人教B版 必修5 高二数学 2.2.2等差数列的前n项和 教学课件(共40张PPT)

(共40张PPT)
回顾旧知
等差数列{an}的通项公式：an=a1+（n-1）d
也可整理为an=dn+（a1-d）
值得注意的是：

n=1时必须得成立，才能这样写通项公式。
新课导入
一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？




















































































问题就是求“1+2+3+4+…+100=？”
高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
学了之后你会发现你比高斯聪明
2.2.2 等差数列的前n项和
教学目标
知识与能力
（1）掌握等差数列前n项和公式.

（2）掌握等差数列前n项和公式的推导过程.

（3）会简单运用等差数列的前n项和公式.
过程与方法
（1）通过对等差数列前n项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学方法.

（2）通过公式的运用体会方程的思想.

（3）通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力.
情感态度与价值观
结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化.
教学重难点
重点：
等差数列前n项和的公式，有关等差数列问题求解的基本方法.
难点：
获得递推公式的思路，等差数列前n项和公式的其他形式.

思考：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？用什么办法做呢？

这是求奇数个项的和的问题，能不能直接用高斯的办法呢求和呢？







































































































































































































































问题:图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？















































































































































































































































































































































































































































































倒过来相加如何？







































































































































































































































21








































































































































































































































21

20

19

1

1

2


3


获得算法：
设等差数列 {an} 的首项为a1，公差为d，如何求等差数列的前n项和Sn= a1 +a2+a3+…+an?
设等差数列a1,a2,a3,…
它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1)
若把次序颠倒是 Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2)
由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
例 1：
解：

(1)(2)两式左右分别相加，得

这种方法叫倒序相加法.
2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+…+
(an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)

能否用a1,n,d表示Sn呢？
将an=a1+(n-1)d代入
【说明】
①推导等差数列的前n项和公式的方法叫 ；
②{an}为等差数列? ，这是一个关于 的，没有 的“ ” .
倒序相加法
Sn=an2+bn
n
常数项
二次函数
（ 注意 a 还可以是 0）
等差数列前n项和公式
【公式记忆】
用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前n项和的两个公式.
等差数列的前n项和公式类同于 ；
梯形的面积公式
(补成平行四边形)


a1
a1
an
an
__
__

n


__
__

n



a1
a1
(n-1)d
（分割成一个平行四边形及一个三角形）
1、若数列{an}为等差数列，则s3m=3（s2m-sm）
2、若数列{an}为等差数列，且sp=q，sq=p，sp+q=-（p+q）
3、若数列项数为2n+1，则s奇+s偶=s2n+1= （a1+a2n+1）×（2n+1），s奇-s偶=an+1，
等差数列前n项和的结论

将等差数列的前n项和公式写成上
述形式,有利于求其前n项和的极值:
等差数列前n项和再认识:

a1<0,d>0 a1>0, d<0
极大值 无 有
极小值 有 无


n
sn




n
sn



a1<0, d>0,极小值

a1>0,d<0,极大值

观察上面的式子,我们可以看出它是关于n 的二次函数,从而等差数列的前n项和可以写成形如:

y = Ax2+ Bx

y = Ax+ B
通过上面的例题，对于等差数列的相关量a1、d、n、an、sn，一般确定几个量就可以确定其他量？
a1、an、n
an、sn
a1、d、an
a1、d、n
a1、an、sn
an、d、n
an、sn、n
n、sn
d、sn
d、n
a1、sn
a1、d







由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出.
已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.
求前16项的和?
由等差数列的性质可得:
a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18
sn=(16/2 )×18=144
答:前16项的和为144.
分析：可以由等差数列性质，直接代入前n项和公式.
例 2：
解：
等差数列 -10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？
解：
n1=9，n2=-3 (舍去)
等差数列-10，-6，-2，2，…前9项的和是54.
例3：
设题中的等差数列为{an}，前n项和是 Sn，
则a1= -10，d= -6-(-10) = 4,设 Sn=54，
根据等差数列前 n项和公式，得

n要为正整数
已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求Sn.
解：
S10=310，S20=1 220
例 4：
法二：相减得5d=－110
即 d=－22
一个等差数列，共有 10 项，其中奇数项的和为 125，偶数项的和为 15，求 a 1、d.
例 5：
解：
归纳：
等差数列中，
n 为奇数，必有
n 为偶数，必有
等差数列中，a5=14，a2+ a9=31，求S12
法二：
∵ a 5 + a 6 = a 2 + a 9
∴ a 6 = 17
公差 d = a 6 －a 5 = 3
∴ a 7 = 20
= ( a 6 + a 7 )×6
= 222
例6：
解：
等差数列 { a n } 中，S 15 = 90，求 a 8
法一：a 1 + a 1 + 14d = 12
即 a 1 + a 15 = 12
即 a 1 + 7d = 6
∴ a 8 = a 1 + 7d = 6
= 6
例7：
解：
选用中项求等差数列的前 n 项之和 S n
当 n 为奇数时，S n = ____________；
当 n 为偶数时， S n = _______________________.
归纳：
　 南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在《张丘建算经》里给出了几个等差数列问题.
　　例如：“今有女子不善织布，逐日所织之布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”
原书的解法是：“并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得.”
思考与余味:
　　再如：“今有女子善织布，逐日所织的布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？”
这是一道等差数列知道前30项和，a1的值，求等差数列的公差.
课堂小结
本节课主要讲述了等差数列的前n项和公式：
① s n=n（a1+an）/2
② s n=na1+n（n-1）d/2

以及他们的推导过程，在具体使用时,不一定完全套用公式,要灵活变通.
③
1.推导等差数列前 n项和公式的方法.

2.公式的应用中的数学思想.

-------倒序相加法

-------方程思想
3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知
其中三个量，可以求其余两个.
-------知三求二

裂项求和
有些数列求和的问题，可以对相应的数列的通项公式加以变形，将其写成两项的差，这样整个数列求和的各加数都按同样的方法裂成两项之差，其中每项的被减数一定是后面某项的减数，从而经过逐项相消仅剩下有限项，可得出前n项和公式。
　?????????????????????????????????????????????????????????????????．
知识要点补充
　如求和： ????????????????????????????????????????????????????????????
提示：
则：
随堂练习
1、如图，一个堆放铅笔的 V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支铅笔？




















由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为{an},其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前n项和的公式，得
答：V形架上共放着 7260支铅笔.
解：
2、在等差数列{an}中，
（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn
（1）a3= -2，a8=12，求S10
（2）由等差数列的通项公式，得
14.5+(n-1)?0.7=32 ? n=26
（1）a1+a10 = a3+a8 = 10
解：
3、凸 n 边形各内角成等差数列，公差为 10?，最小内角为 100?，则n等于（ ）
（A）7 （B）8 （C）9 （D）8或 9
由题意，得 :
解得 n=8 或 n=9
B
(舍)

解：

这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，记为｛an}, 其中 a1=7500,a7=10500.
根据等差数列前n项和公式，得
答：这位长跑运动员7天共跑了63000m.
4、某长跑运动员7天里每天的训练量是：
7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500
这位运动员7天共跑了多少米？ （单位：m）
解：