第三单元 圆柱与圆锥
第3课时 圆柱的体积
教学内容教材第25页例5、第26页例6和第27页例7。内容简析例5:推导圆柱的体积计算公式。例6、例7:解决有关圆柱体积的实际问题。教学目标1.理解圆柱体积计算公式的推导过程,会运用公式计算圆柱的体积。2.通过课件展示和阅读例题,让学生经历推导圆柱体积公式的过程,并能熟记公式。3.借助课件演示,培养学生抽象的思维能力,初步建立空间观念和逻辑推理能力。教学重难点重点:圆柱体积公式的推导和应用。难点:理解圆柱体积公式的推导过程,并渗透等积变形的思想。教法与学法1.在教法上,教师充分利用多媒体直观教学演示,引导学生观察比较,使学生在丰富感性认识的基础上,在教师的指导下,推导出圆柱体积计算的公式,并运用已学公式解决实际问题,充分发挥直观教学在知识形成过程中的作用。2.在学法上,通过观察、比较、推理让学生自主探究,利用小组合作交流概括出圆柱体积的推导过程,并利用所学知识解决实际问题。承前启后链教学过程一、情景创设,导入课题 实际操作法:课前,教师提前准备好一个圆柱,把圆柱底面分成许多相等的扇形。上课开始,教师出示圆柱,然后请一位同学上台来帮助教师共同把圆柱切开,这时学生一定充满疑问,教师可以适时地提出本节课要探究的内容。然后把剪开的圆柱再拼起来,也是让一名同学和老师共同完成。让学生发表自己的见解,进而开始讲述圆柱体积的求法。【品析:通过这种实物操作,能更形象地表述圆柱体积的求法,学生参与进来,有利于学生归纳总结能力的培养。】
复习导入法:1.复习圆面积公式的推导过程:大家还记得我们在学习圆的面积时是怎样推导出圆的面积公式的吗 2.学生回忆,教师利用课件演示。提问:当我们把圆分的没法再分时,所拼成的图形就是一个什么图形 3.回忆:我们在推导圆面积的公式时经历了怎样的过程 把新图形转化为旧图形,找到新旧图形的联系,推导出圆的面积公式。【品析:复习导入的特点既对旧知识进行了复习巩固,又给学生自由想象的空间,使学生勇于探索,有所收获。】 课件展示法:课件演示圆柱体积计算公式的推导过程:①将圆柱等分4份、8份、16份、32份,使学生观察到由曲变直的变化。②展开想象:引导学生想象如果等分成64份、128份,再继续分下去会怎样,从而认可由曲变直的趋势。③得出结论:最后就能得到一个真正的长方体,而不是近似的长方体。【品析:课件展示的特点是使图形更加直观、形象和具体,让学生一目了然,通过在探究中思考,在观察中理解,在比较中归纳,使学生确实经历圆柱体积公式的推导过程,充分体现学生的主体作用。】 二、师生合作,探究新知◎教学例5,圆柱体积计算公式的推导。(1)用将圆转化成长方形求出圆的面积的方法来推导圆柱的体积。(2)课件演示图形由曲到直的变化过程。(3)通过观察,比较、讨论。(4)引导归纳。 长方体的体积=底面积×高,所以圆柱的体积=底面积×高,即:V=Sh。【品析:推导圆柱体积计算公式时,需要学生观察、比较,形象地感悟其中的转化过程,只有这样才能帮助学生理解图形之间的联系和变化。】 ◎教学例6、例7,解决问题。(1)教学例6①出示例6,并让学生思考:要知道杯子能不能装下这袋牛奶,需要先计算什么 ②学生尝试完成例6。③集体订正。杯子的底面积: 3.14×(8÷2)2=3.14×42=3.14×16=50.24(cm2)
杯子的容积: 50.24×10=502.4(cm3)=502.4(mL)答:因为502.4大于498,所以杯子能装下这袋牛奶。(2)教学例7①出示例7,理解题意:条件:瓶子内直径是8 cm,瓶内水高7 cm,瓶子倒置后无水部分的高是18 cm的圆柱。问题:这个瓶子的容积是多少 ②质疑。这个瓶子是圆柱吗 怎样求出它的容积 ③实物演示。用两个相同的酒瓶,内装同样多的水进行演示。④尝试解决。 3.14×(8÷2)2×7+3.14×(8÷2)2×18 =3.14×16×(7+18) =1256(cm3) =1256(mL)答:这个瓶子的容积是1256 mL。(5)引导归纳。求不规则物体的体积的方法:可以利用体积不变的特性,先把不规则图形转化成规则的图形再求容积。 【品析:此环节教师引导学生利用公式,自主尝试解决问题,采取实物演示、合作探究、让学生独立计算汇报结果的方式传授知识,体现了“以学生为主体,教师为主导”的教学原则。】 三、反馈质疑,学有所得 在推导出圆柱体积的计算公式、学习完例6和例7的基础上,让学生及时消化吸收,教师提出质疑,师生共同系统整理。 质疑一:圆柱的体积推导公式的过程是怎样的 圆柱的体积公式是什么 师生共同总结:(1)圆柱体积公式的推导是通过把圆柱的底面分成许多相等的扇形,把圆柱切开拼起来,得到一个近似的长方体。分成的扇形越多,拼成的立体图形就越接近于长方体。(2)圆柱的体积=底面积×高,即V=Sh。 质疑二:怎样解决有关求圆柱体积的实际问题 师生共同总结:(1) 分析题意,找到已知条件。(2) 明确计算圆柱体积的计算公式。(3) 根据实际情况列式计算。四、课末小结,融会贯通 同学们,今天我们学习了圆柱体积和容积的有关知识,你能说说你的收获吗 师生共同总结:1.圆柱的体积计算公式:V=Sh;2.圆柱的容积:容积的计算公式和计算方法和体积相同,但是单位不同;3.不规则物体的体积:把不规则的物体转化成规则的。衔接下节课的内容,大家已经学习了有关圆柱的知识,那么下节课我们学习有关圆锥的知识,给大家留一个任务:课下搜集一下生活中见过的圆锥形的物体,制作一个圆锥模型。五、教海拾遗,反思提升 回味课堂,发现亮点之处:二次质疑的讨论使学生的学习进入了二次消化吸收的过程,这次内化把圆柱的体积公式和解决生活中有关求圆柱体积的实际问题真正掌握了。 反思过程,有待改进之处:在解决有关不规则物体的体积时,对于大多数学生来说是一个难点,不好理解,学生在探索的过程中,需要教师在关键时刻给予适当的讲解和点拨,让学生在良好的合作研究氛围下,体会到转化思想的玄妙。我的反思:
板书设计圆柱的体积圆柱的体积=底面积×高 V=Sh或V=πr2h例6:杯子的底面积: 3.14×(8÷2)2=3.14×42=3.14×16=50.24(cm2)杯子的容积: 50.24×10=502.4(cm3)=502.4(mL)答:因为502.4大于498,所以杯子能装下这袋牛奶。例7: 3.14×(8÷2)2×7+3.14×(8÷2)2×18=3.14×16×(7+18)=1256(cm3)=1256(mL)答:这个瓶子的容积是1256 mL。
延学:运用圆柱的体积公式解决实际问题。
学习:推导得出圆柱的体积公式,并会运用公式计算圆柱的体积。
复习:回顾前面学习的圆柱表面积、侧面积计算公式。(共12张PPT)
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人教版数学六年级下册 第三单元
圆柱的体积（1）(教材P25例5)
复习导入
探究新知
基础练习
拓展练习
课堂小结
复习导入
你们还记得圆的面积的计算公式吗，它是怎么推导出来的？
o
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复习导入
o
非常接近一个长方形，如果我们分得越小，把它们拼起来就越接近长方形。
我们只要算出这个长方形的面积，就知道了圆的面积。
从上图中可以看出圆的半径是r，长方形的长近似（ ），宽近似于（ ）。
因为长方形的面积＝（ ）×（ ）
所以圆面积＝（ ）×（ ）＝（ ）
如果用S表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是 ：
圆周长的一半
圆的半径
长
宽
πr
r
πr
S＝πr
复习导入
我们用转化的方法，将圆的面积转化成了长方形，通过计算长方形面积，就算出了圆的面积。
你还记得正方体和长方体的体积怎么计算吗？
圆柱的体积怎样计算呢？能不能将圆柱转化成我们学过的立体图形，计算出它的体积呢？
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复习导入
正方体体积=棱长×棱长×棱长
长方体体积=长×宽×高
或者=底面积×高
V=a×a×a
V=a×b×c
V=sh
把圆柱的底面分成许多相等的扇形。
把圆柱切开，再像这样拼起来，得到一个近似的长方体。分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于长方体。
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探究新知
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探究新知
拼成的近似长方体的高是多少？你能看出来吗？
这个长方体的高就是圆柱的高
拼成的近似长方体的底面积呢？
长方体的底面大小正好就是圆柱的底面大小
就是圆的半径
就是圆周长的一 半
拼成的长方体与原来的圆柱比较，体积变化了没有？
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探究新知
长方体的体积与圆柱的体积相等，没有变化。
既然没有变化，我们只要求出拼成的长方体的体积，就知道了圆柱的体积，长方体的体积你会算吗？
长方体的体积=底面积 × 高
圆柱底面积
相等
圆柱的高
相等
×
圆柱的体积=
V圆柱=Sh
V圆柱=πh
做一做
75 ×90 ＝6750(cm3)
答：它的体积是6750cm3。
1. 一根圆柱形木料，底面积为75cm2 ，长90cm。它的体积是多少？
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基础练习
2. 一个圆柱的体积是80cm ,底面积是16cm2。它的高是多少厘米？
80 ÷16 ＝5（cm）
答：它的高是5cm。
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基础练习
3. 李家庄挖了一口圆柱形水井，地面以下的井深10米，底面直径为1米，挖出的土有多少立方米？
提示1：求挖出的土有多少立方米，实际上是求什么？
实际上是求井下部分圆柱的容积。
提示2：要求这个圆柱的容积，需要知道哪些数据？
需要知道这个圆柱的底面积和高
提示3：你能想办法算出来吗？
V圆柱=Sh = πh
=3.13××10
=3.14××10
7.85(
r = 米）
d =
答：挖出的土方有7.85立方米。
（ ）
答：两个花坛中共需要填土7.065立方米。
两个花坛需要填土：7.065×0.5×2
＝7.065（m ）
学校建了两个同样大小的圆柱形花坛。花坛的底面内直径为3m，高为0.8m。如果里面填土的高度是0.5m，两个花坛中共需要填土多少立方米？
花坛的底面积：3.14×(3÷2)
＝3.14×1.5
＝3.14×2.25
＝7.065 (m2 )
2
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拓展练习
课堂小结(共11张PPT)
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人教版数学六年级下册 第三单元
圆柱的体积（2） (教材P26例6)
复习导入
探究新知
基础练习
拓展练习
课堂小结
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复习导入
一、填空
1、在计算圆柱体积时，已知圆柱的底面积和高，它的公式是
（ ）。
2、在计算圆柱体积时，已知圆柱的底面半径，它的公式是
（ ）。
3、圆柱侧面积计算公式是（ ），
根据这个公式，知道半径时的计算公式是（ ）；
知道直径时的计算公式是（ ）。
4、圆柱侧面积和圆柱体积公式这么多，我们关键应该记住哪两个公式？（ ）
V=Sh
V=πh
S侧 = Ch
S侧 = πdh
S侧 = 2πrh
V=Sh
S侧 = Ch
二、计算
复习导入
1、右边圆柱的体积是多少？
5cm
8cm
V=Sh=π )
S表= S侧+2 S圆=C h+ 2π=
)
V=Sh=π )
2. 一个圆柱的底面半径是5cm，高是20cm，这个圆柱的体积和表面积各是多少？
下图的杯子能不能装下这袋牛奶？（数据是从杯子里面测量得到的。）
8cm
10cm
杯子里面能容纳物体的体积，也就是杯子的容积。
请你想一想，要回答这个问题，先要计算出什么？
探究新知
下图的杯子能不能装下这袋牛奶？（数据是从杯子里面测量得到的。）
8cm
10cm
怎么计算杯子的容积呢？
探究新知
杯子的容积就是杯子里面空间所占的体积，所以我们只要算出杯子里面空间的体积，也就算出了杯子的容积。
下图的杯子能不能装下这袋牛奶？（数据是从杯子里面测量得到的。）
8cm
10cm
探究新知
杯子的容积： 50.24×10
＝502.4 (cm3 )
＝502.4 (mL)
杯子的底面积：3.14×（8÷2）
＝3.14×4
＝3.14×16
＝50.24 (cm2 )
2
答：因为502.4大于498，所以杯子能装下这袋牛奶。
（一）做一做
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基础练习
1. 小明和妈妈出去游玩，带了一个圆柱形保温杯，从里面量底面直径是8cm，高是15cm。如果两人游玩期间要喝1L水，带这杯水够喝吗？
保温杯的底面积：3.14×（8÷2）
＝ 3.14×4
＝ 3.14×16
＝ 50.24 (cm2)
2
2
保温杯的容积：50.24×15
＝753.6 (cm )
＝0.7536(L)
答：因为0.7536小于1，所以带这杯水不够喝。
基础练习
2. 小明和小华的水壶都是圆柱形的，小明的水壶从里面量得壶底的直径是10厘米，小华的水壶从里面量得壶底的直径是20厘米，如果将小明水壶里10厘米高的水倒入小华的空水壶，那么小华的水壶的高度会是多少厘米？
V小明水壶的水= π=3.14×
V小明水壶的水= V小华水壶的水
h小华水壶的水=V小华水壶的水÷S小华水壶
=785÷ 3.14×
= 785÷ 314
=2.5（厘米）
[ ]
粮囤的容积：3.14×1.5 ×2
＝3.14×2.25×2
＝7.065×2
＝14.13 (m )
粮囤所装玉米：14.13×750÷1000
＝10597.5÷1000
＝10.5975（吨）
答：这个粮囤能装10.5975吨玉米。
请你想一想，要想知道这个粮囤能装多少吨玉米，就要知道这个粮囤的什么？
1. 一个圆柱形粮囤，从里面量得底面半径是1.5m，高2m。如果每立方米玉米约重750kg，这个粮囤能装多少吨玉米？
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拓展练习
2、一个不锈钢油灌，从外面量得它的底面直径是244Cm,从底到肩的高度是300cm,这个油灌的壁厚是2cm,如果这个油灌装油装到齐肩位置，那么这个油灌能装多少立方米的油？（得数保留一位小数）
给出的数据直接能算这个油灌的容积吗？为什么？
不能，因为要算容积，必须知道油灌内部的高和底面积。
那么油灌内部的高和底面积怎么计算呢？
油灌内部的高=300-2=298（cm)
油灌内部底面半径=（244-4）÷2=120（cm)
油灌的容积=π
≈13.5
答：大约能装13.5 的油
拓展练习
课堂小结(共24张PPT)
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人教版数学六年级下册 第三单元
圆柱的体积(3) (教材P27例7)
探究新知
基础练习
拓展练习
课堂小结
数学阅读
复习导入
复习导入
一、判断
1、圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。（ ）
它的高就是旋转一边的边长。（ ）
它的底面周长就是这个长方形的另一边为半径计算出来的圆的周长。（ ）
2、圆柱也可以由长方形卷曲而得到。（ ）
3、圆柱的高是两个底面之间的距离，一个圆柱有无数条高，它们的数值是相等的。（ ）
4、圆柱的底面可以是不完全相等的两个圆。（ ）
5、如果圆柱的高和它的底面周长相等，它的侧面沿着高的方向展开，一定是一个正方形。（ ）
6、一个圆柱的侧面展开是一个正方形，它的高是底面直径的π倍。（ ）
√
√
√
√
√
×
√
√
7、圆柱的体积和容积并不是同一概念，它的体积是整个圆柱占空间的体积，而它的容积则是圆柱内部空间所占的体积。（ ）
√
复习导入
二、填空
1、圆的周长计算公式是（ ）
2、圆的面积计算公式是（ ）
3、长方体表面积计算公式是（ ）
4、正方体表面积计算公式是（ ）
5、圆柱表面积计算公式是（ ）
6、长方体体积计算公式是（ ）
8、圆柱体积计算公式是（ ）
C=πd 或者C =2πr
S=π
S=2 (ab+ac+bc)
S=6
S表= S侧+ 2S圆
S表= 2πr h+ 2 π
V =abc
V =Sh
7、正方体体积计算公式是（ ）
V=
V=
V=
一个内直径是8cm的瓶子里，水的高度是7cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是18cm。这个瓶子的容积是多少？
18cm
7cm
这个瓶子下面部分是圆柱，上面部分不是圆柱，我们能不能直接按圆柱的容积去计算它的容积？
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探究新知
我们能不能想办法把不规则的部分转化成规则的圆柱体呢？
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探究新知
一个内直径是8cm的瓶子里，水的高度是7cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是18cm。这个瓶子的容积是多少？
18cm
7cm
提示1：瓶子倒过来以后，里面的水变化了没有？
装水部分体积相等
提示2：瓶子原来装的是水，另一部分就是空气，既然水的体积没有变化，那么空气的体积变化了没有？
空气部分体积肯定相等
提示3：既然空气的体积没有变，说明了什么？
第1个瓶子上面空着部分的容积和第2个瓶子上面空着的容积是一样的
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探究新知
一个内直径是8cm的瓶子里，水的高度是7cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是18cm。这个瓶子的容积是多少？
18cm
7cm
装水部分体积相等
空气部分体积肯定相等
两个瓶子空着的部分的容积也就相等
你现在会算了吗？
只要计算出右侧瓶子空着部分的容积，就能知道整个瓶子的容积。因为空气的体积加上水的体积就是整个瓶子的容积。
探究新知
一个内直径是8cm的瓶子里，水的高度是7cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是18cm。这个瓶子的容积是多少？
18cm
7cm
V水=πh=3.14××7
=3.14××7
=351.68（）
水的体积：
空气的体积：
V空气=πh=3.14××18
=3.14××18
=9）
瓶子的容积=水的体积+空气的体积=351.68+904.32=1256
答：这个瓶子的容积是1256
探究新知
我们刚才通过转化，把不规则部分转化成了规则的圆柱，通过求圆柱的容积，算出了不规则部分的容积，这就是转化思想，请同学们回忆一下，我们以前用过哪些转化思想？
把平行四边形转化成长方形，通过计算长方形面积来计算平行四边形面积；
把三角形转化成平行四边形，通过计算出平行四边形面积再除以2 算出了三角形的面积；
把圆的面积转化成长方形，通过计算长方形面积，算出了圆的面积；
把圆柱转化成长方体，通过计算长方体体积的方式，计算出了圆柱的体积……
我们以后遇到一些不能直接解决的问题时，要尝试用转化方法去解决。
答：小明喝了282.6mL的水。
3.14×（6÷2）×10
＝3.14×9×10
＝28.26×10
＝282.6(cm )
＝282.6(mL)
2
1、一瓶装满的矿泉水，小明喝了一些，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10cm，内径是6cm。小明喝了多少水？
10cm
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基础练习
要求小明喝了的水的体积，就是要求这个瓶子上面空着的部分，但是不规则，我们没办法直接求出，那怎么办呢？
用转化方法，因为倒过来水的体积没有变，空气的体积也肯定没有变，说明两个瓶子空着的部分体积相等。我们只要算出右侧瓶子空着的部分的体积，就知道了左侧瓶子空着部分的体积了。
相等
相等
答：现在用了34.215立方米的土石。
35－3.14×（2÷2）×0.25
＝35－3.14×1×0.25
＝35－0.785
＝34.215(m )
2
基础练习
2. 学校要在教学区和操场之间修一道围墙，原计划用土石35m 。
后来多开了一个直径为2米，厚度为25cm的月亮门，减少了土石的用量。现在用了多少立方米的土石？
提示1：现在用的土石比原计划用的土石是多了还是少了？因为什么才导致这样的结果？
少了，因为月亮门的部分不需要用土石。
提示2：少用了的土石的体积和月亮门的体积有什么关系？
少用了的土石的体积就是月亮门的体积。
月亮门的体积你会算吗？
1. 两个底面积相等的圆柱，一个高为4.5dm，体积是81dm。另一个高为3dm，它的体积是多少？
81 ÷4.5＝18（ )
答：它的体积是54dm 。
要求第2个圆柱的体积，必须要知道什么？
拓展练习
它的底面积我们知道吗？能不能算出来？
通过第1个圆柱的体积和高，算出第1个圆柱的底面积：
第1个圆柱的的底面积和第2个圆柱的底面积相等，算出第2个圆柱的体积：
18×3＝53（ )
综合算式： 81 ÷4.5×3= 53（ )
2. 一个圆柱形玻璃容器的底面直径是10cm，把一块完
全浸泡在这个容器的水中的铁块取出后，水面下降
2cm。这块铁块的体积是多少？
V=π3.14×（10÷2）×2
＝3.14×5 ×2
＝3.14×25×2
＝78.5×2
＝157(cm )
2
答：这块铁皮的体积是157cm 。
水面因为什么面下降，说明了什么？
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拓展练习
因为取出了铁块而下降，下降部分水的体积就是铁块的积体。
请你想一想，以长为轴旋转，得到的圆柱是什么样子的？
3.14×10 ×20
＝3.14×100×20
＝314×20
＝6280(cm )
答：以长为轴旋转一周，得到的圆柱的体积是6280cm 。
3. 右面这个长方形的长是20cm，宽是10cm。
分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱。它们的体积各是多少？
20cm
10cm
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拓展练习
请你想一想，以宽为轴旋转，得到的圆柱又是什么样子的？
3.14×20 ×10
＝3.14×400×10
＝1256×10
＝12560(cm )
答：以宽为轴旋转一周，得到的圆柱的体积是12560cm 。
3. 右面这个长方形的长是20cm，宽是10cm。
分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱体。它们的体积各是多少？
20cm
10cm
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拓展练习
图1
图2
图3
图4
4. 下面4个图形的面积都是36dm2（图中单位：dm）。用这些图形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？ 哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？
18
12
9
6
2
3
4
6
上面4个图形当以长为圆柱底面周长时，会卷成什么样的圆柱？请你动手试一试，并算一下卷成的圆柱的体积。
拓展练习
4. 下面4个图形的面积都是36dm2（图中单位：dm）。用这些图形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？ 哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？
图1
图2
图3
图4
答：图4圆柱的体积最小，图1圆柱的体积最大。
18
12
9
6
2
3
4
6
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拓展练习
半径：18÷π÷2＝（dm）
图1
体积：π× ×2＝（dm ）
图2
半径：12÷π÷2＝ （dm）
体积： π ××3＝ （dm ）
半径：9÷ π ÷2＝ （dm）
图3
体积： π × ×4＝ （dm ）
半径：6÷ π ÷2＝ （dm）
图4
体积： π × ×6＝ （dm ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
4. 下面4个图形的面积都是36dm2（图中单位：dm）。用这些图形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？ 哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？
图1
图2
图3
图4
18
12
9
6
2
3
4
6
拓展练习
我发现，上面4个图形。当以长作为圆柱底面周长时，长方形的长和宽的长度越接近，所卷成的圆柱的体积越小。长和宽差距越大，卷成的圆柱的体积越大。
以长边为周长，长边越长体积越大
以长为长，越长越大
图1
图2
图3
图4
4. 下面4个图形的面积都是36dm2（图中单位：dm）。用这些图形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？ 哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？
18
12
9
6
2
3
4
6
上面4个图形当以宽为圆柱底面周长时，会卷成什么样的圆柱？请你动手试一试，并算一算卷成的圆柱体积。
拓展练习
图1
图2
图3
图4
4. 下面4个图形的面积都是36dm2（图中单位：dm）。用这些图形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？ 哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？
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12
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2
3
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答：图1圆柱的体积最小，图4圆柱的体积最大。
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半径：2÷π÷2＝（dm）
图1
体积：π× ×18＝（dm ）
图2
半径：3÷π÷2＝ （dm）
体积： π ×（×12＝ （dm ）
半径：4÷ π ÷2＝ （dm）
图3
体积： π × ×9＝ （dm ）
半径：6÷ π ÷2＝ （dm）
图4
体积： π × ×6＝ （dm ）
拓展练习
（ ）
（ ）
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图1
图2
图3
图4
4. 下面4个图形的面积都是36dm2（图中单位：dm）。用这些图形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？ 哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？
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12
9
6
2
3
4
6
我发现，上面4个图形。当以宽作为圆柱底面周长时，长方形的长和宽的长度越接近，所卷成的圆柱的体积越大。长和宽差距越大时，卷成的圆柱的体积越小。
以短为长，越短越小
以短边为周长，短边越短体积越小
拓展练习
拓展练习
图1
体积：π× ×2＝（dm ）
图2
体积： π ××3＝ （dm ）
图3
体积： π × ×4＝ （dm ）
图4
体积： π × ×6＝ （dm ）
体积：π× ×18＝（dm ）
体积： π ×（×12＝ （dm ）
体积： π × ×9＝ （dm ）
体积： π × ×6＝ （dm ）
图1
图2
图3
图4
4. 下面4个图形的面积都是36dm2（图中单位：dm）。用这些图形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？ 哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？
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12
9
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2
3
4
6
以长边为周长
以短边为周长
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拓展练习
图1
体积：π× ×2＝（dm ）
体积：π× ×18＝（dm ）
图1
图2
图3
图4
4. 下面4个图形的面积都是36dm2（图中单位：dm）。用这些图形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？ 哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？
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以长边为周长
以短边为周长
同一个长方形，以长作为底面周长时卷成的圆柱体积大，以宽为底面周长时，卷成的圆柱的体积小
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课堂小结
数学阅读
传说，古希腊著名的数学家阿基米德在生前曾留下遗言：他死后在他的墓碑上刻上一个“圆柱容球”的几何图形（就是在圆柱容器内放一个球，这个球要顶天立地、四处碰壁）。这是为什么呢？
原来，在阿基米德生前的许多发现中，他最为得意的就是圆柱与球的体积公式的发现。通过研究，他发现，当“圆柱容球”时，球的体积正好是圆柱体积的三分之二，而且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二，这真是太巧了！这是为什么呢？
原来呀，若想“圆柱容球”，就必须让球的直径与圆柱的高和底面直径相等，于是圆柱的体积V柱＝π×r×r×2r＝2πr×r×r，而球的体积公式正好是V球＝ π×r×r×r，所以V球＝ V柱。圆柱的表面积S柱＝S侧+S底×2＝2πr×2r+2πr×r＝6πr×r，而球的表面积S球＝4πr×r，所以S球：S柱＝2：3。这 就是阿基米德“圆柱容球”的巧合。
圆柱容球
