平面向量的概念
【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
平面向量的相关概念
了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念
数学抽象
平面向量的几何表示
掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念
数学抽象
相等向量与共线向量
理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念
数学抽象、逻辑推理
【教学过程】
一、问题导入
预习教材P2－P4的内容，思考以下问题：
1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？
2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？
3．两个向量（向量的模）能否比较大小？
4．如何判断相等向量或共线向量？向量与向量是相等向量吗？
二、新知探究
1．向量的相关概念
例1：给出下列命题：
①若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
②在?ABCD中，一定有＝；
③若a＝b，b＝c，则a＝c．
其中所有正确命题的序号为________．
解析：＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在?ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，故＝，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b的方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确．
答案：②③
教师小结
（1）判断一个量是否为向量的两个关键条件
①有大小；②有方向．两个条件缺一不可．
（2）理解零向量和单位向量应注意的问题
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；
②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
2．向量的表示
例2：在如图所示的坐标纸上（每个小方格的边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：
/
（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上；
（2），使||＝4，点B在点A正东方向上；
（3），使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．
解：（1）由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量，如图所示．
（2）由于点B在点A正东方向上，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示．
（3）由于点C在点B北偏东30°方向上，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量，如图所示．
/
教师小结：
用有向线段表示向量的步骤
/
3．共线向量与相等向量
例3：如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，在每两点所确定的向量中．
/
（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
（2）与a共线的向量有哪些？
解：（1）与a的长度相等、方向相反的向量有，，，．
（2）与a共线的向量有，，，，，，，，．
互动探究：
（1）变条件、变问法：本例中若＝c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的向量．
解：与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，．
（2）变问法：本例条件不变，与共线的向量有哪些？
解：与共线的向量有，，，，，，，，．
教师小结
共线向量与相等向量的判断
（1）如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量．
（2）共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．
（3）非零向量的共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c．
注意：对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．
【课堂总结】
1．向量的概念及表示
（1）概念：既有大小又有方向的量．
（2）有向线段
①定义：具有方向的线段．
②三个要素：起点、方向、长度．
③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作．
④长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||．
（3）向量的表示
/
2．向量的有关概念
（1）向量的模（长度）：向量的大小，称为向量的长度（或称模），记作||．
（2）零向量：长度为0的向量，记作0．
（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
3．两个向量间的关系
（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a，b是平行向量，记作a∥b．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a．
（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b．
■名师点拨
（1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
（2）共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
（3）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
【课堂检测】
1．如图，在?ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量的个数为（ ）
/
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C．图中与平行的向量为，，共3个．
2．下列结论中正确的是（ ）
①若a∥b且|a|＝|b|，则a＝b；
②若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|；
③若a与b方向相同且|a|＝|b|，则a＝b；
④若a≠b，则a与b方向相反且|a|≠|b|．
A．①③ B．②③
C．③④ D．②④
解析：选B．两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a，b可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．
3．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
（1）与相等的向量；
（2）与长度相等的向量；
（3）与共线的向量．
解：画出图形，如图所示．
（1）易知BC∥AD，BC＝AD，
所以与相等的向量为．
（2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，
所以与长度相等的向量为，，，，，，．
（3）与共线的向量为，，．
平面向量的运算
【第一课时】
向量的加法运算
【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
平面向量加法的几何意义
理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义
数学抽象、直观想象
平行四边形法则
和三角形法则
掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，
会用它们解决实际问题
数学抽象、直观想象
平面向量加法的运算律
掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算
数学抽象、数学运算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？
2．向量加法的运算律有哪两个？
二、新知探究
探究点1：
平面向量的加法及其几何意义
例1：如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c．
/
解：法一：可先作a＋c，再作（a＋c）＋b，即a＋b＋c．如图，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，
则得向量＝a＋c，然后作向量＝b，
则向量＝a＋b＋c为所求．
/
法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，（1）在平面内任取一点O，作＝a，＝b；
（2）作平行四边形AOBC，则＝a＋b；
（3）再作向量＝c；
（4）作平行四边形CODE，
则＝＋c＝a＋b＋c．即为所求．
/
规律方法：
（1）应用三角形法则求向量和的基本步骤
①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；
②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．
（2）应用平行四边形法则求向量和的基本步骤
①平移两个不共线的向量使之共起点；
②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；
③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．
探究点2：
平面向量的加法运算
例2：化简：
（1）＋；
（2）＋＋；
（3）＋＋＋＋．
解：（1）＋＝＋＝．
（2）＋＋
＝＋＋
＝（＋）＋
＝＋＝0．
（3）＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋＝＋＝0．
规律方法：
向量加法运算中化简的两种方法
（1）代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．
（2）几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．
探究点3：
向量加法的实际应用
例3：某人在静水中游泳，速度为4千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
/
解：如图，设此人游泳的速度为，水流的速度为，以，为邻边作?OACB，则此人的实际速度为＋＝．
由勾股定理知||＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．
规律方法：
应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤
（1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
（2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．
（3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．
三、课堂总结
1．向量加法的定义及运算法则
定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法
法则
三角形法则
前提
已知非零向量a，b
作法
在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量
结论
向量叫做a与b的和，记作a＋b，
即a＋b＝＋＝
图形
/
法则
平行四边形法则
前提
已知不共线的两个向量a，b
作法
在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作?OACB
结论
对角线就是a与b的和
图形
/
规定
对于零向量与任一向量a，我们规定a＋00a＝a
2．|a＋b|，|a|，|b|之间的关系
一般地，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立．
3．向量加法的运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
四、课堂检测
1．化简＋＋＋的结果等于（ ）
A． B．
C． D．
解析：选B．＋＋＋＝＋0＝．
2．在四边形ABCD中，＝＋，则一定有（ ）
A．四边形ABCD是矩形
B．四边形ABCD是菱形
C．四边形ABCD是正方形
D．四边形ABCD是平行四边形
解析：选D．由＝＋得＝，即AD＝BC，且AD∥BC，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形．
3．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为______．
解析：|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为13．
答案：13
4．已知?ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点（靠近D点），求作：
（1）＋；
（2）＋．
/
解：（1）延长AC，在延长线上截取CF＝AO，
则向量为所求．
/
（2）在AB上取点G，使AG＝AB，
则向量为所求．
【第二课时】
向量的减法运算
【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
相反向量
理解相反向量的概念
数学抽象
向量的减法
掌握向量减法的运算法则及其几何意义
数学抽象、直观想象
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．a的相反向量是什么？
2．向量减法的几何意义是什么？
二、新知探究
探究点1：
向量的减法运算
例1：化简下列各式：
（1）（＋）＋（－－）；
（2）－－．
解：（1）法一：原式＝＋＋＋＝（＋）＋（＋）＝＋＝．
法二：原式＝＋＋＋
＝＋（＋）＋＝＋＋＝＋0
＝．
（2）法一：原式＝－＝．
法二：原式＝－（＋）＝－＝．
规律方法：
向量减法运算的常用方法
/
探究点2：
向量的减法及其几何意义
例2：如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c．
/
解：法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，连接BC，
则＝b－c．
过点A作AD綊BC，连接OD，
则＝b－c，
所以＝＋＝a＋b－c．
法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
连接OB，则＝a＋b，再作＝c，连接CB，
则＝a＋b－c．
法三：如图③，在平面内任取一点O，
作＝a，＝b，连接OB，
则＝a＋b，再作＝c，连接OC，
则＝a＋b－c．
/
规律方法：
求作两个向量的差向量的两种思路
（1）可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋（－b）即可．
（2）可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
探究点3：
用已知向量表示其他向量
例3：如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，．
/
解：因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c，＝－＝b－a，
故＝＋＝b－a＋c．
规律方法：
用已知向量表示其他向量的三个关注点
（1）搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
（2）注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．
（3）注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．
例如，在四边形ABCD中，＋＋＋＝0．
三、课堂总结
1．相反向量
（1）定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向差，记作－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．
（2）结论
①－（－a）＝a，a＋（－a）＝（－a）＋a＝0；
②如果a与b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．
2．向量的减法
（1）向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋（－b）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．
（2）作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示．
/
（3）几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
四、课堂检测
1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则－等于（ ）
A． B．
C． D．
解析：选C．在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得－＝．
2．化简：－＋－＋＝________．
解析：原式＝＋＋＋＝＋＋＝0＋＝．
答案：
3．已知＝10，||＝7，则||的取值范围为______．
解析：因为＝－，
所以||＝|－|．
又≤|－|≤||＋||，
3≤|－|≤17，
所以3≤||≤17．
答案：[3，17]
4．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|－＋－|，试判断△ABC的形状．
解：因为－＋－＝＋，－＝＝－．
又|－|＝|－＋－|，
所以|＋|＝|－|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．
【第三课时】
向量的数乘运算
【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
向量数乘运算的定义及运算律
理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律
数学抽象、直观想象
向量共线定理
掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线
逻辑推理
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？
2．向量数乘运算满足哪三条运算律？
3．向量共线定理是怎样表述的？
4．向量的线性运算是指的哪三种运算？
二、新知探究
探究点1：
向量的线性运算
例1：（1）计算：
①4（a＋b）－3（a－b）－8a；
②（5a－4b＋c）－2（3a－2b＋c）；
③．
（2）设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋（2b－a）．
解：（1）①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a
＝－7a＋7b．
②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c
＝－a－c．
③原式＝
＝
＝a－b．
（2）原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝a＋b
＝－a＋b＝－（3i＋2j）＋（2i－j）
＝i＋j
＝－i－5j．
规律方法：
向量线性运算的基本方法
（1）类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
（2）方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
探究点2：
向量共线定理及其应用
例2：已知非零向量e1，e2不共线．
（1）如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3（e1－e2），求证：A、B、D三点共线；
（2）欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
解：（1）证明：因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5（e1＋e2）＝5．
所以，共线，且有公共点B，
所以A、B、D三点共线．
（2）因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，
所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ（e1＋ke2），
则（k－λ）e1＝（λk－1）e2，
由于e1与e2不共线，只能有
所以k＝±1．
规律方法：
向量共线定理的应用
（1）若b＝λa（a≠0），且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．
（2）若b＝λa（a≠0），且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
探究点3：
用已知向量表示其他向量
例3：如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
（1）＝________；
（2）＝________．
解析：因为∥，||＝2||，
所以＝2，＝．
（1）＝＋＝e2＋e1．
（2）＝＋＋
＝－－＋
＝－e1－e2＋e1＝e1－e2．
答案：（1）e2＋e1
（2）e1－e2
互动探究
变条件：在本例中，若条件改为＝e1，＝e2，试用e1，e2表示向量．
解：因为＝＋＋，
＝＋＋，
所以2＝（＋）＋＋＋（＋）．
又因为M，N分别是DC，AB的中点，
所以＋＝0，＋＝0．
所以2＝＋，
所以＝（－－）＝－e2－e1．
规律方法：
用已知向量表示其他向量的两种方法
（1）直接法
/
（2）方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
三、课堂总结
1．向量的数乘的定义
一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
（1）|λa|＝|λ||a|．
（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0．
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么：
（1）λ（μa）＝（λμ）a．
（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa．
（3）λ（a＋b）＝λa＋λb．
3．向量的线性运算及向量共线定理
（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）＝λμ1a±λμ2b．
（2）向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
四、课堂检测
1．等于（ ）
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a－b
解析：选B．原式＝（2a＋8b）－（4a－2b）＝a＋b－a＋b＝－a＋2b．
2．若点O为平行四边形ABCD的中心，＝2e1，＝3e2，则e2－e1＝（ ）
A． B．
C． D．
解析：选A．＝－＝－＝3e2－2e1，＝＝e2－e1．
3．已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证A，B，D三点共线．
证明：因为＝e1＋3e2，＝2e1－e2，
所以＝－＝e1－4e2．
又＝2e1－8e2＝2（e1－4e2），所以＝2，所以与共线．
因为AB与BD有交点B，所以A，B，D三点共线．
【第四课时】
向量的数量积
【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
向量的夹角
理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角
直观想象、数学运算
向量数量积的含义
理解平面向量数量积的含义并会计算
数学抽象、数学运算
投影向量
理解a在b上的投影向量的概念
数学抽象
向量数量积的性质和运算律
掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用
数学运算、逻辑推理
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．什么是向量的夹角？
2．数量积的定义是什么？
3．投影向量的定义是什么？
4．向量数量积有哪些性质？
5．向量数量积的运算有哪些运算律？
二、新知探究
探究点1：
平面向量的数量积运算
例1：（1）已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求（a＋2b）·（a＋3b）．
/
（2）如图，在?ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
①·；②·．
解：（1）（a＋2b）·（a＋3b）
＝a·a＋5a·b＋6b·b
＝|a|2＋5a·b＋6|b|2
＝|a|2＋5|a||b|cos60°＋6|b|2
＝62＋5×6×4×cos60°＋6×42＝192．
（2）①因为∥，且方向相同，
所以与的夹角是0°，
所以·＝||||·cos0°＝3×3×1＝9．
②因为与的夹角为60°，
所以与的夹角为120°，
所以·＝||||·cos120°
＝4×3×＝－6．
互动探究：
变问法：若本例（2）的条件不变，求·．
解：因为＝＋，＝－，
所以·＝（＋）·（－）
＝2－2＝9－16＝－7．
规律方法：
向量数量积的求法
（1）求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
（2）根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
探究点2：
向量模的有关计算
例2：（1）已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝（ ）
A． B．2
C．4 D．12
（2）向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝（ ）
A． B．
C． D．
解析：（1）|a＋2b|＝＝
＝
＝＝2．
（2）由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|·cos60°＝，即1＋|b|2－|b|＝，解得|b|＝．
答案：（1）B
（2）B
规律方法：
求向量的模的常见思路及方法
（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
（2）a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
探究点3：
向量的夹角与垂直
命题角度一：求两向量的夹角
例3：（1）已知|a|＝6，|b|＝4，（a＋2b）·（a－3b）＝－72，则a与b的夹角为________；
（2）（2019·高考全国卷Ⅰ改编）已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且（a－b）⊥b，则a与b的夹角为______．
解析：（1）设a与b的夹角为θ，（a＋2b）·（a－3b）＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b
＝|a|2－a·b－6|b|2
＝|a|2－|a||b|cosθ－6|b|2
＝62－6×4×cosθ－6×42＝－72，
所以24cosθ＝36＋72－96＝12，
所以cosθ＝．
又因为θ∈，所以θ＝．
（2）设a与b的夹角为θ，由（a－b）⊥b，得（a－b）·b＝0，所以a·b＝b2，所以cosθ＝．又因为|a|＝2|b|，
所以cosθ＝＝．
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝．
答案：（1）
（2）
命题角度二：证明两向量垂直
例4：已知a，b是非零向量，当a＋tb（t∈R）的模取最小值时，求证：b⊥（a＋tb）．
证明：因为|a＋tb|＝＝＝，
所以当t＝－＝－时，|a＋tb|有最小值．
此时b·（a＋tb）＝b·a＋tb2＝a·b＋·|b|2
＝a·b－a·b＝0．所以b⊥（a＋tb）．
命题角度三：利用夹角和垂直求参数
例5：（1）已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为（ ）
A．－ B．
C．± D．1
（2）已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________．
解析：（1）因为3a＋2b与ka－b互相垂直，
所以（3a＋2b）·（ka－b）＝0，
所以3ka2＋（2k－3）a·b－2b2＝0．
因为a⊥b，所以a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，
所以12k－18＝0，k＝．
（2）由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－（3a＋λb），
即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，
而a，b，c为单位向量，
则a2＝b2＝c2＝1，
则49＝9＋λ2＋6λcos，
即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5．
答案：（1）B
（2）－8或5
规律方法：
求向量a与b夹角的思路
（1）求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．
（2）在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cosθ的值．
三、课堂总结
1．两向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角．
/
（2）特例：①当θ＝0时，向量a与b同向；
②当θ＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b；
③当θ＝π时，向量a与b反向．
2．向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ．
规定零向量与任一向量的数量积为0．
3．投影向量
如图（1），设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影（project），叫做向量a在向量b上的投影向量．
/
如图（2），在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．
/
（2）若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则＝|a|cosθe．
4．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
（1）a·e＝e·a＝|a|cosθ．
（2）a⊥b?a·b＝0．
（3）当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝．
（4）|a·b|≤|a||b|．
5．向量数量积的运算律
（1）a·b＝b·a（交换律）．
（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（结合律）．
（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）．
四、课堂检测
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为（ ）
A． B．
C． D．
解析：选C．由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，所以cosθ＝．又0≤θ≤π，所以θ＝．
2．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为（ ）
A．－6 B．6
C．3 D．－3
解析：选B．因为c·d＝0，所以（2a＋3b）·（ka－4b）＝0，
所以2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
所以2k＝12，所以k＝6．
3．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为______．
解析：设a与b的夹角θ，则
cosθ＝＝＝－，
所以a在b上的投影向量为|a|cosθ·e＝3×e
＝－e．
答案：－e
4．已知|a|＝1，|b|＝．
（1）若a∥b，求a·b；
（2）若a，b的夹角为60°，求|a＋b|；
（3）若a－b与a垂直，求a与b的夹角．
解：设向量a与b的夹角为θ．
（1）当a，b同向，即θ＝0°时，a·b＝；当a，b反向，即θ＝180°时，a·b＝－．
（2）|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3＋，|a＋b|＝．
（3）由（a－b）·a＝0，得a2＝a·b，cosθ＝＝，又θ∈[0，180°]，故θ＝45°．
平面向量基本定理及坐标表示
【第一课时】
教学重难点
教学目标
核心素养
平面向量基本定理
理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义
数学抽象
平面向量基本定理的应用
掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量
数学抽象、数学运算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．基底中两个向量可以共线吗？
2．平面向量基本定理的内容是什么？
二、新知探究
1．平面向量基本定理的理解
例1：设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2．
其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________（写出满足条件的序号）．
解析：①设e1＋e2＝λe1，则无解，
所以e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底．
②设e1－2e2＝λ（e2－2e1），则（1＋2λ）e1－（2＋λ）e2＝0，
则无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底．
③因为e1－2e2＝－（4e2－2e1），
所以e1－2e2与4e2－2e1共线，
即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底．
④设e1＋e2＝λ（e1－e2），则（1－λ）e1＋（1＋λ）e2＝0，则无解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底．
答案：③
规律方法：
对基底的理解
（1）两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
（2）一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．
2．用基底表示平面向量
例2：如图所示，在?ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量，．
/
解：＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋＝a－b．
＝＋＋
＝－＋＋＝b－a．
互动探究
（1）变问法：本例条件不变，试用基底{a，b}表示．
解：由平面几何知识知BG＝BF，
故＝＋＝＋
＝a＋
＝a＋b－a＝a＋b．
（2）[变条件]若将本例中的向量“，”换为“，”，即若＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量，．
解：＝＋＝2＋＝－2＋＝－2b＋a．
＝＋＝2＋
＝－2＋＝－2a＋b．
规律方法：
用基底表示向量的两种方法
（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．
（2）通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
3．平面向量基本定理的应用
例3：如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN．
/
解：设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2．
因为A，P，M和B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2．
故＝＋＝－＝（λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2．
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得
解得
所以＝，＝，
所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2．
互动探究
1．变问法：在本例条件下，若＝a，＝b，试用a，b表示．
解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，则＝，
＝＋＝＋＝b＋（－）
＝b＋a－b＝b＋a．
2．变条件：若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN．
/
解：如图，设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－2e2－e1，＝＋＝2e1＋e2．
因为A，P，M和B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－2λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2．
故＝＋＝－＝（λ＋2μ）e1＋（2λ＋μ）e2．
而＝＋＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，
得
解得
所以＝，＝，
所以AP∶PM＝2，BP∶PN＝2．
规律方法：
若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量（一般需建立两个不同的向量表达式），再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．
三、课堂总结
平面向量基本定理
条件
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
四、课堂检测
1．如图在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝（ ）
/
A．（5e1＋3e2） B．（5e1－3e2）
C．（3e2－5e1） D．（5e2－3e1）
解析：选A．＝＝（＋）
＝（＋）＝（5e1＋3e2）．
2．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ（λ∈R），则x，y满足的关系是（ ）
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
解析：选A．由＝λ，得－＝λ（－），即＝（1＋λ）－λ．又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y＝2．
3．如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，．
/
解：法一：设AC，BD交于点O，则有＝＝＝a，＝＝＝b．
所以＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝a＋b．
法二：设＝x，＝y，则＝＝y，
又
所以解得x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b．
【第二课时】
教学重难点
教学目标
核心素养
平面向量的坐标表示
理解向量正交分解以及坐标表示的意义
数学抽象、直观想象
平面向量加、减运算的坐标表示
掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法则
数学运算
平面向量数乘运算的坐标表示
理解坐标表示的平面向量共线的条件，并会解决向量共线问题
数学运算、逻辑推理
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．怎样分解一个向量才为正交分解？
2．如何求两个向量和、差的向量的坐标？
3．一个向量的坐标与有向线段的起点和终点坐标之间有什么关系？
4．若a＝（x，y），则λa的坐标是什么？
二、新知探究
1．平面向量的坐标表示
例1：已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，
（1）求向量的坐标；
（2）若B（，－1），求的坐标．
解：（1）设点A（x，y），则x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2，y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6，
即A（2，6），所以＝（2，6）．
（2）＝（2，6）－（，－1）＝（，7）．
规律方法：
求点和向量坐标的常用方法
（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．
（2）求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
2．平面向量的坐标运算
例2：（1）已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝（ ）
A．（－23，－12） B．（23，12）
C．（7，0） D．（－7，0）
（2）已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），且＝3 ，＝2 ，求点M，N的坐标．
解：（1）选A．因为a＝（5，2），b＝（－4，－3），且c满足3a－2b＋c＝0，所以c＝2b－3a＝2（－4，－3）－3（5，2）＝（－8－15，－6－6）＝（－23，－12）．
（2）法一：因为A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），
所以＝（－2，4）－（－3，－4）＝（1，8），
＝（3，－1）－（－3，－4）＝（6，3）．
因为＝3 ，＝2 ，
所以＝3（1，8）＝（3，24），＝2（6，3）＝（12，6）．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
所以＝（x1＋3，y1＋4）＝（3，24），
＝（x2＋3，y2＋4）＝（12，6），
所以解得
所以M（0，20），N（9，2）．
法二：设O为坐标原点，则由＝3 ，＝2 ，
可得－＝3（－），－＝2（－），
所以＝3 －2 ，＝2 －．
所以＝3（－2，4）－2（－3，－4）＝（0，20），
＝2（3，－1）－（－3，－4）＝（9，2）．
所以M（0，20），N（9，2）．
规律方法：
平面向量坐标（线性）运算的方法
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
（3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．
3．向量坐标运算的综合应用
例3：已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），及＝＋t．
（1）t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
（2）四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
解：（1）＝＋t＝（1，2）＋t（3，3）
＝（1＋3t，2＋3t）．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－．
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－．
若点P在第二象限，则
所以－＜t＜－．
（2）＝（1，2），＝（3－3t，3－3t）．若四边形OABP为平行四边形，
则＝，所以该方程组无解．
故四边形OABP不能为平行四边形．
互动探究：
变问法：若保持本例条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？
解：由＝＋t，得＝t．
所以当t＝2时，＝2，B为线段AP的中点．
求解策略：
向量中含参数问题的求解策略
（1）向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．
（2）解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程（组），解这个方程（组），就能达到解题的目的．
4．向量共线的判定
（1）已知向量a＝（1，－2），b＝（3，4）．若（3a－b）∥（a＋kb），则k＝________．
（2）已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
解：（1）3a－b＝（0，－10），a＋kb＝（1＋3k，－2＋4k），
因为（3a－b）∥（a＋kb），所以0－（－10－30k）＝0，
所以k＝－．故填－．
（2）因为＝（1－（－1），3－（－1））＝（2，4），
＝（2－（－1），5－（－1））＝（3，6），
因为2×6－3×4＝0，
所以∥，所以与共线．
又＝，所以与的方向相同．
互动探究：
变问法：若本例（1）条件不变，判断向量（3a－b）与（a＋kb）是反向还是同向？
解：由向量（3a－b）与（a＋kb）共线，得k＝－，
所以3a－b＝（3，－6）－（3，4）＝（0，－10），
a＋kb＝a－b＝（1，－2）－（3，4）
＝＝（0，－10），
所以向量（3a－b）与（a＋kb）同向．
规律方法：
向量共线的判定方法
/
5．三点共线问题
（1）已知＝（3，4），＝（7，12），＝（9，16），求证：点A，B，C共线；
（2）设向量＝（k，12），＝（4，5），＝（10，k），求当k为何值时，A，B，C三点共线．
解：（1）证明：由题意知＝－＝（4，8），
＝－＝（6，12），所以＝，
即与共线．
又因为与有公共点A，所以点A，B，C共线．
（2）法一：因为A，B，C三点共线，即与共线，
所以存在实数λ（λ∈R），使得＝λ．
因为＝－＝（4－k，－7），＝－＝（10－k，k－12），
所以（4－k，－7）＝λ（10－k，k－12），
即解得k＝－2或k＝11．
所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．
法二：由已知得与共线，
因为＝－＝（4－k，－7），＝－＝（10－k，k－12），
所以（4－k）（k－12）＋7（10－k）＝0，
所以k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11．
所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．
规律方法：
判断向量（或三点）共线的三个步骤
/
6．向量共线的应用
如图所示，在△AOB中，A（0，5），O（0，0），B（4，3），＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
解：因为＝＝（0，5）＝，
所以C．
因为＝＝（4，3）＝，
所以D．
设M（x，y），则＝（x，y－5），
＝＝．
因为∥，
所以－x－2（y－5）＝0，
即7x＋4y＝20．①
又＝，＝，
因为∥，所以x－4＝0，
即7x－16y＝－20．②
联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为．
规律方法：
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
/
三、课堂总结
1．平面向量坐标的相关概念
/
■名师点拨
（1）平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．
（2）由向量坐标的定义知，两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b?x1＝x2且y1＝y2，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）．
2．平面向量的坐标运算
（1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），λ∈R，则
①a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）；
②a－b＝（x1－x2，y1－y2）；
③λa＝（λx1，λy1）．
（2）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
■名师点拨
（1）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
（2）已知向量的起点A（x1，y1），终点B（x2，y2），则＝（x2－x1，y2－y1）．
3．两向量共线的充要条件
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0．则a，b（b≠0）共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0．
■名师点拨
（1）两个向量共线的坐标表示还可以写成＝（x2≠0，y2≠0），即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
（2）当a≠0，b＝0时，a∥b，此时x1y2－x2y1＝0也成立，即对任意向量a，b都有x1y2－x2y1＝0?a∥b．
四、课堂检测
1．已知向量a＝（2，4），b＝（－1，1），则2a－b＝（ ）
A．（5，7）
B．（5，9）
C．（3，7）
D．（3，9）
答案：A
2．已知A（－1，－2），B（2，3），C（－2，0），D（x，y），且＝2，则x＋y＝________．
解析：因为＝（－2，0）－（－1，－2）＝（－1，2），＝（x，y）－（2，3）＝（x－2，y－3），又2＝，即（2x－4，2y－6）＝（－1，2），
所以解得所以x＋y＝．
答案：
3．已知点B（1，0）是向量a的终点，向量b，c均以原点O为起点，且b＝（－3，4），c＝（－1，1）与a的关系为a＝3b－2c，求向量a的起点坐标．
解：a＝3b－2c＝3（－3，4）－2（－1，1）＝（－7，10），
设a的起点为A（x，y），
则a＝＝（1－x，－y），
所以
所以
所以A（8，－10）．
即a的起点坐标为（8，－10）．
4．已知向量a＝（1，－2），b＝（m，4），且a∥b，那么2a－b＝（ ）
A．（4，0） B．（0，4）
C．（4，－8） D．（－4，8）
解析：选C．因为向量a＝（1，－2），b＝（m，4），且a∥b，所以1×4＝（－2）×m，所以m＝－2，所以2a－b＝（2－m，－4－4）＝（4，－8）．
5．若三点A（4，3），B（5，m），C（6，n）在一条直线上，则下列式子一定正确的是（ ）
A．2m－n＝3 B．n－m＝1
C．m＝3，n＝5 D．m－2n＝3
解析：选A．因为三点A（4，3），B（5，m），C（6，n）在一条直线上，所以＝λ，所以（1，m－3）＝λ（2，n－3），所以λ＝，所以m－3＝（n－3），即2m－n＝3．
6．平面内给定三个向量a＝（3，2），b＝（－1，2），c＝（4，1）．
（1）求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
（2）若（a＋kc）∥（2b－a），求实数k的值．
解：（1）因为a＝mb＋nc，所以（3，2）＝m（－1，2）＋n（4，1）＝（－m＋4n，2m＋n）．
所以解得
（2）因为（a＋kc）∥（2b－a），
又a＋kc＝（3＋4k，2＋k），2b－a＝（－5，2），
所以2×（3＋4k）－（－5）×（2＋k）＝0．
所以k＝－．
【第三课时】
教学重难点
教学目标
核心素养
平面向量数量积的坐标表示
掌握平面向量数量积的坐标表示，
会用向量的坐标形式求数量积
数学运算
平面向量的模与夹角的坐标表示
能根据向量的坐标计算向量的模、
夹角及判定两个向量垂直
数学运算、逻辑推理
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．平面向量数量积的坐标表示是什么？
2．如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？
二、新知探究
1．数量积的坐标运算
例1：已知向量a＝（1，－1），b＝（－1，2），则（2a＋b）·a＝（ ）
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：因为a＝（1，－1），b＝（－1，2），
所以（2a＋b）·a＝（1，0）·（1，－1）＝1．
答案：C
规律方法：
数量积坐标运算的两个途径
一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
2．平面向量的模
例2：（1）设平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a∥b则|3a＋b|等于（ ）
A． B．
C． D．
（2）已知|a|＝2，b＝（2，－3），若a⊥b，求a＋b的坐标及|a＋b|．
解：（1）选A．因为a∥b，所以1×y－2×（－2）＝0，
解得y＝－4，从而3a＋b＝（1，2），|3a＋b|＝．
（2）设a＝（x，y），
则由|a|＝2，得x2＋y2＝52．①
由a⊥b，解得2x－3y＝0．②
联立①②，解得或
所以 a＝（6，4）或a＝（－6，－4）．
所以a＋b＝（8，1）或a＋b＝（－4，－7），
所以|a＋b|＝．
求解策略：
求向量的模的两种基本策略
（1）字母表示下的运算
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
（2）坐标表示下的运算
若a＝（x，y），则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ ．
3．平面向量的夹角（垂直）
例3：已知a＝（4，3），b＝（－1，2）．
（1）求a与b夹角的余弦值；
（2）若（a－λb）⊥（2a＋b），求实数λ的值．
解：（1）因为a·b＝4×（－1）＋3×2＝2，
|a|＝＝5，|b|＝＝，设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝．
（2）因为a－λb＝（4＋λ，3－2λ），2a＋b＝（7，8），
又（a－λb）⊥（2a＋b），
所以7（4＋λ）＋8（3－2λ）＝0，所以λ＝．
规律方法：
利用数量积求两向量夹角的步骤
/
三、课堂总结
1．平面向量数量积的坐标表示
已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2．
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
■名师点拨
公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
2．两个公式、一个充要条件
（1）向量的模长公式：若a＝（x，y），则|a|＝．
（2）向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝．
（3）两个向量垂直的充要条件
设非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．
■名师点拨
若A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x2－x1，y2－y1），
||＝，即A，B两点间的距离为．
四、课堂检测
1．已知向量a＝（2，0），a－b＝（3，1），则下列结论正确的是（ ）
A．a·b＝2 B．a∥b
C．b⊥（a＋b） D．|a|＝|b|
解析：选C．因为向量a＝（2，0），a－b＝（3，1），设b＝（x，y），则解得所以b＝（－1，－1），a＋b＝（1，－1），b·（a＋b）＝－1×1＋（－1）×（－1）＝0，所以b⊥（a＋b）．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝（1，－2），＝（2，1），则·＝________．
解析：由四边形ABCD为平行四边形，知＝＋＝（3，－1），故·＝（2，1）·（3，－1）＝5．
答案：5
3．已知a＝（1，），b＝（2，m）．
（1）当3a－2b与a垂直时，求m的值；
（2）当a与b的夹角为120°时，求m的值．
解：（1）由题意得3a－2b＝（－1，3－2m），
由3a－2b与a垂直，得－1＋9－2m＝0，
所以m＝．
（2）由题意得|a|＝2，|b|＝，a·b＝2＋m，
所以cos 120°＝＝＝－，
整理得2＋m＋＝0，
化简得m2＋2m＝0，
解得m＝－2或m＝0（舍去）．
所以m＝－2．
平面向量的应用
【第一课时】
教学重难点
教学目标
核心素养
向量在平面几何中的应用
会用向量方法解决平面几何中的平行、
垂直、长度、夹角等问题
数学建模、逻辑推理
向量在物理中的应用
会用向量方法解决物理中的速度、力学问题
数学建模、数学运算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？
2．如何用向量方法解决物理问题？
二、新知探究
探究点1：
向量在几何中的应用
角度一：平面几何中的垂直问题
例1：如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．
证明：法一：设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，
所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0．
故⊥，即AF⊥DE．
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，1），＝（2，1），＝（1，－2）．
因为·＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE．
角度二：平面几何中的平行（或共线）问题
/：如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝．求证：点E，O，F在同一直线上．
证明：设＝m，＝n，
由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点，
所以＝＋＝＋
＝－m＋（m＋n）＝m＋n，
＝＋＝＋
＝（m＋n）－m＝m＋n．
所以＝．
又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上．
角度三：平面几何中的长度问题
/：如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，
而||＝|a－b|＝＝＝＝2，
所以5－2a·b＝4，所以a·b＝，又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以||＝，即AC＝．
用向量方法解决平面几何问题的步骤
/
/
向量在物理中的应用
/：（1）在长江南岸某渡口处，江水以12．5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
（2）已知两恒力F1＝（3，4），F2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0），求F1，F2分别对质点所做的功．
解：（1）如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．
因为＋＝，所以四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12．5．
||＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°．
（2）设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s．
因为＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15）．
所以W1＝F1·＝（3，4）·（－13，－15）
＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（焦），
W2＝F2·＝（6，－5）·（－13，－15）
＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（焦）．
用向量方法解决物理问题的“三步曲”
/
三、课堂总结
1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”
/
2．向量在物理学中的应用
（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．
（2）物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ（θ为F与s的夹角）．
四、课堂检测
1．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ）
A．10 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D．12 m/s
解析：选B．由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图．
所以小船在静水中的速度大小
|v|＝＝2（m/s）．
2．已知三个力f1＝（－2，－1），f2＝（－3，2），f3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝（ ）
A．（－1，－2） B．（1，－2）
C．（－1，2） D．（1，2）
解析：选D．由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－（f1＋f2＋f3）＝（1，2）．
3．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：PQ∥AB．
证明：设＝λ（λ＞0且λ≠1），因为＝－＝＋－＝＋（－）
＝＋[（－）－（＋）]
＝＋（－）
＝（＋）＝（－λ＋1），
所以∥，又P，Q，A，B四点不共线，所以PQ∥AB．
【第二课时】
教学重难点
教学目标
核心素养
余弦定理
了解余弦定理的推导过程
逻辑推理
余弦定理的推论
掌握余弦定理的几种变形公式及应用
数学运算
三角形的元素及解三角形
能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题
数学运算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．余弦定理的内容是什么？
2．余弦定理有哪些推论？
二、新知探究
/
已知两边及一角解三角形
/：（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（ ）
A．4 B．
C． D．2
（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝（ ）
A． B．
C．2 D．3
解析：（1）因为cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4，故选A．
（2）由余弦定理得5＝22＋b2－2×2bcos A，
因为cos A＝，所以3b2－8b－3＝0，
所以b＝3．故选D．
答案：（1）A
（2）D
互动探究：
变条件：将本例（2）中的条件“a＝，c＝2，cos A＝”改为“a＝2，c＝2，cos A＝”，求b为何值？
解：由余弦定理得：
a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以22＝b2＋（2）2－2×b×2×，
即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4．
规律方法：
解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤
（1）用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．
（2）再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．
探究点2：
已知三边（三边关系）解三角形
/：（1）在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝，则最大角与最小角的和为（ ）
A．90° B．120°
C．135° D．150°
（2）在△ABC中，若（a＋c）（a－c）＝b（b－c），则A等于（ ）
A．90° B．60°
C．120° D．150°
解析：（1）在△ABC中，因为a＝3，b＝5，c＝，
所以最大角为B，最小角为A，
所以cos C＝＝＝，所以C＝60°，所以A＋B＝120°，所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°．故选B．
（2）因为（a＋c）（a－c）＝b（b－c），所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝．因为A∈（0°，180°），所以A＝60°．
答案：（1）B
（2）B
已知三角形的三边解三角形的方法
先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
注意：若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．
探究点3：
判断三角形的形状
/：在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状．
解：将已知等式变形为
b2（1－cos2C）＋c2（1－cos2B）＝2bccos Bcos C．
由余弦定理并整理，得
b2＋c2－b2－c2
＝2bc××，
所以b2＋c2＝＝＝a2．
所以A＝90°．所以△ABC是直角三角形．
规律方法：
（1）利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．
②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断．
（2）判断三角形时经常用到以下结论
①△ABC为直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2．
②△ABC为锐角三角形?a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2＞b2．
③△ABC为钝角三角形?a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2．
④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝．
三、课堂总结
1．余弦定理
文字语言
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
符号语言
a2＝b2＋c2－2bccos_A
b2＝a2＋c2－2accos_B
c2＝a2＋b2－2abcos_C
2．余弦定理的推论
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝．
3．三角形的元素与解三角形
（1）三角形的元素
三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．
（2）解三角形
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
四、课堂检测
1．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝（ ）
A．90° B．120°
C．135° D．150°
解析：选B．cos B＝＝＝．
所以B＝60°，所以A＋C＝120°．
2．在△ABC中，已知（a＋b＋c）（b＋c－a）＝3bc，则角A等于（ ）
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选B．因为（b＋c）2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cosA＝＝，所以A＝60°．
3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a＋b）2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝________．
解析：因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcos 60°，
即c2＝a2＋b2－ab．①
又因为（a＋b）2－c2＝4，
所以c2＝a2＋b2＋2ab－4．②
由①②知－ab＝2ab－4，所以ab＝．
答案：
4．在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断△ABC的形状．
解：由余弦定理知cos A＝，cos B＝，cos C＝，代入已知条件得a·＋b·＋c·＝0，
通分得a2（b2＋c2－a2）＋b2（a2＋c2－b2）＋c2（c2－a2－b2）＝0，
展开整理得（a2－b2）2＝c4．
所以a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2．
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
【第三课时】
教学重难点
教学目标
核心素养
正弦定理
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦
定理的内容及其证明方法
逻辑推理
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？
2．正弦定理的内容是什么？
二、新知探究
/
已知两角及一边解三角形
/：在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
【解】因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－（A＋C）＝105°．
由＝得a＝＝10×＝10．
因为sin 75°＝sin（30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝，所以b＝＝＝20×＝5＋5．
已知三角形的两角和任一边解三角形的思路
（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角．
（2）若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
/
已知两边及其中一边的对角解三角形
/ 已知△ABC中的下列条件，解三角形：
（1）a＝10，b＝20，A＝60°；
（2）a＝2，c＝，C＝．
解：（1）因为＝，
所以sin B＝＝＝>1，
所以三角形无解．
（2）因为＝，所以sin A＝＝．
因为c＞a，所以C＞A．所以A＝．
所以B＝，b＝ ＝＝＋1．
互动探究：
变条件：若本例（2）中C＝改为A＝，其他条件不变，求C，B, b．
解：因为＝，所以sin C＝＝．
所以C＝或．
当C＝时，B＝，b＝＝＋1．
当C＝时，B＝，b＝＝－1．
（1）已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；
③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
（2）已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；
②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：
A为钝角
A为直角
A为锐角
a>b
一解
一解
一解
a＝b
无解
无解
一解
a无解
无解
a>bsin A
两解
a＝bsin A
一解
a无解
/
判断三角形的形状
/：已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由正弦定理得：acos B＝bcos A?sin Acos B＝sin Bcos A?sin（A－B）＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．
答案：A
互动探究：
变条件：若把本例条件变为“bsin B＝csin C”，试判断△ABC的形状．
解：由bsin B＝csin C可得sin2B＝sin2C，因为三角形内角和为180°，
所以sin B＝sin C．所以B＝C．故△ABC为等腰三角形．
判断三角形形状的两种途径
/
注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
三、课堂总结
1．正弦定理
条件
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
结论
＝＝
文字
叙述
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
■名师点拨
对正弦定理的理解
（1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
（2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
（3）揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．
2．正弦定理的变形
若R为△ABC外接圆的半径，则
（1）a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
（2）sin A＝，sin B＝，sin C＝；
（3）sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
（4）＝2R．
四、课堂检测
1．（2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝（ ）
A． B．
C． D．
解析：选B．由正弦定理，得＝，即＝，解得sin C＝．因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝＝．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（ ）
A．1∶2∶3 B．3∶2∶1
C．2∶∶1 D．1∶∶2
解析：选D．在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶∶2．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－acos B＝（2a－b）cos A，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析：选D．已知c－acos B＝（2a－b）cos A，由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，所以sin（A＋B）－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，化简得cos A（sin B－sin A）＝0，所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
【第四课时】
教学重难点
教学目标
核心素养
测量中的术语
理解测量中的基线等有关名词、术语的确切含义
直观想象
测量距离、高度、角度问题
会利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度等问题
数学建模
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．什么是基线？
2．基线的长度与测量的精确度有什么关系？
3．利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？
二、新知探究
/
测量距离问题
/：海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距离是________．
解析：如图，在△ABC中，∠C＝180°－（∠B＋∠A）＝45°，
由正弦定理，可得＝，
所以BC＝×10＝5（海里）．
答案：5海里
/
变条件：在本例中，若“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B岛与C岛间的距离呢？
解：由已知在△ABC中，AB＝10，AC＝20，∠BAC＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°＝102＋202－2×10×20×＝300．故BC＝10．
即B，C间的距离为10海里．
测量距离问题的解题思路
求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．
/
测量高度问题
/：如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m．
解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°．
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300 m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100（m）．
答案：100
互动探究：
变问法：在本例条件下，汽车在沿直线AB方向行驶的过程中，若测得观察山顶D点的最大仰角为α，求tan α的值．
解：如图，过点C，作CE⊥AB，垂足为E，则∠DEC＝α，由例题可知，
∠CBE＝75°，BC＝300，
所以CE＝BC·sin∠CBE
＝300sin 75°
＝300×
＝150＋150．
所以tan α＝＝＝．
测量高度问题的解题思路
高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．
/
测量角度问题
/：岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时10海里的速度前往拦截．
（1）问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？
（2）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．
解：（1）根据题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10，
所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°，
在△ABC中，由＝，
得AB＝＝＝＝5．
所以海监船接到通知时，在距离岛A 5 海里处．
（2）设海监船航行时间为t小时，则BD＝10t，CD＝10t，
又因为∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°，
所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos 120°，
所以300t2＝100＋100t2－2×10×10t·，
所以2t2－t－1＝0，
解得t＝1或t＝－（舍去）．
所以CD＝10，所以BC＝CD，
所以∠CBD＝（180°－120°）＝30°，
所以∠ABD＝75°＋30°＝105°．
所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时．
（或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时）
测量角度问题的基本思路
（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离．
（2）根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解．
三、课堂总结
1．基线
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线
实际测量中的有关名称、术语
名称
定义
图示
仰角
在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
/
俯角
在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
/
方向角
从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°）
南偏西60°（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）
方位角
从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
/
四、课堂检测
1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的（ ）
A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北45°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南45°50′方向上
解析：选C．如图所示．
/
2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于（ ）
/
A．100米 B．50（＋1）米
C．100（＋1）米 D．200米
解析：选C．设AB＝x米，在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，
所以BC＝AB＝x．
在Rt△ABD中，∠D＝30°，则BD＝AB＝x．
因为BD－BC＝CD，所以x－x＝200，
解得x＝100（＋1）．故选C．
3．已知台风中心位于城市A东偏北α（α为锐角）度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2．5小时后到达距城市A西偏北β（β为锐角）度的200公里处，若cos α＝cos β，则v＝（ ）
A．60 B．80
C．100 D．125
解析：选C．画出图象如图所示，由余弦定理得（2．5v）2＝2002＋1502＋2×200×150cos（α＋β）①，由正弦定理得＝，所以sin α＝sin β．又cos α＝ cos β，sin2 α＋cos2 α＝1，解得sin β＝，故cos β＝，sin α＝，cos α＝，故cos（α＋β）＝－＝0，代入①解得v＝100．
/
4．某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以12海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．
解：设经过t小时在点C处刚好追上走私船，依题意：AC＝12t，BC＝12t，∠ABC＝120°，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以sin∠BAC＝，所以∠BAC＝30°，
所以AB＝BC＝8＝12t，解得t＝，航行的方向为北偏东75°．
即巡逻艇最少经过小时可追到走私船，沿北偏东75°的方向航行．
/
