(共35张PPT)
名言欣赏：
数学是打开科学大门的钥匙。
——培根
1、在三角形中共有几个元素？
2、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、
∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角
(1)三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)
(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系：
知识回顾
设塔顶中心点为 B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线引垂线，垂足为
点 C（如图）．在 Rt△ABC 中，
∠C=90°，BC=5.2 m，
AB= 54.5 m，求∠A 的度数．
C
A
B
提出问题
大家听说过埃菲尔铁塔吧？怎样求出塔身的倾斜度呢？
28.2.1 解直角三角形
人教版九年级数学 下册
目标导航
1．理解直角三角形中五个元素的关系，掌握解直角三角形的概念。
2．会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
3.了解仰角、俯角的概念,培养分析问题、解决问题的能力。
目标导航一
解直角三角形
认真阅读课本28.2.1 解直角三角形的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.
自主研学
（1）三边之间的关系
a2+b2=c2（勾股定理） ；
（2）两锐角之间的关系
∠A+∠B=90°；
（3）边角之间的关系
A
C
B
c
a
b
sin A= ， cos A= ， tan A= ，
sin B= ， cos B= ， tan B= ．
你能概括出直角三角形各元素之间的关系吗？
自主研学
1、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、
∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
（1）三边之间的关系：_______________
（2）两锐角之间的关系：_____________
（3）边角之间的关系：_______________________________________
由直角三角形中除直角外的已知元素，求其余未知元素的过程，叫 .
a2+b2=c2
∠A+∠B=90°
解直角三角形
合作探究
在直角三角形中，知道斜边和一条直角边，可以求其余的三个元素．那么，“知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边） ，可以求其余元素”，还有哪几种情况呢？
合作探究
2、知道5个元素中的几个，就可以求其余元素？
若已知直角三角形的某____个元素（直角除外，至少有一个是____），就可以求出这个直角三角形中________未知元素.
2
边
其余3个
合作探究
如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=
AB=15，求△ABC的周长和tanA的值
解：∵sinA=
∴
∴△ABC的周长=15+12+9=36
典型例题
1、在Rt△ABC中, ∠C=90°,已知tanB= ，则cosA等于（ ）
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=35，c=
则∠A=________，b =________.
D
45°
35
即学即练
3、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
4、在△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosA的值是（ ）
B
即学即练
1、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、
∠A、∠B这五个元素间的等量关系：
（1）三边之间的关系：___________________
（2）两锐角之间的关系：_________________
（3）边角之间的关系：_________________________________________
2、根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），可求出其余所有元素的过程，叫_________________.
a2+b2=c2
∠A+∠B=90°
2个
解直角三角形
归纳小结
注意：在直角三角形中，知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），我们就可以解这个直角三角形．
一般有两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角．
归纳小结
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=72°，c=14，解这个直角三角形（结果保留三位小数）.
解：∠A=90°-72°=18°
检测目标
2、如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形 （结果保留小数点后一位）。
A
C
B
c
b
a
20
35°
检测目标
3、如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC= ，BC= ，解这个直角三角形．
A
B
C
即学即练
目标导航二
仰角俯角的应用
1、直角三角形中除直角外五个元素之间 具有什
么关系？
2、在中Rt△ABC中已知a=12,c=13，求∠B应该用
哪个关系？请计算出来.
(1) 三边之间的关系
（2）两锐角之间的关系
（3）边角之间的关系
解：依题意可知
知识回顾
自主研学
认真阅读课本28.2.1 解直角三角形的相关内容，完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
例 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km， 取3.142，结果精确到0. 1 km)
典型例题
分析: 从飞船上能直接看到的地球上最远的点，应该是视线与地球相切时的_____.
如图,⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点. 弧PQ的长就是地面上P, Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出 （即 ）
切点
典型例题
解:在上图中，FQ是⊙O的切线，
是直角三角形，
∴ ______
∴弧PQ的长为 ______
由此可知，当飞船在p点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约______ km.
2071
2071
典型例题
如下左图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米.
A
B
C
解：如图所示，依题意可知∠B=600
答：梯子的长至少3.5米
即学即练
（1）在解决例3的问题时，我们综合运用了_____和_____________的知识.
（2）当我们进行测量时，在视线与______线所成的角中，视线在______线上方的角叫做仰角，在______线下方的角叫做俯角．
圆
解直角三角形
水平
水平
水平
归纳小结
1、如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=__ __米.
2、如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.
100
检测目标
3、如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=4，求 AB 和 BC．
B
A
C
30°
45°
检测目标
4、在 Rt△ABC 中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：
（1）a= ，c= ；
（2）∠B=60°，b=4；
（3）∠A=60°，△ABC 的面积 S= ．
检测目标
5．已知，如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，若∠B=30°，CD=6，求 AB 的长．
6．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=
30°，求 AD，CD 的长．
第1题
A
B
C
D
A
C
D
B
第2题
检测目标
我们已经站在了人生的起跑线上，为了实现心中的远大目标，我们正努力拼搏着。成功属于不畏困难、勇往直前的人。相信自己！
教师寄语
通过本课学习，你收获了什么？
课后作业：
完成教科书中相关练习题。
(共27张PPT)
名言欣赏：
数学是打开科学大门的钥匙。
——培根
1、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、
∠A、∠B这五个元素间的等量关系：
（1）三边之间的关系：___________________
（2）两锐角之间的关系：_________________
（3）边角之间的关系：_________________________________________
2、根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），可求出其余所有元素的过程，叫_________________.
a2+b2=c2
∠A+∠B=90°
2个
解直角三角形
知识回顾
3、直角三角形中除直角外五个元素之间 具有什
么关系？
(1) 三边之间的关系
（2）两锐角之间的关系
（3）边角之间的关系
知识回顾
平时观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？
三种：重叠、向上和向下．
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角．
水平线
视线
铅垂线
视线
视点
仰角
俯角
知识回顾
“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km 的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从
中能直接看到的地球表面最远
的点在什么位置？最远点与 P
点的距离是多少
提出问题
这类问题该如何解决？
直角三角函数在生活中是如何应用的？
28.2.2 解直角三角形应用举例
人教版九年级数学 下册
目标导航
1．能把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决。
2．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
认真阅读课本28.2 应用举例部分内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
自主研学
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34 方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果保留小数点后一位）
合作探究
解:如图, 在 中,
PC=__? _________ ≈
在 中,
?
PB=________=________≈129.7
答：当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.7海里.
PA
72.505
合作探究
例：一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65°方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B 处，这时， B 处距距离灯塔 P 有多远（结果取整数）？
典型例题
（1）根据题意，你能画出示意图吗？
（2）结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和
角？求什么？怎样求？
（3）你能写出解题过程吗（要求过程完整规范）？
（4）想一想，求解本题的关键是什么？
在 Rt△BPC 中，∠B=34°，
∵ sin B= ，
∴ PB = =
≈130（n mile）．
解：如图在 Rt△APC 中，
PC=PA·cos（90°- 65°）
=80×cos 25°
≈72.505．
典型例题
一艘轮船在大海上航行，当航行到 A 处时，观测到小岛 B 的方向是北偏西 35°，那么同时从 B 处观测到轮船在什么方向？若轮船从 A 处继续往正西方向航行到 C处，此时， C 处位于小岛 B 的南偏西 40°方向，你能确定 C 的位置吗？试画图说明．
即学即练
从 B 处观测到 A 处的轮船是________ 方向．
南偏东 35°
如图，在一次暖气管道的铺设工作中，工程是由A点出发沿正西方向进行的，在A点的南偏西60°的方向上有一所学校，学校占地是以B点为中心方圆100米的圆形，当工程进行了200米时到达C处，此时B在C的南偏西30°的方向上，请根据题中所提供的信息计算、分析一下，工程继续进行下去，是否会穿过学校？
即学即练
小组合作，pk
解：过点B作BD⊥AD于点D，EA⊥CA于点A，
FC⊥CA于点C，
由题意得∠BAE=60°，∠BCF=30°∴∠CAB=30°，
∴∠DCB=60°，∴∠DBC=30°，
∴∠CBA=∠CBD-∠CAB=30°，
∴∠CAB=∠CBA，∴AC=CB=200m，
∴在Rt△BCD中，BD=BC?sin60°
=200×
=100 （m），
∵学校是以B为中心方圆100m的圆形，
∵100 ＞100，
∴工程若继续进行下去不会穿越学校．
即学即练
应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量．
课堂小结
如右下图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔 海里的 A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东 方向上的 B处，则海轮行驶的路程 AB 为多少海里（结果保留根号）．
解：在Rt△APC中，
∵AP=40 ，∠APC=45°
∴AC=PC=40
在Rt△BPC中，
∵∠PBC=30°，∴∠BPC=60°
∴BC=PC?tan60°=40× =40
∴AB=AC+BC=40+40 （海里）
答：海轮行驶的路程AB为 (40+40 ) 海里
检测目标
海中有一个小岛 A，它周围 8 n mile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东60°方向上，航行 12 n mile到达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
检测目标
1．渔船由 B 向东航行，到什么位置离海岛 A 最近？
2．最近的距离怎样求？
3．如何判断渔船有没有触礁？
C
检测目标
A
B
C
D
α
β
热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°，看这栋楼底部的俯角为 60°，热气球与楼的水平距离为 120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？
（1）从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°→
α=30°．
（2）从热气球看一栋楼底部的俯角为 60°→
β=60°．
（3）热气球与高楼的水平距离为120 m→
AD=120 m，AD⊥BC．
检测目标
A
B
C
D
α
β
（4）这个问题可归纳为什么问题解决？怎样解决？
在直角三角形中，已知一锐角和与这个锐角相邻的直角边，可以利用解直角三角形的知识求这个锐角所对的直角边，再利用两线段之和求解．
检测目标
A
B
C
D
α
β
解：如图，α=30°，β=60°，AD=120．
答：这栋楼高约为 277 m．
∵ tan α= ，tan β= ．
∴ BD=AD·tan α=120×tan 30°
=120× = ，
CD=AD·tan β=120×tan 60°
=120× = ．
∴ BC=BD+CD= +
= ≈277（m）．
检测目标
如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，斜面坡度 i =1 1.5 是指坡面的铅直高度 AF 与水平宽度 BF 的比，斜面坡度 i =1 3 是指DE 与CE 的比，根据图中数据，求：
（1）坡角 α 和 β 的度数；
（2）斜坡 AB 的长（结果保留小数点后一位）．
：
：
检测目标
我们已经站在了人生的起跑线上，为了实现心中的远大目标，我们正努力拼搏着。成功属于不畏困难、勇往直前的人。相信自己！
教师寄语
通过本课学习，你收获了什么？
课后作业：
完成教科书中相关练习题。
