沪科版数学八年级下册第19章《四边形》单元试题及解析

沪科版数学八年级下册第19章《四边形》试题及解析
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是(????)
A. 四边形 B. 六边形 C. 八边形 D. 十边形
如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且????=????，则∠??=(????)
A. 90°B. 45°C. 30°D. 22.5°
下列正多边形的组合中(两种多边形都要用)，能够铺满地面的是(????)
A. 正三角形和正五边形 B. 正方形和正六边形C. 正三角形和正六边形 D. 正五边形和正八边形
如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点??.若∠??????=60°，????=8，则AB的长为(????)
A. 4 B. 4
3
C. 3 D. 5
如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若????=6，则AF等于(????)
A. 4
3
B. 3
3
C. 4
2
D. 8
已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：①????//????；②????=????；③????=????；④∠??????=∠??????；⑤????//????，从以上5个条件中任选2个条件为一组，能判定四边形ABCD是平行四边形的有(????)组．
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为(????)．
A. 5cm B. 10cm C. 14cm D. 20cm
如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，????=1，????=3，H是AF的中点，那么CH的长是(????)
A. 2.5B.
5
C.
3
2
2
D. 2
如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且????=????，P为CE上任意一点，????⊥????于点Q，????⊥????于点R，则????+????的值是(????)
A. 2
2
B. 2C. 2
3
D.
8
3

如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于(????)
A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
如图，?ABCD中，∠??????的平分线交边AD于E，????=4，????=2，?ABCD的周长______．
如图，在菱形ABCD中，????=6????，????=8????，则菱形ABCD的高AE为______?????．
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若????=6，????=8，则菱形ABCD的周长是______．
如图，四边形ABCD是平行四边形，若S
?
□
??
????????
=12，则
??
阴影
= ? ? ? ? ??．
三、计算题（本大题共5小题，共55分）
如图，平行四边形ABCD中，对角线????=21????，????⊥????，垂足为E，且????=5????，????=7????，求AD和BC之间的距离．

如图，已知长方形ABCD中，????=8????，????=10????，在边CD上取一点E，将△??????折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求EF的长．

如图，某村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A，B，C，D处各栽有一棵大树．该村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保留四棵大树，并要求扩建后的池成平行四边形，请问：村长能否实现这一设想？若能，请你帮村长设计并画出图形；若不能，请说明理由．
如图，在四边形ABCD中，DB平分∠??????，∠??????=120°，∠??=60°，∠??????=30°；延长CD到点E，连接AE，使得∠??=
1
2
∠??．(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)若????=12，求AD的长．
如图，在菱形ABCD中，∠??=60°，????=1，延长AD到点E，使????=????，延长CD到点F，使????=????，连接AC、CE、EF、AF。 ⑴求证：四边形ACEF是矩形；⑵求四边形ACEF的周长。
四、解答题（本大题共2小题，共25分）
已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F，求证：四边形AFCE是菱形．

如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．(1)猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；(2)将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度??，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．

答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，(???2)?180°=3×360°，解得??=8．故选C．根据多边形的内角和公式(???2)?180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．2.【答案】D
【解析】【分析】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角等于两个不相邻的内角的和，解题的关键是熟练掌握这些性质，根据正方形的性质得∠??????=45°，再根据等腰三角形的性质得∠??=∠??????，再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠??????=∠??????=45°，∵????=????，∴∠??????=∠??，∵∠??????=∠??+∠??????，∴∠??=∠??????=22.5°，故选D．3.【答案】C
【解析】解：A、正三角形和正五边形内角分别为60°、108°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；B、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；C、正三角形和正六形内角分别为60°、120°，由于120°×2+60°×2=360°，故能铺满；D、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．故选C．正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°.若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．此题主要考查了平面镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．4.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴????=
1
2
????，????=
1
2
????=4，????=????，∴????=????，∵∠??????=60°，∴△??????是等边三角形，∴????=????=4；故选：A．先由矩形的性质得出????=????，再证明△??????是等边三角形，得出????=????=4即可．本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．5.【答案】A
【解析】【分析】此题考查了轴对称的性质，矩形的性质，30°直角三角形的性质，勾股定理，掌握这些性质是关键，先根据折叠的性质得到????=????，????=????，再由E是CD的中点可求出ED的长，再求出∠??????的度数，设????=??，则????=2??，在????△??????中利用勾股定理即可求解．【解答】解：由折叠的性质得????=????，????=????，因为????=6，E为CD中点，所以????=3，因为????=????=????=6，所以∠??????=30°，则∠??????=
1
2
×(90°?30°)=30°，设????=??，则????=2??，在????△??????中，(2??
)
2
=
6
2
+
??
2
，
??
2
=12，
??
1
=2
3
，
??
2
=?2
3
(舍去)，????=2
3
×2=4
3
，故选A．6.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定进行选择即可．【解答】解： ①与⑤根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；①与③根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；①与④，⑤与④根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；①与②，②与⑤根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形．所以能推出四边形ABCD为平行四边形的有6组．故选：C．7.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记．根据菱形的对角线互相垂直平分可得????⊥????，????=
1
2
????，????=
1
2
????，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，∴????⊥????，????=
1
2
????=
1
2
×6=3????，????=
1
2
????=
1
2
×8=4????，根据勾股定理得，????=
??
??
2
+??
??
2
=
3
2
+
4
2
=5????，所以，这个菱形的周长=4×5=20????．故选D．
8.【答案】B
【解析】解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，????=1，????=3，∴????=
2
，????=3
2
，∠??????=∠??????=45°，∴∠??????=90°，由勾股定理得，????=
??
??
2
+??
??
2
=
2
2
+(3
2
)
2
=2
5
，∵??是AF的中点，∴????=
1
2
????=
1
2
×2
5
=
5
．故选：B．连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠??????=∠??????=45°，再求出∠??????=90°，然后利用勾股定理求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．9.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，熟记性质并作辅助线，利用三角形的面积求出????+????等于点C到BE的距离是解题的关键．连接BP，设点C到BE的距离为h，然后根据
??
△??????
=
??
△??????
+
??
△??????,
求出?=????+????，再根据正方形的性质求出h即可．【解答】解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为h，则
??
△??????
=
??
△??????
+
??
△??????
，即
1
2
??????=
1
2
?????????+
1
2
?????????，∵????=????，∴?=????+????，∵正方形ABCD的边长为4，∴?=4
2
×
1
2
=2
2
．故选：A．10.【答案】A
【解析】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴????=28÷4=7，????=????，∵??为AD边中点，∴????是△??????的中位线，∴????=
1
2
????=
1
2
×7=3.5．故选：A．根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得????=????，然后判断出OE是△??????的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．11.【答案】20
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴????=????，????=????=4，????//????，∴∠??????=∠??????，∵????平分∠??????，∴∠??????=∠??????，∴∠??????=∠??????，∴????=????=????=4，∵????=????+????=4+2=6，∴平行四边形ABCD的周长是????+????+????+????=4×2+6×2=20，故答案为：20．根据平行四边形性质????=????，????=????，????//????，推出∠??????=∠??????，根据角平分线定义得出∠??????=∠??????，推出∠??????=∠??????，求出????=????=????=4，然后再计算出AD长，进而可得答案．本题考查了角平分线定义，平行线性质，平行四边形性质、等腰三角形的判定等知识点的应用；熟练掌握平行四边形的性质，求出????=????是解决问题的关键．12.【答案】
24
5

【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴????、BD互相垂直平分，∴????=
1
2
????=
1
2
×8=4(????)，????=
1
2
????=
1
2
×6=3(????)，在△??????中，由勾股定理，可得????=
??
??
2
+??
??
2
=
4
2
+
3
2
=5(????) ∵????⊥????，∴?????????=?????????，∴????=
?????????
????
=
6×4
5
=
24
5
(????)，即菱形ABCD的高AE为
24
5
????．故答案为：
24
5
．首先根据菱形的对角线互相垂直平分，再利用勾股定理，求出BC的长是多少；然后再结合△??????的面积的求法，求出菱形ABCD的高AE是多少即可．此题主要考查了菱形的性质、勾股定理的应用，以及三角形的面积的求法，解答此题的关键是求出BC的长是多少．13.【答案】20
【解析】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，????=6，????=8，∴∠??????=90°，????=3，????=4，∴????=5，∴菱形ABCD的周长是：20．故答案为：20．直接利用菱形的性质结合勾股定理得出AB的长，进而得出答案．此题主要考查了菱形的性质，正确把握菱形的性质是解题关键．14.【答案】3
【解析】略15.【答案】解：设AD和BC之间的距离为x，则平行四边形ABCD的面积等于???????，∵
??
平行四边行????????
=2
??
△??????
=2×
1
2
?????????=?????????，∴???????=?????????，即：7??=21×5，??=15(????)，答：AD和BC之间的距离为15cm．
【解析】利用等积法，设AD与BC之间的距离为x，由条件可知?ABCD的面积是△??????的面积的2倍，可求得?ABCD的面积，再由
??
四边形????????
=???????，可求得x．本题主要考查平行四边形的性质，由条件得到四边形ABCD的面积是△??????的面积的2倍是解题的关键，再借助等积法求解使解题事半功倍．16.【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴????=????=10????，????=????=8????，根据题意得：????△??????≌????△??????，∴∠??????=90°，????=10????，????=????，设????=??????，则????=????=??????，????=?????????=(8???)????，在????△??????中，由勾股定理得：??
??
2
+??
??
2
=??
??
2
，即
8
2
+??
??
2
=
10
2
，∴????=6????，∴????=?????????=10?6=4(????)，在????△??????中，由勾股定理可得：??
??
2
=??
??
2
+??
??
2
，即
??
2
=(8???
)
2
+
4
2
，∴??=5 即：EF的长为5cm．
【解析】先根据折叠求出????=10，进而用勾股定理求出BF，即可求出CF，最后用勾股定理即可得出结论．本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．17.【答案】解：能．如图所示：
【解析】连接AC、BD，然后分别过点A，B，C，D作AC、BD的平行线，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形．本题考查了平行四边形的判定定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．18.【答案】(1)证明：∵∠??????=120°，∠??=60°，∴∠??????+∠??????=180°，∴????//????，即????//????；又∠??=60°，∠??=
1
2
∠??，∠??????=30°，∴∠??=∠??????=30°，∴????//????，∴四边形ABDE是平行四边形； (2)解：∵????//????，∴四边形ABCD是梯形，∵????平分∠??????，∠??????=30°，∴∠??????=∠??????=60°，∴四边形ABCD是等腰梯形；∴????=????，∵在△??????中，∠??=60°，∠??????=30°，∴∠??????=90°，又????=12，∴????=????=
1
2
????=6．
【解析】(1)可证明????//????，????//????，即可证明四边形ABDE是平行四边形；由∠??????=120°，∠??=60°，得????//????；∠??=
1
2
∠??=∠??????=30°，得????//????；(2)可证得四边形ABCD是等腰梯形，????=????，易证△??????是直角三角形，可得????=
1
2
????=6．本题考查的知识点较多，有等腰梯形、直角三角形的性质以及平行四边形的判定和性质，只有牢记这些知识才能熟练运用．19.【答案】解：(1)∵????=????，????=????，∴四边形ACEF是平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴????=????，∴????=????，∴四边形ACEF是矩形；(2)∵△??????是等边三角形，∴????=????=1，∵四边形ACEF为矩形，∴????=????=1，过点D作????⊥????于点G， ∴????=????=????×??????30°=
3
2
，∴????=????=2????=
3
，∴四边形ACEF的周长为：????+????+????+????=1+
3
+1+
3
=2+2
3
．
【解析】(1)由对角线互相平分的四边形为平行四边形得出ACEF为平行四边形，再由ABCD为菱形，得到????=????，进而得到????=????，利用对角线相等的平行四边形为矩形即可得证；(2)由三角形ACD为等边三角形，得到????=????=1，利用矩形对边相等得到????=????=1，过点D作????⊥????于点G，利用锐角三角函数定义求出AG的长，得到AF的长，即可求出矩形ACEF的周长．此题考查了矩形的判定与性质，以及菱形的判定，熟练掌握矩形的判定与性质是解本题的关键．20.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴????//????，∴∠??????=∠??????，∵????垂直平分AC，∴????=????，????⊥????，在△??????和△??????中，
∠??????=∠??????
?
????=????
?
∠??????=∠??????
?
，∴△??????≌△??????(??????)，∴????=????，∴四边形AFCE为平行四边形，又∵????⊥????，∴平行四边形AFCE为菱形．
【解析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定方法、全等三角形的判定与性质.熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.由ASA证明△??????≌△??????，得出对应边相等????=????，证出四边形AFCE为平行四边形，再由????⊥????，即可得出结论．21.【答案】解：(1)延长BG交DE于点H，在△??????与△??????中，
????=????
∠??????=∠??????
????=????
,∴△??????≌△??????(??????)，∴∠??????=∠??????，????=????，∵∠??????=∠??????，∴∠??????=∠??????=90°，∴????⊥????； (2)????=????，????⊥????仍然成立如图2，∠??????+∠??????=∠??????+∠??????，即∠??????=∠??????，在△??????与△??????中，
????=????
∠??????=∠??????
????=????
,∴△??????≌△??????(??????)，∴∠??????=∠??????，????=????，∵∠??????=∠??????，∴∠??????=∠??????=90°，即????⊥????
【解析】(1)延长BG交DE于点H，易证△??????≌△??????，所以∠??????=∠??????，????=????，所以∠??????=90°；(2)易证△??????≌△??????，所以∠??????=∠??????，????=????，所以∠??????=90°．本题主要考查正方形，涉及正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，综合程度较高，需要学生根据所学知识灵活解答．