6.1 平面向量的概念 PPT课件（共71页）

(共71张PPT)
平面向量的概念
1.向量的定义与表示
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量。
（2）表示方法：
①几何表示法：用以A为始点，B为终点的有向线段___
表示。
②字母表示法：在印刷时，用黑体小写字母a，b，
c，…表示向量，手写时，可写成带箭头的小写字
母
…。
（3）向量的模：向量的大小叫做向量的长度或模，如
a，
的模分别记做|a|，|
|。
【思考】
（1）定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特性？只描述其中一个方面可以吗？
提示：向量不仅有大小，而且有方向。大小是代数特征，方向是几何特征。看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可，所以只描述其中一个方面不可以。
（2）由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量？
提示：要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点。
2.特殊向量
（1）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记做0。
（2）单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
（3）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量a与b相等，记作a=b。
（4）平行向量或共线向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量。向量a平行于b，记作a∥b。规定零向量平行于任意向量。
【思考】
（1）0与0相同吗？0是不是没有方向？
提示：0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0.0有方向，其方向是任意的。
（2）若a=b，则两向量在大小与方向上有何关系？
提示：若a=b，意味着|a|=|b|，且a与b的方向相同。
（3）“向量平行”与“几何中的平行”一样吗？
提示：向量平行与几何中的直线平行不同，向量平行包括所在直线重合的情况，故也称向量共线。
【素养小测】
1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）
（1）两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同。（　　）
（2）任意两个单位向量都相等。（　　）
（3）平行向量的方向相同或相反。（　　）
（4）若
则A，B，C，D四点是平行四边形的四
个顶点。（　　）
提示：（1）×。两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，其终点也不一定相同。
（2）×。任意两个单位向量只是长度相等，方向不一定相同，故不一定相等。
（3）√。由平行向量的定义可知。
（4）×。若
则A，B，C，D也可能落在同一条直线上。
2.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度。其中不是向量的有（　　）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C。②③④⑤既有大小，又有方向，是向量；①⑥⑦只有大小，没有方向，不是向量。
3.如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是（　　）
【解析】选B。结合题干图可知
与
大小相等，
方向相同，所以
类型一　向量的概念、零向量与单位向量
【典例】1.（2019·临沂高一检测）以下选项中，都是向量的是（　　）
A.正弦线、海拔
B.质量、摩擦力
C.三角形的边长、体积
D.余弦线、速度
2.给出下列说法：
①零向量是没有方向的；
②零向量的长度为0；
③零向量的方向是任意的；
④单位向量的模都相等，
其中正确的是________（填序号）。
【思维·引】1.紧扣向量的定义解答。
2.紧扣零向量、单位向量的定义解答。
【解析】1.选D。三角函数线、摩擦力、速度既有大小又有方向，是向量；海拔、质量、三角形的边长、体积只有大小没有方向，不是向量。
2.由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正确。
答案：②③④
【内化·悟】
1.零向量的大小与方向是怎样的？
提示：零向量的长度为0，方向任意。
2.所有的单位向量有何共同特征？
提示：所有的单位向量的长度相等，都是1。
【类题·通】
1.判断一个量是否为向量的两个关键条件
关键看它是否具备向量的两要素：
（1）有大小。（2）有方向。两个条件缺一不可。
2.理解零向量和单位向量应注意的问题
（1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等。
（2）单位向量不一定相等，易忽略向量的方向。
提醒：两个单位向量的模相等，但这两个单位向量不一定相等。
【习练·破】
在下列判断中，正确的是（　　）
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③长度相等的向量都是单位向量；
④单位向量都是同方向；
⑤向量
与向量
的长度相等。
A.①②③
B.①③⑤
C.①②⑤
D.①⑤
【解析】选D。由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确。长度相等的向量其模不一定为1，③不正确，单位向量的方向不一定相同，④不正确，⑤正确。
【加练·固】
（2019·衡阳高一检测）下列说法正确的是（　）
A.有向线段
与
表示同一向量
B.两个有公共终点的向量是平行向量
C.零向量与单位向量是平行向量
D.对任意向量a，
是一个单位向量
【解析】选C。向量
与
方向相反，不是同一向
量，A错误；
有公共终点的向量的方向不一定相同或相反，B错误；
当a=0时，
无意义，D错误；
零向量与任何向量都是平行向量，C正确。
类型二　相等向量与共线向量
【典例】如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形。
（1）找出与
相等的向量。
（2）找出与
共线的向量。
【思维·引】（1）找与
相等的向量，就是找与
长度相等且方向相同的向量。
（2）找与
共线的向量，就是找与
方向相同或相
反的向量。
【解析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知，
与
的长度相等且方向相同，所以与
相等的向量为
。
（2）由题干图可知，
与
方向相同，
与
方向相反，所以与
共线的向量有
【素养·探】
本题主要考查相等向量与共线向量，同时考查直观想
象的核心素养，培养读图能力。
本例在找与
共线的向量时，易忽视与其本身方向
相反的向量，即易把
漏掉。
若本例改为，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是正方形，请在图中找出与
模相等的向量。
【解析】由题干图可知，与
模相等的向量为
【类题·通】
1.相等向量的判断方法
先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向的。
2.共线向量的判断方法
先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量。
3.共线向量与相等向量的关系
相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量。若两向量相等，则两向量方向相同，模相等；若两向量共线，则两向量方向相同或相反。
【发散·拓】
向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c。因为当b=0时，a，c可以是任意向量，故a，c不一定平行；只有当b≠0时，才有a∥b，b∥c，则a∥c，即平行可传递。因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定看清题目中是“零向量”，还是“非零向量”。
【延伸·练】
（2019·秦皇岛高一检测）下列命题正确的是（　　）
A.向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线
B.向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线
C.向量
与
是共线向量，则A，B，C，D四点一定共线
D.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
【解析】选D。当b=0时，A不对；如图a=
，c=
b与a，b与c均不共线，但a与c共线，所以B错。
在 ABCD中，
与
共线，但四点A，B，C，D不共
线，所以C错；若a与b有一个为零向量，则a与b一定共
线，所以a，b不共线时，一定有a与b都是非零向量，
故D正确。
【习练·破】
在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O且平行于AB的线段，在所标的向量中：
（1）写出与
共线的向量。
（2）写出与
方向相同的向量。
（3）写出与
的模相等的向量。
（4）写出与
相等的向量。
【解析】在等腰梯形ABCD中AB∥CD∥EF，AD=BC。
（1）题干图中与
共线的向量有
（2）题干图中与
方向相同的向量有
（3）题干图中与
的模相等的向量为
，与
的
模相等的向量为
。
（4）题干图中与
相等的向量为
。
【加练·固】
1.如图，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与
的关系是
（　　）
【解析】选B。|
|与|
|表示等腰梯形两腰的长
度，故相等。
2.四边形ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，
共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与
平行且长度为2
的向量个数有________个。
【解析】如图所示，满足与
平行且长度为2
的
向量有
共8个。
答案：8
类型三　向量的表示与应用
【典例】1.如图所示的方格由若干个边长为1的小正方
形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形
的顶点，且|
|=
，画出所有的向量
。
2.如图所示，在四边形ABCD中，
=
，N，M分别
是AD，BC上的点，且
。求证：
。
【思维·引】1.根据方向与大小确定终点即可。
2.利用向量相等证明四边形ABCD，CNAM是平行四边
形，进而得到
。
【解析】1.画出所有的向量
如图：
2.因为
=
所以|
|=|
|，且AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形。所以|
|=|
|，且DA∥CB。
又因为
与
的方向相同，所以
=
。
同理可证四边形CNAM是平行四边形，所以
因为
所以|
|=|
|，DN∥MB，即
与
的模相等且
方向相同，所以
=
。
【内化·悟】
1.用有向线段表示向量需要确定哪几个量？
提示：起点、方向、大小、终点。
2.（1）在四边形ABCD中，若
=
，四边形ABCD是
什么图形，为什么？
提示：
=
包含两层含义，AB∥CD，AB=CD，故四
边形ABCD是平行四边形。
（2）要证明
必须满足什么条件？
提示：方向相同，长度相等。
【类题·通】
关于向量的表示及应用
（1）用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点。
（2）利用向量的相等，可以证明线段相等或直线平行，但在证明直线平行时需说明两向量所在的直线无公共点。用平行向量可证明（判断）直线平行，但证明直线平行时，除说明向量平行外还需说明向量所在的直线无公共点。
【习练·破】
下列说法中，正确的序号是________。
①零向量都相等；
②任一向量与它的平行向量不相等；
③若四边形ABCD是平行四边形，则
=
；
④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同。
【解析】因为零向量的长度都为零，且其方向任意，
所以零向量相等，所以①正确；因为平行向量的方向
可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平
行向量可能相等，所以②错误；画出图形，可得
=
，所以③正确；由共线向量的定义可知：共线的
向量，始点不同，终点可能相同，所以④不正确。
答案：①③
类型四　向量的实际应用
【生活情境】
已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达
B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C
地，再从C地按西南方向飞行1000
km到达D地。
问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？
【转化模板】
1.
—由题意知，此架飞机的三次飞行位移是向量
问题，故可以建立向量模型解决。
2.
—设飞机三次飞行位移分别为向量
3.
—已知向量
的方向为北偏东30°，长度为2000
km，向量
的方向为南偏东30°，长度为2000
km，向量
的方向为西南方向，长度为1000
km，求向量
的方向及长度。
4.
—由题意，作出向量
，如图所示。
依题意知，三角形ABC为正三角形，所以AC=2000km。
又因为∠ACD=45°，CD=1000
，所以△ACD为等腰直角三角形，即AD=1000
km，∠CAD=45°。所以D地在A地的东南方向，距A地1000
km。
5.
—D地在A地东南方向，距A地1000
km.
谢
谢