2020年苏科新版九年级数学下册《第7章 锐角三角函数》单元测试卷（解析版）

2020年苏科新版九年级数学下册《第7章 锐角三角函数》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a＝5，b＝12，c＝13，下列结论成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（　　）
A．7sin35° B．7cos35° C．7tan35° D．
3．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（　　）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
4．若α，β都是锐角，下列说法正确的是（　　）
A．若sinα＝cosβ，则α＝β＝45°
B．若sinα＝cosβ，则α+β＝90°
C．若sinα＞cosβ，则α＞β
D．若sinα＜cosβ，则α＜β
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝．则下列关系式中不成立的是（　　）

A．tanA?cotA＝1 B．sinA＝tanA?cosA
C．cosA＝cotA?sinA D．tan2A+cot2A＝1
6．已知∠A是锐角，sinA＝，则5cosA＝（　　）
A．4 B．3 C． D．5
7．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA等于（　　）
A． B． C． D．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
9．cos30°的值是（　　）
A． B． C． D．
10．sin30°的值为（　　）
A． B． C． D．
11．计算sin20°﹣cos20°的值是（保留四位有效数字）（　　）
A．﹣0.5976 B．0.5976 C．﹣0.5977 D．0.5977
12．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（　　）

A．
B．
C．
D．
二．填空题（共8小题）
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA＝　 　．
14．比较下列三角函数值的大小：sin40°　 　cos40°（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
15．若0°＜α＜90°，，则sinα＝　 　．
16．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为　 　．
17．sin30°+tan45°＝　 　．
18．选做题（从下面两题中只选做一题，如果做了两题的，只按第（I）题评分）；
（Ⅰ）计算：＝　 　．
（Ⅱ）用“＞”或“＜”号填空：　 　0．（可用计算器计算）
19．如图，点A（2，2），N（1，0），∠AON＝60°，点M为平面直角坐标系内一点，且MO＝MA，则MN的最小值为　 　．

20．如图，要在宽为22米的滨湖大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长为2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳．此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为　 　．

三．解答题（共8小题）
21．如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A＝30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC＝1，AD＝x，△BDE的面积为S．
（1）当α＝30°时，求x的值．
（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S＝时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．

22．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
23．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
24．计算：2sin30°+4cos30°?tan60°﹣cos245°．
25．在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）已知c＝25，b＝15，求a；
（2）已知a＝，∠A＝60°，求b、c．
26．某地质公园为了方便游客，计划修建一条栈道BC连接两条进入观景台OA的栈道AC和OB，其中AC⊥BC，同时为减少对地质地貌的破坏，设立一个圆形保护区⊙M（如图所示），M是OA上一点，⊙M与BC相切，观景台的两端A、O到⊙M上任意一点的距离均不小于80米．经测量，OA＝60米，OB＝170米，tan∠OBC＝．
（1）求栈道BC的长度；
（2）当点M位于何处时，可以使该圆形保护区的面积最大？

27．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

28．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底部G点为BC的中点，求矮建筑物的高CD．




2020年苏科新版九年级数学下册《第7章 锐角三角函数》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a＝5，b＝12，c＝13，下列结论成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由a、b、c的关系可知，△ABC是直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义求各角函数值．
【解答】解：由题意∵∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，a＝5，b＝12，c＝13，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°．
∴sinA＝，cosA＝，tanA＝，cosB＝．
故选：C．
【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（　　）
A．7sin35° B．7cos35° C．7tan35° D．
【分析】根据余弦的定义列出算式，计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，cosB＝，
∴BC＝AB?cosB＝7cos35°，
故选：B．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．
3．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（　　）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【分析】连接BE，根据圆周角定理，可得∠C＝∠AEB，因为∠AEB＝∠D+∠DBE，所以∠AEB＞∠D，所以∠C＞∠D，根据锐角三角形函数的增减性，即可判断．
【解答】解：如图，连接BE，

根据圆周角定理，可得∠C＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠D+∠DBE，
∴∠AEB＞∠D，
∴∠C＞∠D，
根据锐角三角形函数的增减性，可得，
sin∠C＞sin∠D，故①正确；
cos∠C＜cos∠D，故②错误；
tan∠C＞tan∠D，故③正确；
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角形函数的增减性，解决本题的关键是比较出∠C＞∠D．
4．若α，β都是锐角，下列说法正确的是（　　）
A．若sinα＝cosβ，则α＝β＝45°
B．若sinα＝cosβ，则α+β＝90°
C．若sinα＞cosβ，则α＞β
D．若sinα＜cosβ，则α＜β
【分析】一个锐角的正弦值等于余角的余弦值．正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小．故若sinα＞cosβ，则α，β的关系不确定．
【解答】解：根据一个角的正弦值等于余角的余弦值，判断A错误，B正确．
根据锐角三角函数的变化规律，则C，D错误．
故选：B．
【点评】注意正余弦的转换方法．也要注意特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝．则下列关系式中不成立的是（　　）

A．tanA?cotA＝1 B．sinA＝tanA?cosA
C．cosA＝cotA?sinA D．tan2A+cot2A＝1
【分析】可根据同角三角函数的关系：平方关系；正余弦与正切之间的关系（积的关系）；正切之间的关系进行解答．
【解答】解：根据锐角三角函数的定义，得
A、tanA?cotA＝＝1，关系式成立；
B、sinA＝，tanA?cosA＝＝，关系式成立；
C、cosA＝，cotA?sinA＝?＝，关系式成立；
D、tan2A+cot2A＝（）2+（）2≠1，关系式不成立．
故选：D．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系．
（1）平方关系：sin2A+cos2A＝1；
（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA?cosA．
（3）正切之间的关系：tanA?tanB＝1．
6．已知∠A是锐角，sinA＝，则5cosA＝（　　）
A．4 B．3 C． D．5
【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，由三角函数的定义直接解答即可．
【解答】解：由sinα＝＝知，如果设a＝3x，则c＝5x，结合a2+b2＝c2得b＝4x；
∴cosA＝＝，
∴5cosA＝4．
故选：A．
【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
7．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先根据锐角三角函数的定义，结合勾股定理，用同一个未知数表示直角三角形的三边；
再根据锐角三角函数的定义求解．
【解答】解：由sinB＝，可设∠B的对边是3k，斜边是5k．
则∠B的邻边是4k．
∴tanA＝＝．
故选：D．
【点评】理解锐角三角函数的概念．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA＝，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．
【解答】解：∵sinA＝，
∴设BC＝5x，AB＝13x，
则AC＝＝12x，
故tan∠B＝＝．
故选：D．

【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．
9．cos30°的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而得出答案．
【解答】解：cos30°＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
10．sin30°的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：sin30°＝，
故选：A．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
11．计算sin20°﹣cos20°的值是（保留四位有效数字）（　　）
A．﹣0.5976 B．0.5976 C．﹣0.5977 D．0.5977
【分析】本题要求熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．
【解答】解：按MODE，出现：DEG，按sin20﹣cos20，＝后，显示：﹣0.597 7．
故选：C．
【点评】本题考查了熟练应用计算器的能力．
12．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（　　）

A．
B．
C．
D．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA＝0.25，然后利用计算器求锐角∠A．
【解答】解：sinA＝＝＝0.25，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为

故选：A．
【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
二．填空题（共8小题）
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA＝　　．
【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
∴sinA＝．
故答案为：．

【点评】此题主要考查了锐角三角三角函数关系以及勾股定理，得出AB的长是解题关键．
14．比较下列三角函数值的大小：sin40°　＜　cos40°（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
【分析】首先根据正余弦的转换方法，得cos40°＝sin50°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析．
【解答】解：∵cos40°＝sin50°，正弦值随着角的增大而增大，
又∵40°＜50°，
∴sin40°＜cos40°．
【点评】掌握正余弦的转换方法，以及正弦值的变化规律．
15．若0°＜α＜90°，，则sinα＝　　．
【分析】画出直角三角形，根据tanB＝＝设AC＝k，BC＝2k，由勾股定理求出AB＝k，代入sinα＝sinB＝求出即可．
【解答】解：
如图在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝α，
tanB＝＝，
设AC＝k，BC＝2k，由勾股定理得：AB＝k，
则sinα＝sinB＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，主要考查学生的计算能力．
16．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为　　．
【分析】根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA＝，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．
【解答】解：
∵sinA＝，
∴设BC＝5x，AB＝13x，
则AC＝＝12x，
故tan∠B＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．
17．sin30°+tan45°＝　　．
【分析】分别把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝+1＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
18．选做题（从下面两题中只选做一题，如果做了两题的，只按第（I）题评分）；
（Ⅰ）计算：＝　　．
（Ⅱ）用“＞”或“＜”号填空：　＞　0．（可用计算器计算）
【分析】（Ⅰ）sin60°＝cos30°＝；
（Ⅱ）直接利用计算器计算即可比较．
【解答】解：（Ⅰ）sin60°?cos30°﹣＝?﹣＝﹣＝．
（Ⅱ）sin50°cos40°﹣≈0.0868＞0．
故答案为：（Ⅰ）．
（Ⅱ）＞．
【点评】主要考查了特殊角的三角函数值和计算器的使用．
19．如图，点A（2，2），N（1，0），∠AON＝60°，点M为平面直角坐标系内一点，且MO＝MA，则MN的最小值为　　．

【分析】MO＝MA知点P在AO中垂线上，当MN⊥PQ时MN最小，利用△PMN∽△PQO得＝，据此求解可得．
【解答】解：如图，过点A作AB⊥x轴，

则OB＝2、AB＝2，
∴OA＝＝＝4，
∵cos∠AOB＝＝＝，
∴∠AOB＝60°，
作AO的中垂线交x轴于点P，交OA于点Q，
则OQ＝AQ＝2，
∴OP＝＝4，
∵N（1，0），
∴PN＝3，
∵MO＝MA，
∴点M在PQ上，
当MN⊥PQ时，MN最小，
∵PQ⊥OA、PQ⊥MN，
∴△PMN∽△PQO，
∴＝，即＝，
解得：MN＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，熟练掌握中垂线的性质得出点M的位置时解题的关键．
20．如图，要在宽为22米的滨湖大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长为2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳．此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为　（11﹣4）米　．

【分析】延长OD，BC交于点P．解直角三角形得到DP＝DC?cot30°＝m，PC＝CD÷（sin30°）＝4米，通过△PDC∽△PBO，得到代入数据即可得到结论．
【解答】解：如图，延长OD，BC交于点P．
∵∠ODC＝∠B＝90°，∠P＝30°，OB＝11米，CD＝2米，
∴在直角△CPD中，DP＝DC?cos30°＝2m，PC＝CD÷（sin30°）＝4米，
∵∠P＝∠P，∠PDC＝∠B＝90°，
∴△PDC∽△PBO，
∴，
∴PB＝米，
∴BC＝PB﹣PC＝（11﹣4）米．
故答案为：（11﹣4）米，

【点评】本题考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
21．如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A＝30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC＝1，AD＝x，△BDE的面积为S．
（1）当α＝30°时，求x的值．
（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S＝时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．

【分析】（1）根据等腰三角形的判定，∠A＝∠α＝30°，得出x＝1；
（2）由直角三角形的性质，AB＝2，AC＝，由旋转性质求得△ADC∽△BCE，根据比例关系式，求出S与x的函数关系式；
（3）当S＝时，求得x的值，判断⊙E和DE的长度大小，确定⊙E与A′C的位置关系，再求tanα值．
【解答】解：（1）∵∠A＝a＝30°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠BCD＝60°．
∴AD＝BD＝BC＝1．
∴x＝1；

（2）∵∠DBE＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝∠CBE＝30°．
∴AC＝BC＝，AB＝2BC＝2．
由旋转性质可知：AC＝A′C，BC＝B′C，
∠ACD＝∠BCE，
∴△ADC∽△BEC，
∴＝，
∴BE＝x．
∵BD＝2﹣x，
∴s＝×x（2﹣x）＝﹣x2+x．（0＜x＜2）

（3）∵s＝s△ABC
∴﹣+＝，
∴4x2﹣8x+3＝0，
∴，．
①当x＝时，BD＝2﹣＝，BE＝×＝．
∴DE＝＝．
∵DE∥A′B′，
∴∠EDC＝∠A′＝∠A＝30°．
∴EC＝DE＝＞BE，
∴此时⊙E与A′C相离．
过D作DF⊥AC于F，则，．
∴．
∴． （12分）
②当时，，．
∴，
∴，
∴此时⊙E与A'C相交．
同理可求出．


【点评】本题考查的知识点：等腰三角形的判定，直角三角形的性质，相似三角形的判定以及直线与圆的位置关系的确定，是一道综合性较强的题目，难度大．
22．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；
（2）举出反例进行论证．
【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：
如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．
则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；

（2）该等式不成立，理由如下：
假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，
∵≠1，
∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．

【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．
23．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
【分析】（1）将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得；
（2）设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
【解答】解：（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin230°+sin260°
＝（）2+（）2
＝+
＝1；

（2）小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，

设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（）2+（）2
＝
＝
＝1．
【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．
24．计算：2sin30°+4cos30°?tan60°﹣cos245°．
【分析】将sin30°＝，cos30°＝，tan60°＝，cos45°＝代入运算，即可得出答案．
【解答】解：原式＝2×+4×?﹣
＝1+6﹣
＝．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆，难度一般．
25．在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）已知c＝25，b＝15，求a；
（2）已知a＝，∠A＝60°，求b、c．
【分析】（1）根据勾股定理即可直接求出a的值；
（2）根据直角三角形的性质与勾股定理即可求出b、c的值．
【解答】解：（1）根据勾股定理可得：
a＝＝20；

（2）∵△ABC为Rt△，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∴c＝2b，
根据勾股定理可得：a2+b2＝c2，即6+b2＝（2b）2，
解得b＝，则c＝2．
【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．
26．某地质公园为了方便游客，计划修建一条栈道BC连接两条进入观景台OA的栈道AC和OB，其中AC⊥BC，同时为减少对地质地貌的破坏，设立一个圆形保护区⊙M（如图所示），M是OA上一点，⊙M与BC相切，观景台的两端A、O到⊙M上任意一点的距离均不小于80米．经测量，OA＝60米，OB＝170米，tan∠OBC＝．
（1）求栈道BC的长度；
（2）当点M位于何处时，可以使该圆形保护区的面积最大？

【分析】（1）过C点作CE⊥OB于E，过A作AF⊥CE于F，设出AF，然后通过解直角三角形求得CE，进一步得到BE，然后由勾股定理得出答案；
（2）设BC与⊙M相切于Q，延长QM交直线BO于P，设OM＝x，把PB、PQ用含有x的代数式不是，再结合观景台的两端A、O到⊙M上任意一点的距离均不小于80米列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．
【解答】解：（1）如图1，过C点作CE⊥OB于E，过A作AF⊥CE于F，
∵∠ACB＝90°∠BEC＝90°，
∴∠ACF＝∠CBE，
∴tan∠ACF＝tan∠OBC＝，
设AF＝4x，则CF＝3x，
∵∠AOE＝∠AFE＝∠OEF＝90°，
∴OE＝AF＝4x，EF＝OA＝60，
∴CE＝3x+60，
∵tan∠OBC＝．
∴BE＝CE＝x+45，
∴OB＝OE+BE＝4x+x+45，
∴4x+x+45＝170，
解得：x＝20，
∴CE＝120（米），BE＝90（米），
∴BC＝＝150（米）．
（2）如图2，设BC与⊙M相切于Q，延长QM交直线BO于P，
∵∠POM＝∠PQB＝90°，
∴∠PMO＝∠CBO，
∴tan∠OBC＝．
∴tan∠PMO＝．
设OM＝x，则OP＝x，PM＝x，
∴PB＝x+170，
在RT△PQB中，tan∠PBQ＝＝．
∴＝，
∴PQ＝（x+170）＝x+136，
设⊙M的半径为R，
∴R＝MQ＝x+136﹣x＝136﹣x，
∵A、O到⊙M上任意一点的距离均不小于80米，
∴R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，
∴136﹣x﹣（60﹣x）≥80，136﹣x﹣x≥80，
解得：10≤x≤35，
∴当且仅当x＝10时R取最大值，
∴OM＝10米时，保护区的面积最大．


【点评】本题考查了圆的切线，考查了直线和圆的位置关系，解题的关键在于对题意的理解．
27．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【分析】（1）延长DC交AN于H．只要证明BC＝CD即可；
（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在 Rt△ADH中求出AH即可解决问题；
【解答】解：（1）延长DC交AN于H．

∵∠DBH＝60°，∠DHB＝90°，
∴∠BDH＝30°，
∵∠CBH＝30°，
∴∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴BC＝CD＝10（米）．
（2）在Rt△BCH中，CH＝BC＝5，BH＝5≈8.65，
∴DH＝15，
在Rt△ADH中，AH＝≈≈20，
∴AB＝AH﹣BH＝20﹣8.65≈11.4（米）．
答：AB的长度为11.4米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
28．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底部G点为BC的中点，求矮建筑物的高CD．

【分析】根据点G是BC中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB，在Rt△ABC和在Rt△AFD中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF，继而可求出CD的长度．
【解答】解：过点D作DF⊥AF于点F，
∵点G是BC中点，EG∥AB，
∴EG是△ABC的中位线，
∴AB＝2EG＝30米，
在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，
∴BC＝ABtan∠BAC＝30×＝10米．
在Rt△AFD中，∵AF＝BC＝10米，
∴FD＝AF?tanβ＝10×＝10米，
∴CD＝AB﹣FD＝30﹣10＝20米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．