人教B版 必修5 高二数学 2.3.1等比数列 教学课件(共40张PPT)

(共40张PPT)
回顾旧知
(1)复习数列的有关概念
(2)复习等差数列的有关概念
(3)复习等差数列前n项和的概念
首先对上一节课，进行回顾
世界杂交水稻之父—袁隆平
袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代时大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有效数字）？
学了本节，这样的小问题就如探囊取物?
2.3.1 等比数列
教学目标
（1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.
（2）理解等比数列的概念,能用函数的观点认识等比数列.

知识与能力
过程与方法
（1）通过观察、操作，了解等比数列的过程.
（2）进一步了解等比数列在实际生活中的应用.
（3）掌握简单的等比数列的方法，在动手操作中认识等比数列.
情感态度与价值观
（1）通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.

（2）通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.
教学重难点
等比数列“等比”特点的理解、把握和应用.
重点：
（1）等比数列的概念的理解与掌握.

（2）等比数列的通项公式的推导及应用.
难点：
（1） 8，16，32，64，128，256，…
（2） 1，1，1，1，1，1，1，…
（3） 243，81，27，9，3，1，，，…
（4） 1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…
（5） 1，－10，100，－1000，10000，100000，…
说出这些数列的特点
想一想
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数 .

等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用字母q表示.
等比数列的概念
等比数列的通项公式：
……


递推法
等比数列的通项公式：

……

共n – 1 项
×）
叠乘法
拓展：

可得

等比数列的注意点
（1）等比数列的首项不为0；
（2）等比数列的每一项都不为0，即　　　；
（4）公比q一定是由后项除以前项所得，而不能用前项除以后项来求；
（3） q=1时，{an}为常数列；
等比数列的单调性
{an}为递增数列?


或
{an}为递减数列?


或
{an}为摆动数列?
{an}为常数列?
等比数列的等价式
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使 a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
因此，
如果G是a与b的等比中项，那么
，即
那么G是 的等比中项.
或
反过来，如果 同号，G等于


知识要点
同号的两项才有等比中项，且有两个.
（因为是等比中项的平方）
注意
数 列 等 差 数 列 等 比 数 列
定 义
公差（比）
定义变形?
通项公式?
一般形式?
an+1-an=d
d 叫公差
q叫公比
an+1=an+d
an+1=an q
an= a1+(n-1)d
an=a1qn-1
an=am+(n-m)d
an=amqn-m
等差数列与等比数列的对比
已知：a，b，c成等比数列，
求证：ab，ac，bc成等比数列.
证明: 在等比数列
∵ am=a1qm-1 , an=a1 qn-1
∴ aman=a1qn-1a1qm-1=a12qn+m-2
=a12qr+s-2=a1qr-1a1qs-1
=aras
∴aman=aras
例1
已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，求q.
分析：这是一个等差数列与等比数列结合的题.
a1×a3=a22 a1+a2=2a3
得q=1或
例2
解：






3
10
1
5
2
1
,
,
10
10
10
10
5
1
5
2
5
1
5
0
）这个数列中任意两项的积仍然在这个数列中.
（
项的
项是它后面第
）这个数列中的任意一
（
；
这个数列是等比数列
）
（
求证：
，
，
，
，
已知无穷数列
L
L
-
n
例3
分析：这是等比数列定义与性质的应用.
所以，这个数列是等比数列 .
∵p ，q ? N* ，所以 p + q – 1 ? N*,
已知数列
满足
（1）求证：数列{bn+2}是公比为2的等比数列；

（2）求
例4
分析：此题是两个数列相结合的问题.首先要明白关系.
解：
（1）由 得
是公比为2的等比数列.
令n=1，2，…n－1，则
各式相加得
（2）由（1）可知
（1）观察归纳法 这个方法需要学生很强的反应能力！
比如 21，203，2005，20007…这个你能很快看出来吗 ？

（2）累差法和累商法（我们书本教材上叫做迭加和迭乘，具体前面说了这就不多说了）
形如：已知a1，且an+1-an=f(n) 已知a1，且an+1/an=f(n) .
求等差等比数列通项公式的常用方法
（3）构造法 这个方法最难，不过把握技巧后无论什么题目都是迎刃而解 形如：已知a1,an+1=pan+q的形式就可构造，即配成an+1+x=p(an+x) 当然中间减号也是一样！

例题，数列满足a1=1,an+1=1/2 an+1 解：设an+1+A=1/2(an+A) 然后一零待定系数放，这个展开各项都应等于原题的各项就可以求出了！

（4）公式法 这个方法不用多讲了！两个公式，等差，等比！不用题目往往不会考你那么简单，经常都设置个陷阱，可能是 n=1常常没考虑进去！所以做题时应慎之！
2.
是等比数列

成等差数列时，
成等比数列.
1.
公比为的q等比数列中，
等比数列的解题技巧
结论：a，b同号，G2=ab是G是a，b的 等比中项的充要条件.
3.
5.下标和公式:
等比数列{an}中,如果 m+n=r+s,(m,n,r,s ∈N*) 那么am.an=ar as .

4.对称设法:三数为 a/q,a, aq


.
,
,
,
,
.
,
,
,
.
2
6.
q
aq3
aq
aq
a

注意这里公比是
分别为
并知其积时，可设它们
当四个数成等比数列，
这样便于求解
它们分别为
并知其积时，可设
当三个数成等比数列，
1. 等比数列的概念.必须从第2项起后项除以前项，并且比是 同 一常数.
2.等差数列的通项公式 an=a1qn –1.
知道其中三 个（或两个）字母变量，可用列方程（或方程组）的方法，求余下的一个（或两个）变量.
课堂小结

记一记
3.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列, 那么G叫做a与b的等比中项.(有两个它们互为相反数)
4.做求等比数列题的一些技巧与方法.
随堂练习
1.在等比数列 { a n } 中，a 1 = 2 ，a 7 a 8 = 80 ,
求 a 14 .
解：因为{ a n }为等比数列 ，所以 a 1a 14 = a 7 a 8 .
2.已知数列
是等差数列，且
（1）求数列
的通项公式；
求数列
前n项和的公式.
（2）令
（1）设数列
公差为
，则
又
所以
（2）令
则由
得

①
解：
②

时，①式减去②式，得

所以
当
时,
综上可得:当
时,
当
时，
当
3.已知数列
满足
（1）求证：数列{bn+2}是公比为2的等比数列；
（2）求 的值。
（1）由
,
是公比为2的等比数列.

令n=1，2，…n－1，则
各式相加得
（2）由（1）可知
解：
4.已知数列
的前n项和为
（1）求
（2）求证数列
是等比数列.
(1)由
得
∴
又
即
得
(2)当n>1时,
得
所以
是首项为
公比为
的等比数列.
解：