，
∴由勾股定理可知：PC＝3，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∵图象右端点函数值为 5，
∴AB＝BC＝5
∴PA＝3，AP＝PC＝3，
∴AC＝6，
∴△ABC 的面积为： ×4×6＝12
故答案为：12
19．如图①，在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，点 P 是对角线 AC 上一动点．设 PC 的
长度为 x，PE 与 PB 的长度和为 y，图②是 y 关于 x 的函数图象，则图象上最低点 H 的坐
标为 （ ， ） ．
【分析】如图，连接 PD．由 B、D 关于 AC 对称，推出 PB＝PD，推出 PB+PE＝PD+PE，推
出当 D、P、E 共线时，PE+PB 的值最小，观察图象可知，当点 P 与 A 重合时，PE+PB＝3，
推出 AE＝EB＝1，AD＝AB＝2，分别求出 PB+PE 的最小值，PC 的长即可解决问题．
【解答】解：如图，连接 PD．
∵B、D 关于 AC 对称，
∴PB＝PD，
∴PB+PE＝PD+PE，
∴当 D、P、E 共线时，PE+PB 的值最小，如下图：
观察图象可知，当点 P 与 A重合时，PE+PB＝3，
∴AE＝EB＝1，AD＝AB＝2，
在 Rt△AED 中，DE＝ ，
∴PB+PE 的最小值为 ，
∴点 H 的纵坐标为 ，
∵AE∥CD，
∴ ＝2，
∵AC＝2 ，
∴PC＝2 × ＝ ，
∴点 H 的横坐标为 ，
∴H（ ， ）．
故答案为：（ ， ）．
三．解答题（共 4小题）
20．求函数 y＝ 的自变量 x 的取值范围．
【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根
据二次根式的性质和分式的意义，被开方数＞等于 0，分母不等于 0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数 4+2x≥0，解得 x≥﹣2；
根据分式有意义的条件，x﹣1≠0，解得 x≠1，因为 x≥﹣2 的数中包含 1 这个数，
所以自变量的范围是 x≥﹣2 且 x≠1．
21．星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家．他离家的距离 y（千米）与时间
t（分钟）的关系如图所示．
根据图象回答下列问题：
（1）小明家离图书馆的距离是 3 千米；
（2）小明在图书馆看书的时间为 1 小时；
（3）小明去图书馆时的速度是 15 千米/小时．
【分析】根据函数的图象 y 随 t 的变化可知，因为图象的纵坐标最大为 3，故小明家离
图书馆的距离是 3 千米；
小明在图书馆看书的时间为 72﹣12＝60 分＝1 小时；
小明从 0 分钟到 12 分钟时到达图书馆，故其速度为 3÷ ＝15 千米/小时．
【解答】解：（1）根据图象可知 y 随 t 的变化而变化小明家离图书馆的距离是 3 千米；
（2）路程不变，时间为 72﹣12＝60 分钟，故小明在图书馆看书的时间为 1 小时；
（3）根据速度＝路程/时间可知小明去图书馆时的速度是 15 千米/小时．
22．下图是桂林冬季某一天的气温随时间变化的图象：请根据图象填空：在 4 时气温最
低，最低气温为 ﹣2 ℃，当天最高气温为 5 ℃，这一天的温差为 7 ℃（所有结
果都取整数）．
【分析】首先要搞清楚横、纵坐标所表示的意义，然后根据图中的特殊点的意义来进行
解答．
【解答】解：由图知：当 t＝4h 时，T 值最小，且 T＝﹣2℃；
当 t≈14h 时，T 值最大，且 T＝5℃；
故这一天的温差是 5﹣（﹣2）＝7℃．
23．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分
段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数 y＝ 的图
象与性质．列表：
x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 2 3 …
y … 1 2 1 0 1 2 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量 x 的取值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标，
描出相应的点，如图所示．
（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；
（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点 A（﹣5，y1），B（﹣ ，y2），C（x1， ），D（x2，6）在函数图象上，则 y1 ＜ y2，
x1 ＜ x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值 y＝2时，求自变量 x 的值；
③在直线 x＝﹣1 的右侧的函数图象上有两个不同的点 P（x3，y3），Q（x4，y4），且 y3＝
y4，求 x3+x4的值；
④若直线 y＝a 与函数图象有三个不同的交点，求 a 的取值范围．
【分析】（1）描点连线即可；
（2）①A 与 B 在 y＝﹣ 上，y 随 x 的增大而增大，所以 y1＜y2；C 与 D 在 y＝|x﹣1|上，
观察图象可得 x1＜x2；
②当 y＝2 时，2＝|x﹣1|，则有 x＝3 或 x＝﹣1；
③由图可知﹣1≤x≤3时，点关于 x＝1 对称，当 y3＝y4时 x3+x4＝2；
④由图象可知，0＜a＜2；
【解答】解：（1）如图所示：
（2）①A（﹣5，y1），B（﹣ ，y2），
A 与 B 在 y＝﹣ 上，y随 x 的增大而增大，∴y1＜y2；
C（x1， ），D（x2，6），
C 与 D 在 y＝|x﹣1|上，观察图象可得 x1＜x2；
故答案为＜，＜；
②当 y＝2 时，x≤﹣1时，有 2＝﹣ ，∴x＝﹣1；
当 y＝2 时，x＞﹣1时，有 2＝|x﹣1|，∴x＝3 或 x＝﹣1（舍去），
故 x＝﹣1 或 x＝3；
③∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在 x＝﹣1 的右侧，
∴﹣1≤x≤3 时，点 P，Q 关于 x＝1 对称，
则有 y3＝y4，
∴x3+x4＝2；
④由图象可知，0＜a＜2；