华师大版八年级数学下册 17．4．2 反比例函数的图象和性质 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
17.4 反比例函数
第17章 函数及其图象
2.反比例函数的图象和性质
学习目标
1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的
图象特征和性质的过程. (重点、难点)
2. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图
象和性质. (重点)
3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点、
难点)
导入新课

我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函数图象时的方法吗？


写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？
复习引入



反比例函数的图象和性质
一
讲授新课
例1 画反比例函数 与 的图象.
合作探究
提示：画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.
解：列表如下：
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 …
… …
…
…

－1
－1.2
－1.5
－2
－3
－6
6
3
2
1.5
1.2
1
－2
－2.4
－3
－4
－6
6
4
3
2.4
2
－12
12
O
－2
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．


5
6
x













y
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
－3
－4
－1
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6

连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可
得 　的图象．












观察这两个函数图象，回答问题：
思考：
(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？
你能由它们的解析式说明理由吗？
(3) 对于反比例函数 (k＞0)，考虑问题(1)(2)，
你能得出同样的结论吗？

●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限
它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.

反比例函数 (k＞0) 的图象和性质：
1. 反比例函数 的图象大致是 ( )
C
y




A.
x
y
o


B.
x
o
D.




x
y
o




C.
x
y
o


练一练
2. 已知反比例函数 的图象过点(－2，－3)，函
数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1与y2
的大小关系为 ( )
A. y1 > y2
B. y1 = y2
C. y1 < y2
D. 无法确定
C
提示：由题可知反比例函数的解析式为 ，因为6＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据 >5，可知y1，y2的大小关系.


观察与思考
当 k =－2，－4，－6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？回顾前面我们利用从特殊到一般的方法，研究反比例函数 (k＞0) 的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k＜0)的图象和性质吗？




y
x
O




y
x
O




y
x
O
反比例函数 (k＜0) 的图象和性质：
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限
它们与x轴、y轴都不相交；
●在每个象限内，y随x的增大而增大.

归纳：
(1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
(2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.

一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质：

k 的正负决定反比例函数图象所在的象限和增减性
点(2，y1)和(3，y2)在函数 上，则y1 y2
(填“>”“<”或“=”).
<
练一练
例2 已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求a的值.
解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．
解得 a=－3.



反比例函数的图象和性质的初步运用
二
练一练
已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．
解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0．
解得 m=3.
例3 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如
何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的
图象位于第一、三象限；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
(2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个
函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点
A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12.

因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.

所以反比例函数的解析式为 .
(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围
是什么？
O


x
y

例4 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：
解：因为这个反比例函数图象的一
支位于第一象限，所以另一支
必位于第三象限.
因为这个函数图象位于第一、
三象限，所以m－5＞0，
解得m＞5.
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和
点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的
大小关系？
解：因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一支
上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1＞x2时，
y1＜y2.
练一练
已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)．
(1) 求这个函数的表达式；

解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)，
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，
　　
解得 k = 6.
∴ 这个函数的表达式为 .

　　
(2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的
图象上，并说明理由；

解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析
式，得点 B 的坐标不满足该解析式，点 C
的坐标满足该解析式，
所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函
数的图象上．
(3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
解：∵ 当 x = －3时，y =－2；
当 x = －1时，y =－6，且 k > 0，
∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
当堂练习
1. 反比例函数 的图象在 ( )

A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、三象限 D.第二、四象限

B
当堂练习
2. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 的
图象大致是 ( )


O


x
y
O


x
y
O


x
y
O


x
y








A.
B.
C.
D.
B
3. 已知反比例函数 的图象在第一、三象
限内，则m的取值范围是________.

4. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论：
(1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
(3) 双曲线位于第二、四象限.
其中正确的是 (填序号).
(1)(3)
m ＞ 2
5. 在反比例函数　　　(k>0) 的图象上有两点 A (x1，y1)，
B (x2，y2)， 且 x1>x2>0，则 y1－y2 0.
＜
6. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，－4).
(1) 求 k 的值；
解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，－4)，
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，
　　
解得 k = －8.
(2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大
如何变化?

解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个
象限内，y 随 x 的增大而增大.
(3) 画出该函数的图象；

O


x
y


解：如图所示：
(4) 点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？
因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标
不满足该解析式，
所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数
的图象上.

解：该反比例函数的解析式为 .
7. 已知反比例函数 y = mxm?－5，它的两个分支分别在
第一、三象限，求 m 的值.
解：因为反比例函数 y = mxm?－5 的两个分支分别在第
一、三象限，
所以有
m2－5=－1，
m＞0，

解得 m=2.
能力提升：
8. 点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 (k＞0)
的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围.
解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而
减小.
① 当这两点在图象的同一支上时，
∵y1＜y2，∴a－1＞a+1， 无解；
②当这两点分别位于图象的两支上时，
∵y1＜y2，∴必有 y1＜0＜y2.
∴a－1＜0，a+1＞0， 解得：－1＜a＜1.
故 a 的取值范围为：－1＜a＜1．
反比例函数 (k≠0)
k k > 0 k < 0
图象
性质
图象位于第一、三象限

图象位于第二、四象限
在每个象限内，y 随 x 的增大而减小
在每个象限内，y 随
x 的增大而增大

课堂小结