沪科版数学八年级下册第18章勾股定理单元试题及解析

沪科版数学八年级下册第18章《勾股定理》试题及解析
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
下列各组数能构成勾股数的是(????)
A. 2，3，7 B. 12，16，20 C. 13，14，15 D. 32，42，52
如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是(? ? )
A. 13m B. 17m C. 18m D. 25m
如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于(????)
A. 43B. 33C. 42D. 8
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为(????)
A. 4 B. 6 C. 16 D. 55
已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为( ? )
A. 12 B. 7+7 C. 12或7+7 D. 以上都不对
有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了该图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2016次后形成的图形中所有的正方形的面积和是(????)
A. 1 B. 2015 C. 2016 D. 2017
已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足a?32+b?4+c?5=0，则三角形的形状是(????)
A. 底与边不相等的等腰三角形 B. 等边三角形C. 钝角三角形 D. 直角三角形
E为正方形ABCD内部一点，且AE=3，BE=4，∠E=90°，则阴影部分的面积为(????)
A. 25B. 12C. 13D. 19
将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是(????)
A. h≤17cm B. h≥8cm C. 15cm≤h≤16cm D. 7cm≤h≤16cm
五根小木棒，其长度分别为7，15，20，25，24，现将它们摆成两个直角三角形其中正确的是(????)
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=______cm．
课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出3，5，…线段(如图所示).”即：OA=1，过A作AA1⊥OA且AA1=1，根据勾股定理，得OA1=2；再过A1作A1A2⊥OA1且A1A2=1，得OA2=3；…以此类推，得OA2017=?______ ．
如图，圆柱体的高为4cm，底面周长为6cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图所示，则最短路程为______．
如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是______．
三、计算题（本大题共2小题，共20分）
如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23.求AB的长．


如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中∠B=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，DA=24m，求这块草地的面积．

四、解答题（本大题共4小题，共60分）
如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．

如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？


如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．(1)求△ABC的面积；(2)通过计算判断△ABC的形状；(3)求AB边上的高．

如图是“赵爽弦图”，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设AD=c，AE=a，DE=b，取c=10，a?b=2．(1)正方形EFGH的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；(2)求(a+b)2的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A.22+(3)2=(7)2，但不是正整数，故选项错误；B.122+162=202，能构成直角三角形，是整数，故选项正确；C.(14)2+(15)2≠(13)2，不能构成直角三角形，故选项错误；D.(32)2+(42)2≠(52)2，不能构成直角三角形，故选项错误．故选B．2.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【解答】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=132?52=12(米)，∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是12+5=17米．故选B．3.【答案】A
【解析】【分析】此题考查了轴对称的性质，矩形的性质，30°直角三角形的性质，勾股定理，掌握这些性质是关键，先根据折叠的性质得到BF=EF，AE=AB，再由E是CD的中点可求出ED的长，再求出∠EAD的度数，设FE=x，则AF=2x，在Rt△AEF中利用勾股定理即可求解．【解答】解：由折叠的性质得BF=EF，AE=AB，因为CD=6，E为CD中点，所以ED=3，因为AE=AB=CD=6，所以∠EAD=30°，则∠FAE=12×(90°?30°)=30°，设FE=x，则AF=2x，在Rt△AEF中，(2x)2=62+x2，x2=12，x1=23，x2=?23(舍去)，AF=23×2=43，故选A．4.【答案】C
【解析】解：∵a、b、c都是正方形，∴AC=CD，∠ACD=90°；∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，∴∠BAC=∠DCE，∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，∴△ACB≌△CDE，∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即Sb=Sa+Sc=11+5=16，故选：C．运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．5.【答案】C
【解析】【解析】解：设Rt△ABC的第三边长为x，①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得：x=5，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得：x=7，此时这个三角形的周长=3+4+7，故选C．【分析】先设Rt△ABC的第三边长为x，由于4是直角边还是斜边不能确定，故应分4是斜边或x为斜边两种情况讨论．本题考查的是勾股定理的应用，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．6.【答案】D
【解析】【分析】此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．求出每一次生长后所生长出的正方形面积，找出变化规律，计算出所有正方形的面积．【解答】解：如图， 第一次生长后长出的正方形面积为SA+SB=1；第二次生长后长出的正方形面积为SD+SC+SE+SF=1；第三次生长后长出的正方形面积为：1；第四次生长后长出的正方形面积为：1；…“生长”了2016次后形成的图形中，所有的正方形的面积和是1×2016+1=2017．故选D．7.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，此类题目在考试中经常出现，是考试的重点．首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．【解答】解：∵a?32+b?4+c?5=0，由非负数的性质可得：(a?3)2≥0，b?4≥0，|c?5|≥0，?∴a?3=0，b?4=0，c?5=0，∴a=3，b=4，c=5，∴a2+b2=32+42=9+16=25=52=c2，∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．故选D．8.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用，利用勾股定理求出正方形的边长并观察出阴影部分的面积的表示是解题的关键．根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．【解答】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=3，BE=4，由勾股定理得：AB=5，∴正方形的面积是5×5=25，∵△AEB的面积是12AE×BE=12×3×4=6，∴阴影部分的面积是25?6=19，故选D．9.【答案】D
【解析】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴h=24?8=16cm；当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，∴AB=AD2+BD2=17，∴此时h=24?17=7cm，所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．故选D．如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．10.【答案】C
【解析】解：∵72=49，242=576，202=400，152=225，252=625，∴72+242=252，152+202≠242，152+202=252，∴A错误，B错误，C正确，D错误．故选C．根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可．本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方．11.【答案】4
【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理．关键要熟知等腰三角形的三线合一可得．先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：根据等腰三角形的三线合一可得：BD=12BC=12×6=3cm，在直角△ABD中，由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，所以，AD=AB2?BD2=52?32=4cm．故答案为4．12.【答案】2018
【解析】解：∵△OAA1为直角三角形，OA=1，AA1=1，∴OA1=12+12=2；∵△OA1A2为直角三角形，A1A2=1，OA1=2，∴OA2=2+1=3；…，∴OA2017=2017+1=2018．故答案为：2018．利用勾股定理分别求出各边长，进而得出每个斜边的长的规律，进而得出答案．本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是反复利用勾股定理，依次递进，逐步求出每个斜边的长．13.【答案】5cm
【解析】【分析】本题考查了平面展开?最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出AB的长就是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程．沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出AC和BC的长，根据勾股定理求出斜边AB即可．【解答】解：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程， ∵AC=3cm，BC=4cm，∴AB=32+42=5cm，故答案为5cm．14.【答案】76
【解析】解：设将AC延长到点D，连接BD，根据题意，得CD=6×2=12，BC=5．∵∠BCD=90°∴BC2+CD2=BD2，即52+122=BD2∴BD=13∴AD+BD=6+13=19∴这个风车的外围周长是19×4=76．故答案为：76．通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．15.【答案】解：如图示，过C作CD⊥AB于D，?
∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，AC=23，∴CD=3，∴BD=CD=3，由勾股定理得：AD=AC2?CD2=3，∴AB=AD+BD=3+3，答：AB的长是3+3．

【解析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．16.【答案】解：如图，连接AC，如图所示．∵∠B=90°，AB=20m，BC=15m，∴AC=AB2+BC2=202+152=25m．∵AC=25m，CD=7m，AD=24m，∴AD2+DC2=AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，∴S△ABC=12×AB×BC=12×20×15=150m2，S△ACD=12×CD×AD=12×7×24=84m2，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=234m2．
【解析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接AC，由AD、CD、AC的长度关系可得△ACD为一直角三角形，AC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ACD和Rt△ABC构成，则容易求解．此题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，得出△ACD是直角三角形是解题关键．17.【答案】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10?x)尺，根据勾股定理得：x2+62=(10?x)2．解得：x=3.2 答：折断处离地面的高度是3.2尺．
【解析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10?x)尺，利用勾股定理解题即可．此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．18.【答案】解：根据题意得：AB=12×2=24，BC=30，∠BAC=90°．∴AC2+AB2=BC2．∴AC2=BC2?AB2=302?242=324∴AC=18．∴乙船的航速是：18÷2=9海里/时．
【解析】首先求得线段AB的长，然后利用勾股定理求得线段AC的长，然后除以时间即可得到乙船的速度．本题考查了勾股定理的知识及方向角的内容，解题的关键是正确的整理出直角三角形求解．19.【答案】解：(1)△ABC的面积=4×4?12×4×2?12×2×1?12×3×4=5；(2)由勾股定理得：AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=32+42=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形；(3)∵AC=20=25，BC=5，△ABC是直角三角形，∴AB边上的高=AC?BCAB=25×55=2．
【解析】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．(1)由矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可；(2)由勾股定理和勾股定理的逆定理即可得出结论；(3)由三角形的面积即可得出结果．20.【答案】解：(1)4；96(2)由(1)可知四个直角三角形的面积和为96，∴4×12ab=96，解得2ab=96，∵a2+b2=c2=100，∴(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196．
【解析】解：(1)∵HE=a?b=2，∴S正方形EFGH=HE2=4，∵AD=c=10，∴S正方形ABCD=AD2=100，∴四个直角三角形的面积和=S正方形ABCD?S正方形EFGH=100?4=96，故答案为：4；96； (2)见答案【分析】(1)由题意可知HE=a?b=2，可求得正方形EFGH的面积，利用四个直角三角形的面积和=正方形ABCD的面积?正方形EFGH的面积，可求得答案；(2)利用勾股定理可求得a2+b2的值，利用四个直角三角形的面积可求得2ab，则可求得答案．本题主要考查勾股定理的证明及应用，理解图形中四个三角形的面积和等于大正方形的面积与小正方形面积的差是解题的关键．