人教B版高中数学 必修五 3.4不等式的实际应用 上课课件(共33张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教B版高中数学 必修五 3.4不等式的实际应用 上课课件(共33张PPT) |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 567.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-06 13:34:39 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
回顾旧知
1、不等式的性质
性质1 如果a>b那么bb.
性质2 如果a>b且b>c,则a>c.
推论1 不等式的移向项法则
不等式中任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。
推论2 如果a>b,c>d,则a+c>b+d
几个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向。
性质4 如果a>b,c>0，则ac>bc;如果a>b,c<0则ac推论2 如果a>b>0,则an>bn(n∈N+,n>1)
推论1 如果a>b>0,则c>d>0,则ac>bd
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向
推论3 如果a>b>0,则n√a> n√b
2、均值定理
如果a,b∈R+ 那么
(a+b)/2≧√ab
当且仅当a=b时候，等号成立
把这个结论通常称为均值不等式
均值定理可以表述为：
两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值。
新课导入
我们学习了不等式的一些性质和一个重要的定理，那么，不等式在生活当中有什么样的应用呢？
人教B版 必修五 3.4不等式的实际应用
教学目标
知识与能力
通过实际问题，掌握不等式的实际应用和解决这类问题的一般步骤
让学生经历从实际情景中抽象出不等式模型的过程。
过程与方法
通过实例，让学生体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强学生的应用意识，提高他们的实践能力。
情感态度与价值观
通过对不等式的学习和应用，能够体会数学中的联系与结合，有利于理解和掌握.
通过课堂学习培养敢于结合以前所学知识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
教学重难点
重点
不等式的实际应用
难点
数学建模
思考：
1、比较两实数大小的常用方法 有哪些？
作差
作商
2、一元二次不等式与相应的方程以及函数之间有什么样的关系呢？
△=b2-4ac △>0 △=0 △<0
Y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
ax2+bx+c=0
（a>0）的根
ax2+bx+>0
（a>0）的解集
ax2+bx+c<0
（a>0）的解集
有相异两根x1,x2(x1有两等根
x1=x2=
{x︳xx2}
{x︳x≠ }
R
{x︳x1φ
φ
无实根
b克糖水中含有a克糖（b>a>0），若在这些糖水中再添加m（m>0）克糖,则糖水就变甜了，根据此事实你能写出一个不等式吗？
实践
例1、 甲、乙两人同时同地沿同一路线去同一地点，甲有一半的时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m≠n,问甲、乙两人谁先到达指定地点？
解：设总路程为s,甲、乙所用时间分别为t甲、t乙,
由题意得
t甲=
， t乙=
所以 t甲- t乙=
—
=
=
其中s,m,n都是正数，且m≠n,于是t甲- t乙<0 ，
答：甲比乙先到达指定地点。
即t甲＜t乙
方法二：做商
=
=
又因为 m≠n,
所以 m2+n2>2mn>0,
m2+n2+2mn>4mn>0
<1
即 t甲＜t乙
答：甲比乙先到达指定地点。
因为m>0,n>0 ，s>0
所以 t甲>0 , t乙>0
例2、一般情况下，建筑民用住宅时，民用住宅窗户的总面积应小于该住宅的占地面积，而窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件就越好，同时增加相等的窗户面积和占地面积，住宅的采光面积时变好了还是变差了？
解:设a和b分别表示住宅原来窗户的面积和占地面积的值，m表示窗户和占地所增加的面积的值，由题意得
00
则
(a+m)/(b+m)-a/b
=(ab+bm-ab-am)/b(b+m)
=m(b-a)/b(b+m)
因为b>0,m>0,所以b(b+m)>0.
又因为a0
因此(a+m)/(b+m)-a/b>0,即
(a+m)/(b+m)>a/b
答：窗户和 住宅的占地同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了。
例3、有纯农药一桶，倒出８升后用水补满，然后倒出4升再用水补满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的２８％.问桶的容积最大为多少升？
解：设桶的容积为x升，显然x>8.依题意得
(x-8)-4(x-8)/x≦28%·x
由于x>8，因而原不等式化简为
9x2-150x+400 ≦0
即(3x-10)(3x-40) ≦0因此10/3 ≦x ≦40/3从而
8答：桶的最大容积为40/3升
例4、根据某乡镇家庭抽样调查的统计，2017年每户家庭平均消费支出总额为1万元，其中食品消费额为0.6万元，预测2017年后，每户家庭年平均消费支出总额每年增加3000元，如果到2019年该乡镇居民生活状况能达到小康水平（即恩格尔系数n满足条件40%解：设食品消费额的年平均增长率为x(x>0),则到2019年，食品消费额为0.6(1+x)2消费支出总额为 1+2×0.3=1.6(万元).
依据题意得40%<0.6(1+x)2/1.6 ≦50%即
15x2+30x-1>0
3x2+6x-1≦0
解不等式组得到(4√15/15)-1因为(4√15/15)-1 (2 √3/3)-1 ≈0.155=15.5%
所以该乡镇居民的生活如果在2019年达到小康水平，那么他们的食品消费额的年增长率就应在3.3%到15.5%的范围内取值。也就是说，平均每年的食品消费额至多是15.5%
解实际应用题的思路：
实际问题
抽象
数学模型
数学模型的解
还原解释
实际问题的解
一般步骤：(1)分析题意，设未知数
(2)找数量关系（相等、不等关系）
（3）列出关系式（函数式、不等式）
（4）求解作答
课堂小结
课堂练习
1.用一张钢板制作一个容积为4m3的无盖长方体水箱，可以用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如各选项所示，单位均为m）。若既要够用，分割的块数不超过5，又要所剩最少，则应选择的钢板的规格是 （ ）
Ａ．2×5 Ｂ．2×5.5 Ｃ．2×6.1 Ｄ．3×5
C
2.某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{an}，n=1，2，3，4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率万P1，第三年比第二年增长的百分率万P2，第四年比第三年增长的百分率为P3，且P1＋P2＋P3＝1。给出以下数据 ⑴2/7，⑵2/5，⑶1/3，⑷1/2，⑸2/3，则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是（ ）
Ａ．⑴⑵ Ｂ．⑴⑶ Ｃ．⑵⑶⑷ Ｄ．⑵⑸
B
3.某商场对顾客实行购物优惠，规定一次购物付款总额：⑴如果不超过200元，则不予优惠；⑵如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；⑶如果超过500元，500元按⑵条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是（ ）元。
Ａ．413.7 Ｂ．513.7 Ｃ．546.6 Ｄ．548.7
C
4.动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可以利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。⑴现有可围36m长钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？⑵若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可始围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
4．解：（1）设每间虎笼长为x，宽为y则依题意得，4x+6y=36即2x+3y=18。设每间虎笼面积为S
则S＝xy。
∵18＝2x+3y≥2
∴S≤27/2当且仅当2x=3y，即x=4.5，y=3时等号成立。
(2)由条件S＝xy=24，设钢筋总长为L
则L＝4x+6y≥2 ＝48
当且仅当x=6,y=4时等号成立。
能力提升练习
⒈某工厂有一面14m的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房。工程条件是：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用为a/4元；③用拆去1m旧墙所得的材料建1m新墙的费用为a/2元。现在有两种建设方案：
（Ⅰ）利用旧墙的一段Xm(x<14)为矩形厂房的一个边长；（
Ⅱ）利用旧墙的矩形厂房的一个边长为Xm(x≥14)。 问如何利用这堵旧墙，才使建墙费用最低？
（Ⅰ）（Ⅱ）两个方案哪个更好？
解：设利用旧墙的一面矩形边长为x，则矩形的另一边长度为126/x
（1）利用旧墙的一段x(x<14) 为矩形厂房的一个边长，则修旧墙的费用为x·a/4，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14-x) ·a/2，其余的建新墙，费用为（2x+252/x-14
∴总费用为y= x·a/4+(14-x) ·a/2+（2x+252/x-14）·a=7a(x/4+36/x-1)≧35a，
当且仅当x=12时等号成立，且此时12<14。
（2) 利用旧墙的一段x(x≥14) 为矩形厂房的一个边长，则修旧墙的费用为14·a/4，建新墙的费用为（2x+252/x-14）·a
∴总费用为y= 14·a/4+（2x+252/x-14）·a其中，x≥14。
∵x+x/256在x>√126时为增函数，
∴x>12时，
函数增∵x≥14∴最小值在x=14处取得，
此时y=35.5a。
2、某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少1/5，本年度当地旅游业收入估计万400万元，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1/4．
（1）设n年内（本年度万第一年）总投入万an万元，旅游业总收入万bn万元，写出an、bn的表达式。
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
2．解析：（1）n年内总投入为an=800+800(1-1/5)+…＋800(1-1/5)x-1=4000[1-(4/5)n]。
n年内总收入为bn=400+400(1+1/4)+…＋400(1+1/4)n-1=1600[(5/4)n-1]。
（2）bn>an，即1600[(5/4)n-1]>4000[1-(4/5)n]，
设(4/5)n =x则5x2-7x+2>0∴x<2/5,x>1（舍）
即(4/5)n <2/5∴n≥5。故至少5年。
回顾旧知
1、不等式的性质
性质1 如果a>b那么b
性质2 如果a>b且b>c,则a>c.
推论1 不等式的移向项法则
不等式中任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。
推论2 如果a>b,c>d,则a+c>b+d
几个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向。
性质4 如果a>b,c>0，则ac>bc;如果a>b,c<0则ac
推论1 如果a>b>0,则c>d>0,则ac>bd
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向
推论3 如果a>b>0,则n√a> n√b
2、均值定理
如果a,b∈R+ 那么
(a+b)/2≧√ab
当且仅当a=b时候，等号成立
把这个结论通常称为均值不等式
均值定理可以表述为：
两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值。
新课导入
我们学习了不等式的一些性质和一个重要的定理，那么，不等式在生活当中有什么样的应用呢？
人教B版 必修五 3.4不等式的实际应用
教学目标
知识与能力
通过实际问题，掌握不等式的实际应用和解决这类问题的一般步骤
让学生经历从实际情景中抽象出不等式模型的过程。
过程与方法
通过实例，让学生体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强学生的应用意识，提高他们的实践能力。
情感态度与价值观
通过对不等式的学习和应用，能够体会数学中的联系与结合，有利于理解和掌握.
通过课堂学习培养敢于结合以前所学知识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
教学重难点
重点
不等式的实际应用
难点
数学建模
思考：
1、比较两实数大小的常用方法 有哪些？
作差
作商
2、一元二次不等式与相应的方程以及函数之间有什么样的关系呢？
△=b2-4ac △>0 △=0 △<0
Y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
ax2+bx+c=0
（a>0）的根
ax2+bx+>0
（a>0）的解集
ax2+bx+c<0
（a>0）的解集
有相异两根x1,x2(x1
x1=x2=
{x︳x
{x︳x≠ }
R
{x︳x1
φ
无实根
b克糖水中含有a克糖（b>a>0），若在这些糖水中再添加m（m>0）克糖,则糖水就变甜了，根据此事实你能写出一个不等式吗？
实践
例1、 甲、乙两人同时同地沿同一路线去同一地点，甲有一半的时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m≠n,问甲、乙两人谁先到达指定地点？
解：设总路程为s,甲、乙所用时间分别为t甲、t乙,
由题意得
t甲=
， t乙=
所以 t甲- t乙=
—
=
=
其中s,m,n都是正数，且m≠n,于是t甲- t乙<0 ，
答：甲比乙先到达指定地点。
即t甲＜t乙
方法二：做商
=
=
又因为 m≠n,
所以 m2+n2>2mn>0,
m2+n2+2mn>4mn>0
<1
即 t甲＜t乙
答：甲比乙先到达指定地点。
因为m>0,n>0 ，s>0
所以 t甲>0 , t乙>0
例2、一般情况下，建筑民用住宅时，民用住宅窗户的总面积应小于该住宅的占地面积，而窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件就越好，同时增加相等的窗户面积和占地面积，住宅的采光面积时变好了还是变差了？
解:设a和b分别表示住宅原来窗户的面积和占地面积的值，m表示窗户和占地所增加的面积的值，由题意得
0
则
(a+m)/(b+m)-a/b
=(ab+bm-ab-am)/b(b+m)
=m(b-a)/b(b+m)
因为b>0,m>0,所以b(b+m)>0.
又因为a
因此(a+m)/(b+m)-a/b>0,即
(a+m)/(b+m)>a/b
答：窗户和 住宅的占地同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了。
例3、有纯农药一桶，倒出８升后用水补满，然后倒出4升再用水补满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的２８％.问桶的容积最大为多少升？
解：设桶的容积为x升，显然x>8.依题意得
(x-8)-4(x-8)/x≦28%·x
由于x>8，因而原不等式化简为
9x2-150x+400 ≦0
即(3x-10)(3x-40) ≦0因此10/3 ≦x ≦40/3从而
8
例4、根据某乡镇家庭抽样调查的统计，2017年每户家庭平均消费支出总额为1万元，其中食品消费额为0.6万元，预测2017年后，每户家庭年平均消费支出总额每年增加3000元，如果到2019年该乡镇居民生活状况能达到小康水平（即恩格尔系数n满足条件40%
依据题意得40%<0.6(1+x)2/1.6 ≦50%即
15x2+30x-1>0
3x2+6x-1≦0
解不等式组得到(4√15/15)-1
所以该乡镇居民的生活如果在2019年达到小康水平，那么他们的食品消费额的年增长率就应在3.3%到15.5%的范围内取值。也就是说，平均每年的食品消费额至多是15.5%
解实际应用题的思路：
实际问题
抽象
数学模型
数学模型的解
还原解释
实际问题的解
一般步骤：(1)分析题意，设未知数
(2)找数量关系（相等、不等关系）
（3）列出关系式（函数式、不等式）
（4）求解作答
课堂小结
课堂练习
1.用一张钢板制作一个容积为4m3的无盖长方体水箱，可以用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如各选项所示，单位均为m）。若既要够用，分割的块数不超过5，又要所剩最少，则应选择的钢板的规格是 （ ）
Ａ．2×5 Ｂ．2×5.5 Ｃ．2×6.1 Ｄ．3×5
C
2.某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{an}，n=1，2，3，4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率万P1，第三年比第二年增长的百分率万P2，第四年比第三年增长的百分率为P3，且P1＋P2＋P3＝1。给出以下数据 ⑴2/7，⑵2/5，⑶1/3，⑷1/2，⑸2/3，则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是（ ）
Ａ．⑴⑵ Ｂ．⑴⑶ Ｃ．⑵⑶⑷ Ｄ．⑵⑸
B
3.某商场对顾客实行购物优惠，规定一次购物付款总额：⑴如果不超过200元，则不予优惠；⑵如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；⑶如果超过500元，500元按⑵条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是（ ）元。
Ａ．413.7 Ｂ．513.7 Ｃ．546.6 Ｄ．548.7
C
4.动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可以利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。⑴现有可围36m长钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？⑵若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可始围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
4．解：（1）设每间虎笼长为x，宽为y则依题意得，4x+6y=36即2x+3y=18。设每间虎笼面积为S
则S＝xy。
∵18＝2x+3y≥2
∴S≤27/2当且仅当2x=3y，即x=4.5，y=3时等号成立。
(2)由条件S＝xy=24，设钢筋总长为L
则L＝4x+6y≥2 ＝48
当且仅当x=6,y=4时等号成立。
能力提升练习
⒈某工厂有一面14m的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房。工程条件是：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用为a/4元；③用拆去1m旧墙所得的材料建1m新墙的费用为a/2元。现在有两种建设方案：
（Ⅰ）利用旧墙的一段Xm(x<14)为矩形厂房的一个边长；（
Ⅱ）利用旧墙的矩形厂房的一个边长为Xm(x≥14)。 问如何利用这堵旧墙，才使建墙费用最低？
（Ⅰ）（Ⅱ）两个方案哪个更好？
解：设利用旧墙的一面矩形边长为x，则矩形的另一边长度为126/x
（1）利用旧墙的一段x(x<14) 为矩形厂房的一个边长，则修旧墙的费用为x·a/4，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14-x) ·a/2，其余的建新墙，费用为（2x+252/x-14
∴总费用为y= x·a/4+(14-x) ·a/2+（2x+252/x-14）·a=7a(x/4+36/x-1)≧35a，
当且仅当x=12时等号成立，且此时12<14。
（2) 利用旧墙的一段x(x≥14) 为矩形厂房的一个边长，则修旧墙的费用为14·a/4，建新墙的费用为（2x+252/x-14）·a
∴总费用为y= 14·a/4+（2x+252/x-14）·a其中，x≥14。
∵x+x/256在x>√126时为增函数，
∴x>12时，
函数增∵x≥14∴最小值在x=14处取得，
此时y=35.5a。
2、某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少1/5，本年度当地旅游业收入估计万400万元，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1/4．
（1）设n年内（本年度万第一年）总投入万an万元，旅游业总收入万bn万元，写出an、bn的表达式。
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
2．解析：（1）n年内总投入为an=800+800(1-1/5)+…＋800(1-1/5)x-1=4000[1-(4/5)n]。
n年内总收入为bn=400+400(1+1/4)+…＋400(1+1/4)n-1=1600[(5/4)n-1]。
（2）bn>an，即1600[(5/4)n-1]>4000[1-(4/5)n]，
设(4/5)n =x则5x2-7x+2>0∴x<2/5,x>1（舍）
即(4/5)n <2/5∴n≥5。故至少5年。