2020年苏科新版八年级数学下册《第10章 分式》单元测试卷（解析版）

2020年苏科新版八年级数学下册《第10章 分式》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．下列各式：，，，，（x+y）中，是分式的共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＝1 C．x＜1 D．x≠1
3．若分式的值是零，则x的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣1或2 C．2 D．﹣2
4．若分式的值为负数，则x的取值范围是（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＞5 D．x＜﹣2
5．下列各式中，正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝﹣ D．＝
6．下列约分正确的是（　　）
A．＝x3 B．＝0
C．＝ D．＝
7．下列关于x的方程中，是分式方程的是（　　）
A．3x＝ B．＝2 C．＝ D．3x﹣2y＝1
8．已知关于x的分式方程＝1的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≥﹣1
9．对于分式方程，有以下说法：
①最简公分母为（x﹣3）2； ②转化为整式方程x＝2+3，解得x＝5； ③原方程的解为x＝3； ④原方程无解．
其中，正确说法的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（　　）
A．2y2+3y﹣5＝0 B．2y2﹣5y+3＝0 C．y2+3y﹣5＝0 D．y2﹣5y+3＝0
11．如果方程有增根，那么m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．无解
12．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快20%，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度．设原计划行军的速度为xkm/h，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共8小题）
13．当x　 　时，分式的值为正．
14．若分式有意义，则x　 　．
15．若分式的值为0，则x的值是　 　．
16．当a＝﹣1时，代数式的值是　 　．
17．若关于x的分式方程＝的解为非负数，则a的取值范围是　 　．
18．对两个不相等的实数根a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中较大的数，如：max{2，4}＝4，按照这个规定：方程max{x，﹣x}＝的解为　 　．
19．在方程＝3x﹣4中，如果设y＝x2﹣3x，那么原方程可化为关于y的整式方程是　 　．
20．若关于x的方程产生增根，则m＝　 　．
三．解答题（共8小题）
21．已知，求的值．
22．利用分式的基本性质填空：
（1）＝，（a≠0）；（2）＝．
23．约分（1）；
（2）．
24．计算： ?．
25．阅读：
对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为＝＝x+﹣（a+b），所以关于x的方程x+＝a+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程x+＝6的两个解中较大的一个为　 　；
（2）关于x的方程x+＝的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），若x1与x2互为倒数，则x1＝　 　，x2＝　 　；
（3）关于x的方程2x+＝2n+3的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），求的值．
26．解方程： +﹣＝1．
27．解方程：．
28．若解关于x的分式方程+＝会产生增根，求m的值．



2020年苏科新版八年级数学下册《第10章 分式》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列各式：，，，，（x+y）中，是分式的共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式的定义进行判断．
【解答】解：下列各式：，，，，（x+y）中，是分式为，，（x+y）．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
2．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＝1 C．x＜1 D．x≠1
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：D．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义?分母为零；（2）分式有意义?分母不为零；（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．
3．若分式的值是零，则x的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣1或2 C．2 D．﹣2
【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．
【解答】解：∵（x+1）（x﹣2）＝0，
∴x＝﹣1或2，
当x＝﹣1时，（x+1）（x+2）＝0，
∴x＝﹣1不满足条件．
当x＝2时，（x+1）（x+2）≠0，
∴当x＝2时分式的值是0．
故选：C．
【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．
4．若分式的值为负数，则x的取值范围是（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＞5 D．x＜﹣2
【分析】首先根据分式的符号求出分母的取值范围（不要忽略分母不为0的条件），再求出x的取值范围．
【解答】解：若分式的值为负数，
则2﹣x＞0，解得x＜2．
则x的取值范围是x＜2．
故选：A．
【点评】分式的值为负数，那么分子、分母异号，在解题过程中，不要忽略分母不为0的条件．
5．下列各式中，正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝﹣ D．＝
【分析】先想一下分式的基本性质的内容，根据分式的基本性质逐个判断即可．
【解答】解：A、根据分式的基本性质应该分子和分母都除以b，故本选项错误；
B、根据分式的基本性质，分子和分母都加上2不相等，故本选项错误；
C、＝﹣，故本选项错误；
D、∵a﹣2≠0，
∴＝，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质的应用，主要考查学生对分式的基本性质的理解能力和判断能力，题目比较典型，比较容易出错．
6．下列约分正确的是（　　）
A．＝x3 B．＝0
C．＝ D．＝
【分析】根据分式的基本性质分别对每一项进行约分即可．
【解答】解：A、＝x4，故本选项错误；
B、＝1，故本选项错误；
C、＝，故本选项正确；
D、＝，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了约分，用到的知识点是分式的性质，注意约分是约去分子、分母的公因式，并且分子与分母相同时约分结果应是1，而不是0．
7．下列关于x的方程中，是分式方程的是（　　）
A．3x＝ B．＝2 C．＝ D．3x﹣2y＝1
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．
【解答】解：A、C、D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B、方程分母中含未知数x，故是分式方程，
故选：B．
【点评】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．
8．已知关于x的分式方程＝1的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≥﹣1
【分析】由分式方程的解为非负数得到关于m的不等式，进而求出m的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：m＝x﹣1，
即x＝m+1，
由分式方程的解为非负数，得到
m+1≥0，且m+1≠1，
解得：m≥﹣1且m≠0，
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
9．对于分式方程，有以下说法：
①最简公分母为（x﹣3）2； ②转化为整式方程x＝2+3，解得x＝5； ③原方程的解为x＝3； ④原方程无解．
其中，正确说法的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】观察可得最简公分母为（x﹣3），然后方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，注意要检验．
【解答】解：最简公分母为（x﹣3），故①错误；
方程的两边同乘（x﹣3），得：x＝2（x﹣3）+3，
即x＝2x﹣6+3，
∴x﹣2x＝﹣3，
即﹣x＝﹣3，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入（x﹣3）＝0，即x＝3不是原分式方程的解．
则原分式方程无解．
故②③错误，④正确．
故选：A．
【点评】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．注意解分式方程一定要验根．
10．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（　　）
A．2y2+3y﹣5＝0 B．2y2﹣5y+3＝0 C．y2+3y﹣5＝0 D．y2﹣5y+3＝0
【分析】根据方程特点设y＝，则原方程可化为2y﹣+3＝0，则y2+3y﹣5＝0．
【解答】解：设＝y，则原方程化为2y2+3y﹣5＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了用换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．
11．如果方程有增根，那么m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．无解
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣3）＝0，得到x＝3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），
得x＝3m．
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣3）＝0，
解得x＝3．
m＝x＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快20%，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度．设原计划行军的速度为xkm/h，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【分析】关键描述语是：“于下午4时到达”．等量关系为：原计划用的时间＝实际用的时间+5﹣4．
【解答】解：原计划用的时间＝60÷x，实际用的时间为＝60÷（1+20%x），
则可列方程为：，
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题的难点是得到实际用的时间，易错点是得到原计划用的时间与时间时间的差．
二．填空题（共8小题）
13．当x　＞且x≠0　时，分式的值为正．
【分析】同号为正，异号为负．
分母≠0．
【解答】解：分式的值为正，
即＞0，
解得x＞，
因为分母不为0，所以x≠0．
故当x＞且x≠0时，分式的值为正．
【点评】由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
14．若分式有意义，则x　≠3　．
【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≠0，解得：x≠3．
故答案是：≠3．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
15．若分式的值为0，则x的值是　﹣1　．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由分式的值为0，得
x+1＝0且x﹣1≠0．
解得x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了分时值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
16．当a＝﹣1时，代数式的值是　　．
【分析】根据已知条件先求出a+b和a﹣b的值，再把要求的式子进行化简，然后代值计算即可．
【解答】解：∵a＝﹣1，
∴a+b＝+1+﹣1＝2，a﹣b＝+1﹣+1＝2，
∴＝＝＝＝；
故答案为：．
【点评】此题考查了分式的值，用到的知识点是完全平方公式、平方差公式和分式的化简，关键是对给出的式子进行化简．
17．若关于x的分式方程＝的解为非负数，则a的取值范围是　a≥1，且a≠4　．
【分析】在方程的两边同时乘以2（x﹣2），解方程，用含a的式子表示出x的值，再根据x≥0，且x≠2，解不等于组即可．
【解答】解：两边同时乘以2（x﹣2），
得：4x﹣2a＝x﹣2，
解得x＝，
由题意可知，x≥0，且x≠2，
∴，解得：a≥1，且a≠4，
故答案为：a≥1，且a≠4．
【点评】本题主要考查分式方程的解，解决此类问题时，通常先用含a的式子表示出x的值，再根据x的取值范围即可求出a的取值范围，但要注意分式的最简公分母不等于0．
18．对两个不相等的实数根a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中较大的数，如：max{2，4}＝4，按照这个规定：方程max{x，﹣x}＝的解为　﹣1或1+　．
【分析】根据题中的新定义化简方程，求出解即可得到x的值．
【解答】解：当x＞﹣x，即x＞0时，方程变形为x＝，
去分母得：x2﹣2x﹣1＝0，
解得：x＝＝1±，
此时x＝1+，
经检验x＝1+是分式方程的解；
当x＜﹣x，即x＜0，方程变形为﹣x＝，
去分母得：x2+2x+1＝0，
解得：x1＝x2＝﹣1，
经检验x＝﹣1是分式方程的解，
综上，x的值为﹣1或1+，
故答案为：﹣1或1+
【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．在方程＝3x﹣4中，如果设y＝x2﹣3x，那么原方程可化为关于y的整式方程是　y2+4y+3＝0　．
【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力．关键是通过移项、整理，明确方程各部分与y的关系，用y代替，去分母，转化为整式方程．
【解答】解：根据等式的性质原方程可整理为x2﹣3x++4＝0．
把y＝x2﹣3x代入可得y++4＝0，
去分母得y2+4y+3＝0．
【点评】用换元法解分式方程是常用的方法之一，换元时要注意所设分式的形式及式中不同的变形．
20．若关于x的方程产生增根，则m＝　2　．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x﹣1＝0，所以增根是x＝1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得
x+2＝m+1
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣1＝0，即增根是x＝1，
把x＝1代入整式方程，得m＝2．
【点评】增根问题可按如下步骤进行：
①根据最简公分母确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
三．解答题（共8小题）
21．已知，求的值．
【分析】我们可将前面式子变式为x2+1＝3x，再将后面式子的分母变式为的形式从而求出值．
【解答】解：将两边同时乘以x，得x2+1＝3x，
＝＝＝．
【点评】本题考查的是分式的值，解题关键是用到了整体代入的思想．
22．利用分式的基本性质填空：
（1）＝，（a≠0）；（2）＝．
【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：（1）＝（a≠0）；
（2）＝．
故答案为：6a2，a﹣2．
【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．
23．约分（1）；
（2）．
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变作答．
【解答】解：（1）；
（2）．
【点评】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．
24．计算： ?．
【分析】把式子中的代数式进行因式分解，再约分求解．
【解答】解： ?＝?＝x
【点评】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是进行因式分解再约分．
25．阅读：
对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为＝＝x+﹣（a+b），所以关于x的方程x+＝a+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程x+＝6的两个解中较大的一个为　4　；
（2）关于x的方程x+＝的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），若x1与x2互为倒数，则x1＝　　，x2＝　2　；
（3）关于x的方程2x+＝2n+3的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），求的值．
【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出较大的解即可；
（2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及x1与x2互为倒数，确定出x1与x2的值即可；
（3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x1、x2，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：（1）方程x+＝6变形得：x+＝2+4，
根据题意得：x1＝2，x2＝4，
则方程较大的一个解为4；

（2）方程变形得：x+＝+2，
由题中的结论得：方程有一根为2，另一根为，
则x1＝，x2＝2；
故答案为：（1）4；（2）；2

（3）方程整理得：2x﹣1+＝n﹣1+n+3，
得2x﹣1＝n﹣1或2x﹣1＝n+3，
可得x1＝，x2＝，
则原式＝＝．
【点评】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
26．解方程： +﹣＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同乘（x+2）（x﹣2）得 x﹣2+4x﹣2（x+2）＝x2﹣4，
整理，得x2﹣3x+2＝0，
解这个方程得x1＝1，x2＝2，
经检验，x2＝2是增根，舍去，
所以，原方程的根是x＝1．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
27．解方程：．
【分析】设＝y，则原方程化为y＝+2y，解方程求得y的值，再代入＝y求值即可．结果需检验．
【解答】解：设＝y，则原方程化为y＝+2y，
解之得，y＝﹣．
当y＝﹣时，有＝﹣，解得x＝﹣．
经检验x＝﹣是原方程的根．
∴原方程的根是x＝﹣．
【点评】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
28．若解关于x的分式方程+＝会产生增根，求m的值．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出m的值即可．
【解答】解：去分母得：2x+4+mx＝3x﹣6，
由分式方程有增根，得到（x+2）（x﹣2）＝0，
解得：x＝2或x＝﹣2，
当x＝2时，4+4+2m＝0，即m＝﹣4；
当x＝﹣2时，﹣2m＝﹣12，即m＝6，
综上，m的值是﹣4或6．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．