人教B版高中数学 必修五 3.2 均值不等式 上课课件(共35张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教B版高中数学 必修五 3.2 均值不等式 上课课件(共35张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 662.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-06 13:35:24 | ||
图片预览
文档简介
(共35张PPT)
性质1 如果a>b那么bb.
性质2 如果a>b且b>c,则a>c.
推论1 不等式中任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。
我们把推论一叫做不等式的移项法则
回顾旧知
推论2 如果a>b,c>d,则a+c>b+d
我们把a>b和c>d这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式。几个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向。
性质4 如果a>b,c>0，则ac>bc;如果a>b,c<0则ac推论1 如果a>b>0,则c>d>0,则ac>bd
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向
推论2 如果a>b>0,则an>bn(n∈N+,n>1)
推论3 如果a>b>0,则n√a> n√b
想一想何时能取到等号？
新课导入
人教B版 必修五 3.2 均值不等式
重要不等式：若a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)
算术平均数，几何平均数及它们的关系.
知识与能力
教学目标
过程与方法
学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.
理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.
情感态度与价值观
通过实验操作探索不等式的性质，激发学生的兴趣，培养学生的类比，探索和归纳总结的钻研精神。
重点
重要不等式：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号).
a2＋b2≥2ab 和(a+b)/2≧√ab成立的条件不相同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.
难点
教学重难点
1、均值定理
如果a,b∈R+ 那么
(a+b)/2≧√ab
当且仅当a=b时候，等号成立
证明 因为a>0,b>0,所以
（a+b）/2-√ab=(a+b-2√ab)/2=(√a-√b)2/2≧0
（a+b）/2≧√ab.当且仅当√a=√b，即a=b时，等号成立。
把这个结论通常称为均值不等式
对任意两个正实数a,b，数(a+b)/2叫做a,b的算术平均值，数√ab叫做a,b的几何平均值。
均值定理可以表述为：
两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值。
这个不等式，在证明不等式、求函数的最大值、最小值时有着广泛的应用，因此我们也称它为基本不等式。
均值不等式与不等式a2+b2≧2ab的关系如何？请对此进行讨论。
均值不等式的几何直观解释
令正实数a,b为两条线段的长，用几何作图的方式，做出长度为（a+b）/2和√ab的两条线段，然后比较两条线段的长。
C
A
O
D
B
如图所示
具体做法为
（1）作线段，AB=a+b，使得AD=a，DB=b；
（2）过AB 为直径做圆O；
（3）过D过点做CD⊥AB于D,交半圆于点C；
（4）连接AC,BC,OC,则CO=(a+b)/2
由于CD=atanA,CD=btanB=bcotA,因此
CD2=ab，CD=√ab
当a≠b时，在Rt△OCDD中，CO>CD,即（a+b）/2>√ab
当且仅当a=b时，点O于点D重合，CO=CD,即（a+b）/2=√ab.
所以（a+b）/2≧√ab,当且仅当a=b时，不等式中的等号成立。
小
结
论
注意均值不等式的几何解释，我们通常将其说成“半径不小于半弦”
例1 已知ab>0，求证：b/a+a/b≧2.并推导出式中等号成立的条件。
证明：因为ab>0，所以b/a>0,a/b>0
根据均值不等式，得
b/a+a/b≧a√(b/a)(a/b)=2
即b/a+a/b≧2
当且仅当b/a=a/b，即a2=b2时式中等号成立。
例2（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形的长、宽各位多少，矩形的周长最短？最短周长是多少？
（2）已知矩形的周长为36m，问这个矩形的长、宽各位多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
解（1）设矩形的长、宽分别为xm、ym一句题意得xy=100m2.因为x>0,y>0,所以（x+y）/2≧√xy.因此
2（x+y）≧4√100
即2（x+y）≧40
当且仅当x=y时，式中等号成立，此时
x=y=10
因此这个矩形的长、宽都是10m时，它的周长 最短 ，最短周长是40。
（2）设矩形的长和宽分别为设矩形的长、宽分别为xm、ym一句题意得2（x+y）=36，即（x+y）=18
因为x>0,y>0,所以√xy≦（x+y）/2,
因此√xy≦9
将这个正值不等式的两边平方，得到
xy≦81
当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9
因此，当这个矩形的长和宽都是9m时，它的面积最大，最大面积为81m2
结论
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
两个正数的积为常数时，它们的积有最大值。
例3.求函数f(x)=[1-(2x2+x-3)/x](x>0)的最大值，以及此时x的值
解： f(x)=[1-(2x2+x-3)/x]
因为x>0,所以2x+3/x≦-2√6.
因此f(x) ≦1- 2√6.
当且仅当2x=3/x，即x2=3/2时，式中等号成立。
由于x>0,因而x=√6/2时，式中等号成立。
因此f(x)max=1-2√6,此时x=√6/2
例4、求函数y=4sinx·cos2x的最值
解：∵y2=16sin2x·cos2x·cos2x=8（2sin2x· cos2x·cos2x）
=8×8/27=64/27
∴y2≤64/27，当且仅当2sin2x=cos2x即tgx=±√2/2时，取“=”号
∴y=8/9√3
1、均值定理
如果a,b∈R+ 那么
(a+b)/2≧√ab
当且仅当a=b时候，等号成立
把这个结论通常称为均值不等式
课堂小结
对任意两个正实数a,b，数(a+b)/2叫做a,b的算术平均值，数√ab叫做a,b的几何平均值。
均值定理可以表述为：
两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值。
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
两个正数的积为常数时，它们的积有最大值。
注意均值不等式的几何解释，我们通常将其说成“半径不小于半弦”
1、求y=sinx+5/sinx的最小值，[x∈（0，π）]
解：∵x∈（0，π）∴sinx＞0
又 y=sinx+5/sinx =sinx+1/sinx +4/sinx+≥2+1/sinx
当且仅当sinx=1/sinx即sinx=1?时，
取“=”号，而此时4/sinx也有最小值4
∴当sinx=1时，ymix=6
课堂练习
2、已知正数x、y满足2x+y=1，求1/x+1/y的最小值
解：∵2x+y=1
∴
=2+2x/y+y/x+1≥3+2√2
当且仅当y/x=2x/y 即y=√2x时，取“=”号
即此时ymix=3+2√2
3、已知：a、b、c都是小于1的正数，求证：（1-a ）b、（1-b）c、（1-c）a中至少有一个不大于1/4
证法一、
假设（1-a）b＞1/4，（1-b）c＞1/4，（1-c）a＞1/4
∵a、b、c∈（0，1），则
3=[（1-a）+b]+[（1-b）+c]+[（1-c）+a]
证法二、假设（1-a）b＞1/4，（1-b）c＞1/4，（1-c）a＞1/4
则（1-a）b（1-b）c（1-c）a＞1/64
又（1-a）b（1-b）c（1-c）a≤
1、第24届前苏联数学奥林匹克竞赛题
设 是正数，且 ，
证明：
≥
分析：挖掘等号配凑 ， ，
… ， 。
将这n个不等式相加再化简即可.
能力提升练习
2、第15届全俄数学奥林匹克竞赛题:
设 a≥0, b≥0, c≥0,且 a+b+c ≤3,
求证：
分析：直接套用模型：
三式相加，得不到结论。 究其原因：等号不成立.
显然，等号成立时必须a=b=c=1,此时，
，所添项的值必为 ，因此，所添
项应为 .将前面三个不等式分别改为
， ，
它们相加再化简即可.
3、第24届前苏联数学奥林匹克竞赛题
设 是正数，且 ，
证明：
≥
分析：挖掘等号配凑 ， ，
… ， 。
将这n个不等式相加再化简即可.
解： ＝
＝
三式相加得：
＝
∴可以得到
≥
性质1 如果a>b那么b
性质2 如果a>b且b>c,则a>c.
推论1 不等式中任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。
我们把推论一叫做不等式的移项法则
回顾旧知
推论2 如果a>b,c>d,则a+c>b+d
我们把a>b和c>d这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式。几个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向。
性质4 如果a>b,c>0，则ac>bc;如果a>b,c<0则ac
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向
推论2 如果a>b>0,则an>bn(n∈N+,n>1)
推论3 如果a>b>0,则n√a> n√b
想一想何时能取到等号？
新课导入
人教B版 必修五 3.2 均值不等式
重要不等式：若a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)
算术平均数，几何平均数及它们的关系.
知识与能力
教学目标
过程与方法
学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.
理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.
情感态度与价值观
通过实验操作探索不等式的性质，激发学生的兴趣，培养学生的类比，探索和归纳总结的钻研精神。
重点
重要不等式：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号).
a2＋b2≥2ab 和(a+b)/2≧√ab成立的条件不相同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.
难点
教学重难点
1、均值定理
如果a,b∈R+ 那么
(a+b)/2≧√ab
当且仅当a=b时候，等号成立
证明 因为a>0,b>0,所以
（a+b）/2-√ab=(a+b-2√ab)/2=(√a-√b)2/2≧0
（a+b）/2≧√ab.当且仅当√a=√b，即a=b时，等号成立。
把这个结论通常称为均值不等式
对任意两个正实数a,b，数(a+b)/2叫做a,b的算术平均值，数√ab叫做a,b的几何平均值。
均值定理可以表述为：
两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值。
这个不等式，在证明不等式、求函数的最大值、最小值时有着广泛的应用，因此我们也称它为基本不等式。
均值不等式与不等式a2+b2≧2ab的关系如何？请对此进行讨论。
均值不等式的几何直观解释
令正实数a,b为两条线段的长，用几何作图的方式，做出长度为（a+b）/2和√ab的两条线段，然后比较两条线段的长。
C
A
O
D
B
如图所示
具体做法为
（1）作线段，AB=a+b，使得AD=a，DB=b；
（2）过AB 为直径做圆O；
（3）过D过点做CD⊥AB于D,交半圆于点C；
（4）连接AC,BC,OC,则CO=(a+b)/2
由于CD=atanA,CD=btanB=bcotA,因此
CD2=ab，CD=√ab
当a≠b时，在Rt△OCDD中，CO>CD,即（a+b）/2>√ab
当且仅当a=b时，点O于点D重合，CO=CD,即（a+b）/2=√ab.
所以（a+b）/2≧√ab,当且仅当a=b时，不等式中的等号成立。
小
结
论
注意均值不等式的几何解释，我们通常将其说成“半径不小于半弦”
例1 已知ab>0，求证：b/a+a/b≧2.并推导出式中等号成立的条件。
证明：因为ab>0，所以b/a>0,a/b>0
根据均值不等式，得
b/a+a/b≧a√(b/a)(a/b)=2
即b/a+a/b≧2
当且仅当b/a=a/b，即a2=b2时式中等号成立。
例2（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形的长、宽各位多少，矩形的周长最短？最短周长是多少？
（2）已知矩形的周长为36m，问这个矩形的长、宽各位多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
解（1）设矩形的长、宽分别为xm、ym一句题意得xy=100m2.因为x>0,y>0,所以（x+y）/2≧√xy.因此
2（x+y）≧4√100
即2（x+y）≧40
当且仅当x=y时，式中等号成立，此时
x=y=10
因此这个矩形的长、宽都是10m时，它的周长 最短 ，最短周长是40。
（2）设矩形的长和宽分别为设矩形的长、宽分别为xm、ym一句题意得2（x+y）=36，即（x+y）=18
因为x>0,y>0,所以√xy≦（x+y）/2,
因此√xy≦9
将这个正值不等式的两边平方，得到
xy≦81
当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9
因此，当这个矩形的长和宽都是9m时，它的面积最大，最大面积为81m2
结论
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
两个正数的积为常数时，它们的积有最大值。
例3.求函数f(x)=[1-(2x2+x-3)/x](x>0)的最大值，以及此时x的值
解： f(x)=[1-(2x2+x-3)/x]
因为x>0,所以2x+3/x≦-2√6.
因此f(x) ≦1- 2√6.
当且仅当2x=3/x，即x2=3/2时，式中等号成立。
由于x>0,因而x=√6/2时，式中等号成立。
因此f(x)max=1-2√6,此时x=√6/2
例4、求函数y=4sinx·cos2x的最值
解：∵y2=16sin2x·cos2x·cos2x=8（2sin2x· cos2x·cos2x）
=8×8/27=64/27
∴y2≤64/27，当且仅当2sin2x=cos2x即tgx=±√2/2时，取“=”号
∴y=8/9√3
1、均值定理
如果a,b∈R+ 那么
(a+b)/2≧√ab
当且仅当a=b时候，等号成立
把这个结论通常称为均值不等式
课堂小结
对任意两个正实数a,b，数(a+b)/2叫做a,b的算术平均值，数√ab叫做a,b的几何平均值。
均值定理可以表述为：
两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值。
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
两个正数的积为常数时，它们的积有最大值。
注意均值不等式的几何解释，我们通常将其说成“半径不小于半弦”
1、求y=sinx+5/sinx的最小值，[x∈（0，π）]
解：∵x∈（0，π）∴sinx＞0
又 y=sinx+5/sinx =sinx+1/sinx +4/sinx+≥2+1/sinx
当且仅当sinx=1/sinx即sinx=1?时，
取“=”号，而此时4/sinx也有最小值4
∴当sinx=1时，ymix=6
课堂练习
2、已知正数x、y满足2x+y=1，求1/x+1/y的最小值
解：∵2x+y=1
∴
=2+2x/y+y/x+1≥3+2√2
当且仅当y/x=2x/y 即y=√2x时，取“=”号
即此时ymix=3+2√2
3、已知：a、b、c都是小于1的正数，求证：（1-a ）b、（1-b）c、（1-c）a中至少有一个不大于1/4
证法一、
假设（1-a）b＞1/4，（1-b）c＞1/4，（1-c）a＞1/4
∵a、b、c∈（0，1），则
3=[（1-a）+b]+[（1-b）+c]+[（1-c）+a]
证法二、假设（1-a）b＞1/4，（1-b）c＞1/4，（1-c）a＞1/4
则（1-a）b（1-b）c（1-c）a＞1/64
又（1-a）b（1-b）c（1-c）a≤
1、第24届前苏联数学奥林匹克竞赛题
设 是正数，且 ，
证明：
≥
分析：挖掘等号配凑 ， ，
… ， 。
将这n个不等式相加再化简即可.
能力提升练习
2、第15届全俄数学奥林匹克竞赛题:
设 a≥0, b≥0, c≥0,且 a+b+c ≤3,
求证：
分析：直接套用模型：
三式相加，得不到结论。 究其原因：等号不成立.
显然，等号成立时必须a=b=c=1,此时，
，所添项的值必为 ，因此，所添
项应为 .将前面三个不等式分别改为
， ，
它们相加再化简即可.
3、第24届前苏联数学奥林匹克竞赛题
设 是正数，且 ，
证明：
≥
分析：挖掘等号配凑 ， ，
… ， 。
将这n个不等式相加再化简即可.
解： ＝
＝
三式相加得：
＝
∴可以得到
≥