人教B版 必修5 高二数学 2.1.2数列的递推公式 教学课件(共36张PPT)

(共36张PPT)
知识回顾
1、数列：按一定顺序排列的一列数叫数列。
2、数列中的每一个数叫做这个数列的项。
各项依次叫做这个数列的第一项（首项）第二项，······，第n项， ······。
如果数列{an}第n项an与n之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做通向公式。
一个数列，它的项数可以是有限的也可以是无限的，根据数列的项数是有限的还是无限的，数列又分为有穷数列和无穷数列。
项数有限的数列叫做有穷数列
项数无限的数列叫做无穷数列
导入新课
1，2，3，4，5，··· n， ··· .（1）
1，1.4，1.41，1.414， ··· . （2）
4，5，6，7，8，9，10. （3）
－1，1，－1，1， ··· . （4）
下面是列举的几个简单数列
2.1.2 数列的递推公式
教学目标
知识与能力
了解递推公式是描述数列的一种方式之一，理解递推公式的概念以及它与数列的通项公式的区别。
过程与方法
培养学生的观察能力，归纳能力，发现规律，掌握由数列的递推公式写出数列的前几项。
情感态度与价值观
让学生在发现中获得成就感，在合作中体验友情和集体的智慧。
教学重难点
重点
数列的递推公式概念的理解及其应用。
难点
数列递推公式的发现与归纳。
观察数列{an}，a1=2，a2=4，a3=8，a4=16，即a1=2，从第2项开始，每一项是它前一项的2倍，因此该数列可以用如下方式给出：
a1=2， an=2an－1，(n=2，3，4，…)
再如数列，由操作计算器给出：
1
cos
cos
cos
……
a1=1， an=cos(an－1)，(n=2，3，4，…)
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。
1、数列的递推公式
a1=a， an=f(an－1)，(n=2，3，4，…)
解：a1=2，
例1．已知数列{an}的第1项是2，以后各项由公式 给出，写出这个数列的前5项.
例2. 已知直线l：y=x与曲线c： （如图所示），过曲线c上横坐标为1的一点P1作x轴的平行线交l于Q2，过Q2作x轴的垂线交曲线c于P2，再过P2作x轴的平行线交l于Q3，过Q3作x轴的垂线交曲线c于P3，……，设点P1，P2，…，Pn，…的纵坐标分别为a1，a2，…，an，…，试求数列{an}的递推公式。
解：由题意，点P1的横坐标为1，纵坐标为a1= ，点Qn+1与Pn的纵坐标相同，都是an，同时点Pn+1与Qn+1的横坐标相等，
点Pn+1在曲线c： 上，
由横坐标得它的纵坐标为
即
这就是数列{an}的递推公式。

例3.已知数列{an}中，a1=1，对任意自然数n都有
求an。
分析：由已知，


……，


累加，得

an-a1=
思考与讨论
本章图中的左图说明，一对小兔子（一雄一雌）一个月后长成一对成年兔，有一个月后生出一对小兔子（一雄一雌）；在过一个月小兔子长成成年兔。同时，成年兔生出一对兔子，在过一个月小兔子长成成年兔，一次规律，每过一个月小兔子长成成年兔，成年兔生出一对小兔子。假定每次生出的小兔子都是一雄一雌，并且排除兔子发生死亡的情况，这样每个兔子的对数，依次可以排成一个数列，请写出此数列的前六项，你能通过递推公式表示这个数列吗？
解析可得：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144
发现规律
得到一个公式：

递推公式和通项公式区别
通项公式只有一个an 递推式可能复合有a（n-1）之类的 一个通项公式可能有很多递推式， 但一个递推式一般能推导出一个通项公式
结论
2、根据数列递推公式求取其通项通法总结


型数列。
此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为

从而就有

将上述n-1个式子累加，变成
例. 在数列（an）中
解：依题意有


逐项累加有

从而

此类数解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为
型数列

从而就有
将上述n-1个式子累乘，变成
进而求解。

例 已知数列（an）中，求数列（an）的通项公式。
解：当n≧2时，

将这n-1个式子累乘，得到


当n=1时


课堂小结
1、数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。
2、递推公式和通项公式区别
通项公式只有一个an 递推式可能复合有a（n-1）之类的 一个通项公式可能有很多递推式， 但一个递推式一般能推导出一个通项公式
3、根据数列递推公式求取其通项通法总结（具体方法略）
1. 根据下列各个数列{an}的首项及其递推公式，写出数列的前5项，并归纳出通项公式：
（1）a1=0，an+1=an+(2n－1)，n∈N+；
（2）a1=1， , n∈N+；
课堂练习
解：（1）因为a1=0，an+1=an+(2n－1)，n∈N+；所以， a2=1 ， a3=4， a4=9，a5=16 ，
归纳出它的通项公式是an=(n－1)2 。
（2）a1=1， , n∈N+；

解:




归纳出它的通项公式是


3. 数列{an}中，a1=1，对于所有的n≥2且n∈N+，都有
（1）求a3+a5；
（2） 是此数列中的项吗？
解法1：（1）因为

所以，两式相除得
n≥2，n∈N+，
所以
解法2：（1）因为
所以
解得a2=4，
又
解得
同理可得
解：（2）令
则
解得n=16.
所以 是此数列中的一项。
（2） 是此数列中的项吗？
4、 已知数列{an}中，a1=0，a2=2，且an+1+an-1=2（an+1）（n≥2），求通项公式。
解：由已知，an+1- an = an -an-1+2（n≥2），构造新数列bn=an+1-an，则bn=bn-1+2，即数列{bn}为公差d=2,首项b1=2的等差数列。即bn=2n，从而an+1-an =2n。再用例3的累加法求出结果得an=n(n-1)。
5.设数列{an}：a1=1,且4an+1-anan+1+2an=9。求通项an.
解：把已知式子变形为

，令an= bn+t
从而
令t2-6t+9=0
解得
t1=t2=3



为、等差数列
求得