复数的概念
【第一课时】
数系的扩充和复数的概念
教学重难点
教学目标
核心素养
复数的有关概念
了解数系的扩充过程，理解复数的概念
数学抽象
复数的分类
理解复数的分类
数学抽象
复数相等
掌握复数相等的充要条件及其应用
数学运算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？
2．复数分为哪两大类？
3．复数相等的条件是什么？
二、新知探究
探究点1：
复数的概念
下列命题：
①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±2；
④实数集是复数集的真子集．
其中正确的命题是（ ）
A．① B．②
C．③ D．④
解析：对于复数a＋bi（a，b∈R），当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则（a＋1）i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D．
答案：D
判断与复数有关的命题是否正确的方法
（1）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
（2）化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．
提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．
探究点2：
复数的分类
当实数m为何值时，复数z＝＋（m2－2m）i：（1）为实数？（2）为虚数？（3）为纯虚数？
解：（1）当即m＝2时，复数z是实数．
（2）当m2－2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
（3）当即m＝－3时，复数z是纯虚数．
解决复数分类问题的方法与步骤
（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部．
（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可．
（3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R），
①z为实数?b＝0；
②z为虚数?b≠0；
③z为纯虚数?a＝0且b≠0．
探究点3：
复数相等
（1）（2019·浙江杭州期末考试）若z1＝－3－4i，z2＝（n2－3m－1）＋（n2－m－6）i（m，n∈R），且z1＝z2，则m＋n＝（ ）
A．4或0 B．－4或0
C．2或0 D．－2或0
（2）若log2（x2－3x－2）＋ilog2（x2＋2x＋1）>1，则实数x的值是________．
解析：（1）由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0，故选A．
（2）因为log2（x2－3x－2）＋ilog2（x2＋2x＋1）>1，
所以即解得x＝－2．
【答案：（1）A
（2）－2
复数相等的充要条件
复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．
注意：在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d．若忽略前提条件，则结论不能成立．
三、课堂总结
1．复数的有关概念
（1）复数的定义
形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．
（2）复数集
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．
（3）复数的表示方法
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．
2．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．
3．复数的分类
（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）
（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
■名师点拨
复数bi（b∈R）不一定是纯虚数，只有当b≠0时，复数bi（b∈R）才是纯虚数．
四、课堂检测
1．若复数z＝ai2－bi（a，b∈R）是纯虚数，则一定有（ ）
A．b＝0 B．a＝0且b≠0
C．a＝0或b＝0 D．ab≠0
解析：选B．z＝ai2－bi＝－a－bi，由纯虚数的定义可得a＝0且b≠0．
2．若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，则实数m的值为（ ）
A．－1 B．2
C．1 D．－1或2
解析：选D．因为复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，
所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2．
3．若复数z＝（m＋1）＋（m2－9）i＜0，则实数m的值等于____________．
解析：因为z＜0，所以解得m＝－3．
答案：－3
4．已知＝（x2－2x－3）i（x∈R），则x＝________．
解析：因为x∈R，所以∈R，
由复数相等的条件得
解得x＝3．
答案：3
【第二课时】
复数的几何意义
教学重难点
教学目标
核心素养
复平面
了解复平面的概念
数学抽象
复数的几何意义
理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系
直观想象
复数的模
掌握复数的模的概念，会求复数的模
数学运算
共轭复数
掌握共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数
数学运算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．复平面是如何定义的？
2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？
3．复数z＝a＋bi的共轭复数是什么？
二、新知探究
探究点1：
复数与复平面内的点
已知复数z＝（a2－1）＋（2a－1）i，其中a∈R．当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值（或取值范围）．
（1）在实轴上；
（2）在第三象限．
解：（1）若z对应的点在实轴上，则有
2a－1＝0，解得a＝．
（2）若z对应的点在第三象限，则有
解得－1
故a的取值范围是．
互动探究：
变条件：本例中复数z不变，若点Z在抛物线y2＝4x上，求a的值．
解：若z对应的点（a2－1，2a－1）在抛物线y2＝4x上，则有（2a－1）2＝4（a2－1），即4a2－4a＋1＝4a2－4，解得a＝．
利用复数与点的对应解题的步骤
（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，是解决此类问题的根据．
（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解．
探究点2：
复数与复平面内的向量
在复平面内，复数i，1，4＋2i对应的点分别是A，B，C．求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数．
解：法一：由复数的几何意义得A（0，1），B（1，0），C（4，2），则AC的中点为，由平行四边形的性质知该点也是BD的中点，设D（x，y），则所以即点D的坐标为（3，3），所以点D对应的复数为3＋3i．
法二：由已知得＝（0，1），＝（1，0），＝（4，2），
所以＝（－1，1），＝（3，2），
所以＝＋＝（2，3），所以＝＋＝（3，3），
即点D对应的复数为3＋3i．
复数与平面向量的对应关系
（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
（2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
探究点3：
复数的模
（1）设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i且|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是（ ）
A．－11
C．a>1 D．a>0
（2）（2019·贵州遵义贵龙中学期中测试）已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z在复平面内对应点的集合是（ ）
A．1个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
解析：（1）由题意得<，即<（a∈R），所以－1（2）由题意知（|z|－3）（|z|＋1）＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1，
因为|z|≥0，所以|z|＝3，
所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆．
答案：（1）A
（2）A
求解复数的模的思路
解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解．
三、课堂总结
1．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的两种几何意义
（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点Z（a，b）．
（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R） 平面向量．
3．复数的模
复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为，则的模叫做复数z的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝．
4．共轭复数
（1）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．
（2）虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
（3）复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi．
■名师点拨
复数z＝a＋bi在复平面内对应的点为（a，b），复数＝a－bi在复平面内对应的点为（a，－b），所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x轴对称．
四、课堂检测
1．已知z＝（m＋3）＋（m－1）i（m∈R）在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－3，1） B．（－1，3）
C．（1，＋∞） D．（－∞，－3）
解析：选A．由题意得解得－32．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（ ）
A．－2－i B．2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
解析：选D．由题意可知，点A的坐标为（－1，－2），则点B的坐标为（－1，2），故向量对应的复数为－1＋2i．
3．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是____________．
解析：依题意，可知z＝a＋i（a∈R），则|z|2＝a2＋1．因为0＜a＜2，所以a2＋1∈（1，5），即|z|∈（1，）．
答案：（1，）
4．若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝________，b＝________．
解析：因为z1与z2互为共轭复数，
所以a＝2，b＝4．
答案：2 4
复数的四则运算
【第一课时】
复数的加、减运算及其几何意义
教学重难点
教学目标
核心素养
复数加法、减法的运算
掌握复数代数形式的加法、减法运算法则
数学运算
复数加法的几何意义
理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义
直观想象
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？
2．复数的加、减法的几何意义是什么？
二、新知探究
探究点1：
复数的加、减法运算
（1）计算：（5－6i）＋（－2－i）－（3＋4i）；
（2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2．
解：（1）原式＝（5－2－3）＋（－6－1－4）i＝－11i．
（2）因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，
所以（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i，
所以所以所以z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i．
解决复数加、减运算的思路
两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）．
探究点2：
复数加、减法的几何意义
已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i．
（1）求表示的复数；
（2）求表示的复数．
解：（1）因为＝－，
所以表示的复数为－（3＋2i），即－3－2i．
（2）因为＝－，
所以表示的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i．
互动探究：
1．变问法：若本例条件不变，试求点B所对应的复数．
解：因为＝＋，所以表示的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i．所以点B所对应的复数为1＋6i．
2．变问法：若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数．
解：由题意知，点M为OB的中点，
则＝，由互动探究1中知点B的坐标为（1，6），得点M的坐标为，所以点M对应的复数为＋3i．
复数加、减法几何意义的应用技巧
（1）复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．
（2）复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．
三、课堂总结
1．复数加、减法的运算法则及加法运算律
（1）加、减法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，则z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i，z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i．
（2）加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．
②结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）．
2．复数加、减法的几何意义
如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）对应的向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是．
四、课堂检测
1．（6－3i）－（3i＋1）＋（2－2i）的结果为（ ）
A．5－3i B．3＋5i
C．7－8i D．7－2i
解析：选C．（6－3i）－（3i＋1）＋（2－2i）＝（6－1＋2）＋（－3－3－2）i＝7－8i．
2．已知复数z1＝（a2－2）－3ai，z2＝a＋（a2＋2）i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为____________．
解析：由z1＋z2＝a2－2＋a＋（a2－3a＋2）i是纯虚数，得?a＝－2．
答案：－2
3．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i．
（1）求z1－z2；
（2）在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量．
解：（1）由复数减法的运算法则得z1－z2＝（－2＋i）－（－1＋2i）＝－1－i．
（2）在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，如图中．
【第二课时】
复数的乘、除运算
教学重难点
教学目标
核心素养
复数的乘除运算
掌握复数乘除运算的运算法则，能够进行复数的乘除运算
数学运算
复数乘法的运算律
理解复数乘法的运算律
逻辑推理
解方程
会在复数范围内解方程
数学运算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？
2．复数乘法的运算律有哪些？
3．如何在复数范围内求方程的解？
二、新知探究
探究点1：
复数的乘法运算
（1）（1－i）（1＋i）＝（ ）
A．1＋i B．－1＋i
C．＋i D．－＋i
（2）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则（a＋bi）2＝（ ）
A．5－4i B．5＋4i
C．3－4i D．3＋4i
（3）把复数z的共轭复数记作，已知（1＋2i） ＝4＋3i，求z．
解：（1）选B．（1－i）（1＋i）
＝（1－i）（1＋i）
＝（1－i2）
＝2＝－1＋i．
（2）选D．因为a－i与2＋bi互为共轭复数，
所以a＝2，b＝1，所以（a＋bi）2＝（2＋i）2＝3＋4i．
（3）设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，
由已知得，（1＋2i）（a－bi）＝（a＋2b）＋（2a－b）i＝4＋3i，由复数相等的条件知，解得a＝2，b＝1，
所以z＝2＋i．
复数乘法运算法则的应用
复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如（a＋bi）2＝a2＋2abi＋b2i2＝a2－b2＋2abi，（a＋bi）3＝a3＋3a2bi＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3ab2＋（3a2b－b3）i．
探究点2：
复数的除法运算
计算：
（1）；
（2）．
解：（1）＝
＝＝＝＋i．
（2）＝＝
＝＝＝＝1－i．
复数除法运算法则的应用
复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．
探究点3：
i的运算性质
（1）复数z＝，则ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为（ ）
A．1 B．－1
C．i D．－i
（2）等于________．
解析：（1）z2＝＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1．
（2）＝＝＝i2 019＝（i4）504·i3＝1504·（－i）＝－i．
答案：（1）B
（2）－i
（1）i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0（n∈N*）．
（2）记住以下结果，可提高运算速度．
①（1＋i）2＝2i，（1－i）2＝－2i．
②＝－i，＝i．
③＝－i．
探究点4：
在复数范围内解方程
在复数范围内解下列方程．
（1）x2＋5＝0；
（2）x2＋4x＋6＝0．
解：（1）因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，
又因为（i）2＝（－i）2＝－5，
所以x＝±i，
所以方程x2＋5＝0的根为±i．
（2）法一：因为x2＋4x＋6＝0，
所以（x＋2）2＝－2，
因为（i）2＝（－i）2＝－2，
所以x＋2＝i或x＋2＝－i，
即x＝－2＋i或x＝－2－i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i．
法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi（a，b∈R且b≠0），
则（a＋bi）2＋4（a＋bi）＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得（a2－b2＋4a＋6）＋（2ab＋4b）i＝0，
所以
又因为b≠0，
所以
解得a＝－2，b＝±．
所以x＝－2±i，
即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i．
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求解方法
（1）求根公式法
①当Δ≥0时，x＝．
②当Δ<0时，x＝．
（2）利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni（m，n∈R），将此代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解．
三、课堂总结
1．复数乘法的运算法则和运算律
（1）复数乘法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），
则z1·z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i．
（2）复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
（z1z2）z3＝z1（z2z3）
乘法对加法的分配律
z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3
2．复数除法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（c＋di≠0）（a，b，c，d∈R），
则＝＝＋i（c＋di≠0）．
■名师点拨
对复数除法的两点说明
（1）实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
（2）代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．
四、课堂检测
1．若复数（1＋bi）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（ ）
A．－2 B．－
C． D．2
解析：选D．因为（1＋bi）（2＋i）＝2－b＋（2b＋1）i是纯虚数，所以b＝2．
2．已知i为虚数单位，则复数的模等于（ ）
A． B．
C． D．
解析：选D．因为＝＝＝－＋i，
所以||＝|－＋i|＝＝，故选D．
3．计算：（1）＋；
（2）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）．
解：（1）＋
＝＋＝i（1＋i）＋
＝－1＋i＋（－i）1 009＝－1＋i－i＝－1．
（2）原式＝（4－i）（6－2i）＋（7－i）（4－3i）
＝22－14i＋25－25i＝47－39i．
复数的三角表示
【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
复数的三角形式
了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系
数学抽象
复数三角形式乘、除运算的
三角表示及其几何意义
了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
数学抽象、数学运算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．复数z＝a＋bi的三角形式是什么？
2．复数的辐角、辐角的主值是什么？
3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？
4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？
二、基础知识
1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
■名师点拨
（1）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．
（2）复数0的辐角是任意的．
（3）在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，且0≤argz＜2π.
（4）两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
2．复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，则
（1）z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)
＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
（2）＝
＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
三、合作探究
1．复数的代数形式与三角形式的互化
角度一 代数形式化为三角形式
把下列复数的代数形式化成三角形式：
（1）＋i；
（2）－i.
【解】（1）r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限，
所以cos θ＝，即θ＝，
所以＋i＝2.
（2）r＝＝2，cos θ＝，
又因为－i对应的点位于第四象限，
所以θ＝.
所以－i＝2.
复数的代数形式化三角形式的步骤
（1）先求复数的模．
（2）决定辐角所在的象限．
（3）根据象限求出辐角．
（4）求出复数的三角形式．
[提醒]一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．
角度二 三角形式化为代数形式
分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．
（1）4；
（2）(cos 60°＋isin 60°)；
（3）2.
【解】（1）复数4的模r＝4，辐角的主值为θ＝.
4＝4cos ＋4isin
＝4×＋4×i
＝2＋2i.
（2）(cos 60°＋isin 60°)的模r＝，辐角的主值为θ＝60°.
(cos 60°＋isin 60°)＝×＋×i
＝＋i.
（3）2
＝2
＝2.
所以复数的模r＝2，辐角的主值为π.
2＝2cos π＋2isin π
＝2×＋2×i
＝1－i.
复数的三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例（3）．
2．复数三角形式的乘、除运算
计算：
（1）8×4；
（2）(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]；
（3）4÷.
【解】（1）8×4
＝32
＝32
＝32
＝32
＝16＋16i.
（2）(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]
＝[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]
＝(cos 75°＋isin 75°)
＝
＝＋i
＝＋i.
（3）4÷
＝4(cos 0＋isin 0)÷
＝4
＝2－2i.
（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．
（2）除法法则：模相除，辐角相减．
（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角的n倍．
3．复数三角形式乘、除运算的几何意义
在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．
【解】因为3－i＝2
＝2
所以2×
＝2
＝2
＝2
＝3＋i，
2×
＝2
＝2
＝－2i.
故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i.
两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2．
四、课堂检测
1．复数1－i的辐角的主值是( )
A．π B．π
C．π D．
解析：选A．因为1－i＝2＝2，所以1－i辐角的主值为π.
2．复数9(cos π＋isin π)的模是________．
答案：9
3．arg(－2i)＝________．
答案：π
4．计算：
（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；
（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷.
解：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)
＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°)
＝cos 90°＋isin 90°
＝i.
（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷
＝2÷
＝
＝
＝－＋i.
