2020年苏科新版九年级数学下册《第6章 图形的相似》单元测试卷（解析版）

2020年苏科新版九年级数学下册《第6章 图形的相似》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．已知＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．6cm、2cm、1cm、4cm B．4cm、5cm、6cm、7cm
C．3cm、4cm、5cm、6cm D．6cm、3cm、8cm、4cm
3．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（　　）

A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
4．已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列说法正确的是（　　）
A．相似三角形一定全等
B．不相似的三角形不一定全等
C．全等三角形不一定是相似三角形
D．全等三角形一定是相似三角形
6．如果两个相似的三角形面积之比为4：9，那么它们对应的角平分线之比为（　　）
A．2：3 B．4：9 C．16：81 D．9：13
7．如图所示，图中共有相似三角形（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
8．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于（　　）

A． B． C． D．
9．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（　　）
A．10m B．12m C．15m D．40m
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣8，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　）

A．（﹣1，2） B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（　　）

A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（1，1），
12．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且∠BAD＝∠C，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AB2＝AC?BD B．AB?AD＝BD?BC
C．AB2＝BC?BD D．AB?AD＝BD?CD
二．填空题（共8小题）
13．若（abc≠0），则＝　 　．
14．在比例尺为1：2000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为4.5厘米，则其实际距离为　 　米．
15．已知线段AB＝10cm，C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则BC＝　 　．
16．已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝　 　．

17．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的　 　倍．
18．若两个三角形的相似比为2：3，则这两个三角形周长的比为　 　．
19．（开放题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则△BAE相似于△　 　．
20．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，点B在直线L上，点A到直线L的距离AE＝3，则点C到直线L的距离CF为　 　．
三．解答题（共8小题）
21．已知：，2x﹣3y+4z＝22，求：代数式x+y﹣z的值．
22．某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题：
（1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图；
（2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）；
（3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）．
23．如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果BC?AB＝AC2，那么称线段AB被点C黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离（的近似值取2.2）．

24．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．求证：AF：FD＝AD：DB．

25．求证：相似三角形对应高的比等于相似比．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）
26．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．

27．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．

28．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．

请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为1，2时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由；
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由．



2020年苏科新版九年级数学下册《第6章 图形的相似》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设＝k，则a＝2k，b＝5k，代入所求的式子求解即可．
【解答】解：设＝k，则a＝2k，b＝5k．
则原式＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查比例的性质，正确进行设未知数是本题的关键．
2．下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．6cm、2cm、1cm、4cm B．4cm、5cm、6cm、7cm
C．3cm、4cm、5cm、6cm D．6cm、3cm、8cm、4cm
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】解：A.6×1≠2×4，故本选项错误；
B.4×7≠5×6，故本选项错误；
C.3×6≠4×5，故本选项错误；
D.6×4＝3×8，故本选项正确；
故选：D．
【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
3．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（　　）

A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
【分析】根据黄金分割的定义得到BC2＝AC?AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1＝BC2，S2＝AC?AB，即可得到S1＝S2．
【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC2＝AC?AB，
∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，
∴S1＝BC2，S2＝AC?AB，
∴S1＝S2．
故选：B．
【点评】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．
4．已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行线的性质一一分析．
【解答】解：A、根据平行线的性质得，故x＝，故此选项错误；
B、根据平行线的性质得，故x＝，故此选项错误；
C、根据平行线的性质得，故x＝，故此选项错误；
D、根据平行线的性质得故x＝，故此选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了利用平行线的性质画图的方法．
5．下列说法正确的是（　　）
A．相似三角形一定全等
B．不相似的三角形不一定全等
C．全等三角形不一定是相似三角形
D．全等三角形一定是相似三角形
【分析】根据全等三角形是相似三角形的特殊情况，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、相似三角形大小不一定相等，所以不一定全等，故本选项错误；
B、不相似的三角形一定不全等，不是不一定全等，故本选项错误；
C、全等三角形一定是相似三角形，故本选项错误；
D、全等三角形是相似比为1的相似三角形，所以一定是相似三角形，正确．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形与相似三角形的关系，熟记全等三角形是相似三角形的特殊情况是解题的关键．
6．如果两个相似的三角形面积之比为4：9，那么它们对应的角平分线之比为（　　）
A．2：3 B．4：9 C．16：81 D．9：13
【分析】如果两个相似的三角形面积之比为4：9，根据相似三角形的性质，则相似比是2：3，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，所以它们对应的角平分线之比为2：3．
【解答】解：两个相似的三角形面积之比为4：9，故它们的相似比为2：3，所以它们对应的角平分线之比为2：3．故选A．
【点评】相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
7．如图所示，图中共有相似三角形（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】可以运用相似三角形的判定方法进行验证．
【解答】解：共四对，分别是△PAC∽△PBD、△AOC∽△DOB、
△AOB∽△COD、△PAD∽△PCB．
故选：C．
【点评】主要考查相似三角形的判定方法的掌握情况．
8．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据已知条件设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，由勾股定理得到AC＝a，根据相似三角形的性质得到BC2＝CE?CA，AB2＝AE?AC求得CE＝，AE＝，得到＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵，
∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，
∴AC＝a，
∵BF⊥AC，
∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2＝CE?CA，AB2＝AE?AC
∴a2＝CE?a，4a2＝AE?a，
∴CE＝，AE＝，
∴＝，
∵△CEF∽△AEB，
∴＝（）2＝，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定，能够牢记射影定理的内容对解决本题起到至关重要的作用，难度不大．
9．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（　　）
A．10m B．12m C．15m D．40m
【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．
【解答】解：设旗杆高度为x米，
由题意得，＝，
解得：x＝15．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣8，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　）

A．（﹣1，2） B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：点A（﹣2，4），B（﹣8，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
则点A的对应点A′的坐标是（﹣2×，4×）或（﹣2×（﹣），4×（﹣）），即（﹣1，2）或（1，﹣2），
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（　　）

A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（1，1），
【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比．
【解答】解：如图所示：位似中心F的坐标为：（2，2），
k的值为：＝．
故选：B．

【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
12．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且∠BAD＝∠C，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AB2＝AC?BD B．AB?AD＝BD?BC
C．AB2＝BC?BD D．AB?AD＝BD?CD
【分析】先证明△BAD∽△BCA，则利用相似的性质得AB：BC＝BD：AB，然后根据比例性质得到AB2＝BC?BD．
【解答】解：∵∠BAD＝∠C，
而∠ABD＝∠CBA，
∴△BAD∽△BCA，
∴AB：BC＝BD：AB，
∴AB2＝BC?BD．
故选：C．
【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质．
二．填空题（共8小题）
13．若（abc≠0），则＝　　．
【分析】先设＝k，可得a＝2k，b＝3k，c＝5k，再把a、b、c的值都代入所求式子计算即可．
【解答】解：设＝k，那么a＝2k，b＝3k，c＝5k，
∴＝＝．
故答案是：．
【点评】本题考查了比例的性质．解题的关键是先假设＝k，得出a＝2k，b＝3k，c＝5k，降低计算难度．
14．在比例尺为1：2000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为4.5厘米，则其实际距离为　90　米．
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．
【解答】解：设A，B两地的实际距离为xcm，则：
1：2000＝4.5：x，
解得x＝9000．
9000cm＝90m．
故答案为：90．
【点评】本题考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．
15．已知线段AB＝10cm，C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则BC＝　（15﹣5）cm　．
【分析】根据黄金分割的定义得到AC＝AB＝AC＝5﹣5，然后计算AB﹣AC即可得到BC．
【解答】解：∵C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴AC＝AB＝AC＝×10＝5﹣5，
∴BC＝AB﹣AC＝10﹣（5﹣5）＝（15﹣5）cm．
故答案为（15﹣5）cm．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
16．已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝　7.5　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求出DF，结合图形计算即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴＝，即＝，
解得DF＝4.5，
∴BF＝BD+DF＝3+4.5＝7.5，
故答案为：7.5．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
17．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的　5　倍．
【分析】由题意一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解．
【解答】解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，
∴扩大后的三角形与原三角形相似，
∵相似三角形的周长的比等于相似比，
∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，
故答案为：5．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．
18．若两个三角形的相似比为2：3，则这两个三角形周长的比为　2：3　．
【分析】根据相似三角形的性质：周长比等于相似比即可解得．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为 2：3，
∴它们的周长比为：2：3．
故答案为：2：3．
【点评】此题主要考查相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比．
19．（开放题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则△BAE相似于△　ACE　．
【分析】根据两组对应角相等的两三角形相似即可解答．
【解答】解：因为在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，所以AD＝DC，即∠C＝∠DAC．
又因为AE⊥AD，所以∠EAB＝∠DAC＝∠C，
因为∠E是公共角，所以△BAE∽△ACE．
【点评】此题主要考查学生对有两组角对应相等的两个三角形相似的运用．
20．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，点B在直线L上，点A到直线L的距离AE＝3，则点C到直线L的距离CF为　1.6　．
【分析】易得△AEB和△BFC相似，那么利用相似三角形的对应边成比例可得BF长，进而利用勾股定理可得CF长．
【解答】解：由题意得：∠AEB＝∠CFB＝90°，
∴∠EAB+∠ABE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠EAB＝∠CBF，
∴△AEB∽△BFC，
∴AE：BF＝AB：BC，
∵AB＝5，BC＝2，AE＝3，
∴BF＝1.2，
∴CF＝1.6．
【点评】用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例及勾股定理等知识．
三．解答题（共8小题）
21．已知：，2x﹣3y+4z＝22，求：代数式x+y﹣z的值．
【分析】根据题意，设x＝2k，y＝3k，z＝4k．又因为2x﹣3y+4z＝22，则可得k的值，从而求得x、y、z的值，故x+y+z可求．
【解答】解：设，
则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∵2x﹣3y+4z＝22，
∴4k﹣9k+16k＝22，
∴k＝2，
∴x+y﹣z＝2k+3k﹣4k＝k＝2．
【点评】本题考查了比例的性质和代数式求值．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
22．某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题：
（1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图；
（2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）；
（3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）．
【分析】（1）先画出方向标，再确定方位角、比例尺作图；
（2）动手操作利用量角器测量即可；
（3）先利用刻度尺测量出图上距离，再根据比例尺换算成实际距离．
【解答】解：（1）路线图（6分）（P、A、C点各2分）

注意：起点是必须在所给的图形中画，否则即使画图正确扣；（2分）
（2）量得∠PAC≈105°，∠ACP≈45°；（9分）（只有1个正确得2分）
（3）量路线图得AC≈3.5厘米，PC≈6.8厘米．
∴AC≈3.5千米；PC≈6.8千米（13分）
【点评】主要考查了方位角的作图能力．要会根据比例尺准确的作图，并根据图例测算出实际距离．
23．如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果BC?AB＝AC2，那么称线段AB被点C黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离（的近似值取2.2）．

【分析】根据黄金分割的概念列出比例式，计算即可．
【解答】解：设太和门到太和殿的距离为x丈，
由题意可得，x2＝100（100﹣x）
解得，，（舍去）
则x≈﹣50+50×2.2＝60，
答：太和门到太和殿的距离为60丈．
【点评】本题开车的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．
24．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．求证：AF：FD＝AD：DB．

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，＝，推出＝即可．
【解答】解：∵EF∥CD，DE∥BC，
∴＝，＝，
∴＝，
即AF：FD＝AD：DB．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意对应成比例．
25．求证：相似三角形对应高的比等于相似比．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）
【分析】先根据题意画出图形，写出已知，求证，再证明即可．
【解答】已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD是△ABC的高，A′D′是△A″B″C″的高，
求证：＝k，
证明：
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′，
∵AD是△ABC的高，A′D′是△A″B″C″的高，
∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴＝＝k．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键．
26．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．

【分析】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP＝2xcm，BQ＝4xcm，BP＝AB﹣AP＝（8﹣2x）cm，又由∠B是公共角，分别从＝与＝分析，即可求得答案．
【解答】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，
则AP＝2xcm，BQ＝4xcm，
∵AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣2x）cm，
∵∠B是公共角，
∵①当＝，即＝时，△PBQ∽△ABC，
解得：x＝2；
②当＝，即＝时，△QBP∽△ABC，
解得：x＝0.8，
∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．

【分析】（1）连接OD，求出AC∥OD，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；
（2）求出∠1＝∠2＝∠F＝30°，求出AD＝DF，解直角三角形求出AD，即可求出答案．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠ADO，
∴∠1＝∠ADO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∴OD⊥ED，
∵OD过0，
∴DE与⊙O相切；

（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠1＝∠2，CD＝BD，
∵CD＝BF，
∴BF＝BD，
∴∠3＝∠F，
∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠4＝2∠3，
∵∠ODF＝90°，
∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠2＝∠1＝30°，
∴∠2＝∠F，
∴DF＝AD，
∵∠1＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2ED，
∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3，
∴AD＝2，
∴DF＝2．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，切线的判定定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
28．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．

请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为1，2时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由；
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由．
【分析】（1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解．
（2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是4，所以不存在“减半”正方形．
【解答】解：（1）不存在．（1分）
假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，
则，（3分）
由①得：y＝﹣x③，
把③代入②得：x2﹣x+1＝0，
b2﹣4ac＝﹣4＜0，（5分）
所以不存在；

（2）不存在．（6分）
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，
所以正方形不存在“减半”正方形．（10分）
【点评】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系．