苏科版九年级数学下册 6.6“相似三角形的性质”、“图形的位似”自测题（含答案）

“相似三角形的性质”、“图形的位似”自测题
基础闯关
（时间：45 分钟；满分：100 分） 一、选择题（每小题 4 分，共 20 分）
如图 1， ? ABC∽ ? ADB，下列关系成立的是（ ）.
A． ? ADB= ? ACB B． ? ADB= ? ABC
C． ? CDB= ? CAB D． ? ABC= ? BDC
如图 2，在? ABC 中，DE//BC，AD=3，BD=2，EC=1，那么 AE 等于（ ）.
A．3 B．2 C．1.5 D．1
如图 3，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE：EC＝2：3，连接 AE，交 BD
于点 F，则△BFE 的面积与△DFA 的面积之比为（ ）.
A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：25
图 2 图 3
图 4
下列说法正确的是（ ）.
A．两个等腰三角形一定是位似图形B．全等图形一定是位似图形
C．位似图形对应顶点的连线一定不在同一直线上D．位似图形一定是相似的几何图形
如图 4，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（6，6），B（8，2），以原点 O 为位似中心，
1

在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的
2

后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为（ ）.

A．（3，3） B．（4，3） C．（3，1） D．（4，1） 二、填空题（每小题 4 分，共 32 分）
两个相似三角形的周长比是 4：9，则这两个三角形的相似比是 ．
已知△ABC 与△DEF 相似且对应高的比为 2：3，则△ABC 与△DEF 的周长比为
．

AD
如图 5，已知 DE//BC，且
DB

? 1 ，那么? ADE 与? ABC 的面积比等于 ．

2

(
图
1
)如图 6，在△ABC 中，DE//AB，CD:DA＝2:3，DE＝4，则 AB 的长为 ．

图 5 图 6

两个相似三角形的一组对应边长分别为 3cm 和 5cm，且较小三角形的周长为 15cm，那么较大三角形的周长为 cm.
若 O 为△ABC 的重心，△BOC 的面积为 4，则△ABC 的面积为 ．
（改编）12．如图 7，等边△ABC 的边长为 4，DE 是它的中位线，则下列三个结论：①DE
＝ 1 ； ②△CDE∽△CAB ； ③△CDE 与△CAB 的面积 之比为 1 ︰ 4 ． 其中 正确的有 ．（填序号）
13．如图 8，正方形 ABCD 与正方形 OEFG 中,点 D 和点 F 的坐标分别为（-3，2）和（1，
-1），则这两个正方形的位似中心的坐标为 .
图 7
图 8

三、解答题（共 48 分）
14．（12 分）如图 9，△ABC 是等边三角形，点 D，B，C，E 在一条直线上，∠DAE＝120°.
(
图
9
)求证：△ABD∽△ECA.
若 AD=3，AE=5，BC=2，求 DE 的长．











15．（12 分）如图 10，在? ABC 中，AC=6，AB=9．在边 AC 上有一点 D，且 AD=4.问：边 AB 上是否存在一点 E，使? ADC 与? ACB 相似？如果存在，请算出 AE 的长；若不存在，请说明理由．






图 10

16.（12 分）如图 11，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标分别为 O（0，0），A（5，4），B（3，0），分别将点 A，B 的横坐标、纵坐标都乘 2．得到相应的点 A'B'坐标．
画△OA'B'．
△OA'B'与△OAB 是位似形吗？为什么？












17．（12 分）如图 12，四边形 ABCD 为平行四边形，以 CD 为直径作⊙O，⊙O 与边 BC 相交于点 F，⊙O 的切线 DE 与边 AB 相交于点 E，且 AE=3EB．
求证：△ADE∽△CDF.
当 CF︰FB=1︰2 时，求⊙O 与平行四边形 ABCD
的面积之比．



图 11
















图 12

能力挑战
（满分：30 分）
1．（5 分）如图 1，△ABC∽△DBA，D 为 BC 上一点，E，F 分别是 AC，AD 的中点，且 AB
(
?
)BE
＝28cm，BC＝36cm，则 （ ）.
BF
4 5 8 9
B． C． D．
(
图
1
)3 3 5 7


图 2


2．（5 分）如图 2，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BE 平分∠ABC 交 CD 于 E，且 BE⊥CD， CE︰ED=2︰1．如果△BEC 的面积为 8，那么四边形 ABED 的面积是 .
3．（5 分）如图 4，在平面直角坐标系内，已知点 A（0，6），点 B（8，0）动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点O 移动同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A
移动,设点 P，Q 移动的时间为 t 秒．当 t= 秒时，△APQ 的面积
24
为 个平方单位. 图 4
5
4．（15 分）如图 5，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝

2，点 D 在 BC 上运动（不能到达 B、C），过点 D 作∠ADE＝45° DE 交 AC 于 E.
求证：△ABD∽△DCE.

设 BD＝x,AE＝y，试用含有 x 的代数式表示 y. 图 5

当△ADE 是等腰三角形时，求 AE 的长.

参考答案
基础闯关
1. B 2. C 3. D 4. D 5. A 6. 4︰9 7. 2︰3 8. 1︰9 9. 10 10. 25
11. 12 12. ②③ 13. (-1，0)或（5，-2）
14.（1）略. （2）7.5.提示：可证△EAC∽△EDA.

若△ADE∽△ACB，则

AD ? AE ? 4 ? AE

? AE ? 6 ；若△ADE∽△ABC，则

AC AB 6 9

AD ? AE

? 4 ? AE

? AE ? 8 .

AB AC 9 6 3
图略，△OA'B'与△OAB 是位似图形.
17.（1）∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DFC=90°.∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C，
AD∥BC，∴∠ADF=∠DFC=90°.∵DE 为⊙O 的切线，∴DE⊥DC，∴∠EDC=90°，∴∠ADF=
∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDF.∵∠A=∠C，∴△ADE∽△CDE.
∵CF︰FB=1︰2，∴设 CF=x，FB=2x，则 BC=3x.∵AE=3EB，设 EB=y，则 AE=3y， AB=4y.∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD=BC=3x，AB=DC=4y.∵△ADE∽△CDF，∴
= ，∴ = .∵x，y 均为正数，∴x=2y，∴BC=6y，CF=2y，在 Rt△DFC 中，∠DFC=90°， 由勾股定理得DF===2 y，∴⊙O 的面积为π?（DC） 2= π?DC2= π（4y）2=4πy2，四边形 ABCD 的面积为 BC?DF=6y?2 y=12 y2，∴⊙O 与四边形 ABCD 的面积之比为 4πy2︰12y2=π︰3 ．
能力挑战
(
2
)1. D 2. 1 3. 2 或 3

4（.

AB
1）略．（2）∵△ABD∽△DCE，∴
DC

? BD .∵AB=2，BD=x，AE=y ∴ DC ? 2
CE

x ，


EC ? 2 ? y ，∴
2

2
2 ? x

? x
2 ? y

，∴ y ? 1 x 2 ?
2


2x ? 2 .


①若 AD=AE，则∠AED=∠ADE，∴∠DAE= 900 ，此时 D 点与 B 点重合，不符题意；


② 若 AD=DE ， 则 ?ABD ? ?DCE

， ∴ CD ? BA ? 2 ， ∴

BD ? CE ? 2 ? 2 ， ∴



(
2
) (
2
) (
2
)AE ? 2 ? (2 ? 2) ? 4 ? 2 ； ③ 若 AE=DE ， 则 ∠ DAE= ∠ ADE=
1

450 ， ∴

AD ? BC, DE ? AC, ∴ AE ? CE ?

AC ? 1.综上，当△ADE 是等腰三角形时，AE 的长
2

(
2
)为 4 ? 2

或1.