随机事件与概率
【第一课时】
【教学目标】
1．理解随机试验的概念及特点
2．理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间
3．理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，并会判断某一事件的性质
4．理解事件5种关系并会判断
【教学重难点】
1．随机试验
2．样本空间
3．随机事件
4．事件的关系和运算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．随机试验的概念是什么？它有哪些特点？
2．样本点和样本空间的概念是什么？
3．事件的分类有哪些？
4．事件的关系有哪些？
二、基础知识
1．随机试验
（1）定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．
（2）特点：①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本点和样本空间
（1）定义：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间．
（2）表示：一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
3．事件的分类
（1）随机事件：①我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．
②随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．
③在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．
（2）必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．
（3）不可能事件：空集?不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称?为不可能事件．
名师点拨
必然事件和不可能事件不具有随机性，它是随机事件的两个极端情况．
4．事件的关系或运算的含义及符号表示
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A发生导致B发生
A?B
并事件（和事件）
A与B至少一个发生
A∪B或A＋B
交事件（积事件）
A与B同时发生
A∩B或AB
互斥（互不相容）
A与B不能同时发生
A∩B＝?
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B＝?，A∪B＝Ω
名师点拨
（1）如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A 且A?B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B.
（2）类似地，可以定义多个事件的和事件以及积事件．例如，对于三个事件A，B，C，A∪B∪C（或A＋B＋C）发生当且仅当A，B，C中至少一个发生，A∩B∩C（或ABC）发生当且仅当A，B，C同时发生．
三、合作探究
/
事件类型的判断
例1：指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
（1）中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．
（2）出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．
（3）若x∈R，则x2＋1≥1.
（4）抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.
【解】由题意知（1）（2）中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；（3）中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以（4）中事件不可能发生，是不可能事件．
[规律方法]
判断事件类型的思路
要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
/
样本点与样本空间
例2：同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为（x，y）．
/
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）求这个试验的样本点的总数；
（3）“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？
（4）“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
【解】（1）Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}．
（2）样本点的总数为16.
（3）“x＋y＝5”包含以下4个样本点：（1，4），（2，3），（3，2），（1，4）；“x<3且y>1”包含以下6个样本点：（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4）．
（4）“xy＝4”包含以下3个样本点：（1，4），（2，2），（4，1）；“x＝y”包含以下4个样本点：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）．
[规律方法]
确定样本空间的方法
（1）必须明确事件发生的条件；
（2）根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
/
事件的运算
例3：盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
求：（1）事件D与A、B是什么样的运算关系？
（2）事件C与A的交事件是什么事件？
【解】（1）对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B.
（2）对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
/
[变条件、变问法]在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与A、B、E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
解：由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故A?C，B?C，E?C，所以C＝A∪B∪C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.
[规律方法]
（1）利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
（2）利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
/
互斥事件与对立事件的判定
例4：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
（1）恰有1名男生与恰有2名男生；
（2）至少有1名男生与全是男生；
（3）至少有1名男生与全是女生；
（4）至少有1名男生与至少有1名女生．
【解】判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．
（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
（2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
[规律方法]
（1）包含关系、相等关系的判定
①事件的包含关系与集合的包含关系相似；
②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．
（2）判断事件是否互斥的两个步骤
第一步，确定每个事件包含的结果；
第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．
（3）判断事件是否对立的两个步骤
第一步，判断是互斥事件；
第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．
【课堂检测】
1．下列事件：
①如果a>b，那么a－b>0；
②任取一实数a（a>0且a≠1），函数y＝logax是增函数；
③某人射击一次，命中靶心；
④从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球．
其中是随机事件的为（ ）
A．①② B．③④
C．①④ D．②③
解析：选D.①是必然事件；②中a>1时，y＝logax单调递增，0
2．（2019·四川省攀枝花市教学质量监测）从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（ ）
A．3件都是正品 B．3件都是次品
C．至少有1件次品 D．至少有1件正品
解析：选D.从10件正品， 2件次品，从中任意抽取3件，
A：3件都是正品是随机事件，
B：3件都是次品不可能事件，
C：至少有1件次品是随机事件，
D：因为只有2件次品，所以从中任意抽取3件必然会抽到正品，即至少有1件是正品是必然事件．故选D.
3．（2019·广西钦州市期末考试）抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则A的对立事件是（ ）
A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品
C．至少抽到2件正品 D．至多抽到1件次品
解析：选D.因为“至少抽到2件次品”就是说抽查10件产品中次品的数目至少有2个，所以A的对立事件是抽查10件产品中次品的数目最多有1个．故选D.
4．写出下列试验的样本空间：
（1）甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果（包括平局）________；
（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
解析：（1）对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；
（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0，1，2，3，4，不可能再有其他结果．
答案：（1）Ω＝{胜，平，负}（2）Ω＝{0，1，2，3，4}
【第二课时】
【教学目标】
1．了解基本事件的特点
2．理解古典概型的定义
3．会应用古典概型的概率公式解决实际问题
【教学重难点】
1．基本事件
2．古典概型的定义
3．古典概型的概率公式
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．古典概型的定义是什么？
2．古典概型有哪些特征？
3．古典概型的计算公式是什么？
二、基础知识
1．古典概型
具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
名师点拨
古典概型的判断
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．
下列三类试验都不是古典概型：
①样本点个数有限，但非等可能．
②样本点个数无限，但等可能．
③样本点个数无限，也不等可能．
2．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
P（A）＝＝.
其中，n（A）和n（Ω）分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
三、合作探究
/
样本点的列举
例1：一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．
（1）共有多少个样本点？
（2）“2个都是白球”包含几个样本点？
【解】（1）法一：采用列举法．
分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，则样本点如下：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10个（其中（1，2）表示摸到1号，2号球）．
法二：采用列表法．
设5个球的编号分别为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：
a
b
c
d
e
a
（a，b）
（a，c）
（a，d）
（a，e）
b
（b，a）
（b，c）
（b，d）
（b，e）
c
（c，a）
（c，b）
（c，d）
（c，e）
d
（d，a）
（d，b）
（d，c）
（d，e）
e
（e，a）
（e，b）
（e，c）
（e，d）
由于每次取2个球，每次所取2个球不相同，而摸到（b，a）与（a，b）是相同的事件，故共有10个样本点．
（2）法一中“2个都是白球”包括（1，2），（1，3），（2，3），共3个样本点，法二中“2个都是白球”包括（a，b），（b，c），（a，c），共3个样本点．
[规律方法]
样本点的三种列举方法
（1）直接列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．
（2）列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点数．列表法适用于较简单的试验的题目，样本点较多的试验不适合用列表法．
（3）树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．
/
古典概型的概率计算
例2：（1）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）
A. B.
C. D.
（2）（2018·高考江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．
【解析】（1）从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），（黄，蓝），（黄，绿），（黄，紫），（蓝，绿），（蓝，紫），（绿，紫）．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），共4种，故所求概率P＝＝.
（2）记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab，ac，bc，共3种情况，故所求概率为.
【答案】（1）C（2）
[规律方法]
求古典概型概率的步骤
（1）判断是否为古典概型．
（2）算出样本点的总数n.
（3）算出事件A中包含的样本点个数m.
（4）算出事件A的概率，即P（A）＝.
在运用公式计算时，关键在于求出m，n.在求n时，应注意这n种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．
/
数学建模——古典概型的实际应用
例3：已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
【解】（1）由已知，甲，乙，丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（2）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（A，G），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（B，G），（C，D），（C，E），（C，F），（C，G），（D，E），（D，F），（D，G），（E，F），（E，G），（F，G），共21种．
（ii）由（1）设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为（A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（F，G），共5种．所以事件M发生的概率P（M）＝.
[规律方法]
如何建立概率模型（古典概型）
（1）在建立概率模型（古典概型）时，把什么看作一个样本点（即一个试验结果）是人为规定的．我们只要求每次试验有且只有一个样本点出现．对于同一个随机试验，可以根据需要（建立概率模型的主观原因）建立满足我们要求的概率模型．
（2）注意验证是否满足古典概型的两个特性，即①样本点的有限性；②每个样本点发生的可能性相等．
（3）求解时将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题．
【课堂检测】
1．下列是古典概型的是（ ）
①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小．
②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率．
③近三天中有一天降雨的概率．
④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
A．①②③④ B．①②④
C．②③④ D．①③④
解析：选B.①②④为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而③不适合等可能性，故不为古典概型．
2．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各个小组的可能性相同），则两人参加同一个学习小组的概率为（ ）
A. B. C. D.
解析：选A.甲乙两人参加学习小组，若以（A，B）表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则一共有如下情形：（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），共有9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得P＝.
3．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为（ ）
A.B. C. D.
解析：选C.从五个人中选取三人有10种不同结果：（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为.
4．在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．
解析：可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数的2倍的有1，2；2，1；2，4；4，2共4种，故所求的概率为＝.
答案：
5．一只口袋装有形状大小都相同的6只小球，其中2只白球，2只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，试求：
（1）2只球都是红球的概率；
（2）2只球同色的概率；
（3）“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的几倍？
解：记两只白球分别为a1，a2；两只红球分别为b1，b2；两只黄球分别为c1，c2.
从中随机取2只球的所有结果为（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，c1），（a1，c2），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c1），（a2，c2），（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b2，c1），（b2，c2），（c1，c2）共15种结果．
（1）2只球都是红球为（b1，b2）共1种，
故2只球都是红球的概率P＝.
（2）2只球同色的有：（a1，a2），（b1，b2），（c1，c2），共3种，
故2只球同色的概率P＝＝.
（3）恰有一只是白球的有：（a1，b1），（a1，b2），（a1，c1），（a1，c2），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c1），（a2，c2），共8种，其概率P＝；
2只球都是白球的有：（a1，a2），1种，故概率P＝，
所以“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的8倍．
【第三课时】
【教学目标】
1．理解并识记概率的性质
2．会用互斥事件、对立事件的概率求解实际问题
【教学重难点】
1．概率的性质
2．概率性质的应用
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．概率的性质有哪些？
2．如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）与P（A），P（B）有什么关系？
3．如果事件A与事件B为对立事件，则P（A）与P（B）有什么关系？
二、基础知识
概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有P（A）≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）＝1，P（?）＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝P（A） ＋P（B）；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝1－P（A），P（A）＝1－P（B）；
性质5：如果A?B，那么P（A）≤P（B），由该性质可得，对于任意事件A，因为??A?Ω，所以0≤P（A）≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有
P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）．
三、合作探究
/
互斥事件与对立事件概率公式的应用
例1：一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）至少射中7环的概率．
【解】设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P（A）＝0.24，P（B）＝0.28，P（C）＝0.19，P（D）＝0.16，P（E）＝0.13.
（1）P（射中10环或9环）＝P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.
（2）事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则P（至少射中7环）＝1－P（E）＝1－0.13＝0.87.
所以至少射中7环的概率为0.87.
/
[变问法]在本例条件下，求射中环数小于8环的概率．
解：事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件，则P（射中环数小于8环）＝P（D∪E）＝P（D）＋P（E）＝0.16＋0.13＝0.29.
[规律方法]
互斥事件、对立事件概率的求解方法
（1）互斥事件的概率的加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．
（2）对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．
（3）当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．
[注意]有限个彼此互斥事件的和的概率，等于这些事件的概率的和，即P（Ai）＝P（Ai）．
/
互斥、对立事件与古典概型的综合应用
例2：某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
/
（1）该队员只属于一支球队的概率；
（2）该队员最多属于两支球队的概率．
【解】分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由图知3支球队共有球员20名．
则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝.
（1）令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D.
则D＝A＋B＋C，因为事件A，B，C两两互斥，
所以P（D）＝P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）
＝＋＋＝.
（2）令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，则为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，所以P（E）＝1－P（）＝1－＝.
[规律方法]
求复杂事件的概率常见的两种方法
（1）将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；
（2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少…”或“至多…”型事件的概率．
【课堂检测】
1．若A与B为互斥事件，则（ ）
A．P（A）＋P（B）<1
B．P（A）＋P（B）>1
C．P（A）＋P（B）＝1
D．P（A）＋P（B）≤1
解析：选D.若A与B为互斥事件，则P（A）＋P（B）≤1.故选D.
2．甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（ ）
A. B.
C. D.
解析：选C.因为甲胜的概率就是乙不胜，故甲胜的概率为1－＝.故选C.
3．（2019·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学月考）从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200，300]内的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为________．
解析：设重量超过300克的概率为P，因为重量小于200克的概率为0.2, 重量在[200，300]内的概率为0.5，所以0.2＋0.5＋P＝1，所以P＝1－0.2－0.5＝0.3.
答案：0.3
4．一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率；
（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率．
解：记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；
A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，则P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝，P（A4）＝.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥．
法一：（1）由互斥事件概率公式，得取出1球为红球或黑球的概率为P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）＝＋＝.
（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为P（A1＋A2＋A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＝＋＋＝.
法二：（1）取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P（A1＋A2）＝1－P（A3＋A4）＝1－P（A3）－P（A4）＝1－－＝＝.
（2）A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以P（A1＋A2＋A3）＝1－P（A4）＝1－＝.
事件的相互独立性
【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
相互独立事件的概念
理解相互独立事件的概念及意义
数学抽象
相互独立事件同时发生的概念
能记住相互独立事件概率的乘法公式；
能综合运用互斥事件的概率加法公式
及独立事件的乘法公式解题
数学运算、数学建模
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．事件的相互独立性的定义是什么？
2．相互独立事件有哪些性质？
3．相互独立事件与互斥事件有什么区别？
二、基础知识
1．相互独立的概念
设A，B为两个事件，若P(AB)＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立．
2．相互独立的性质
若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
■名师点拨 （1）必然事件Ω，不可能事件?都与任意事件相互独立．
（2）事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P（A）·P（B）．
三、合作探究
1．相互独立事件的判断
/一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
（1）家庭中有两个小孩；
（2）家庭中有三个小孩．
【解】（1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P（A）＝，P（B）＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P（A）P（B），
所以事件A，B不相互独立．
（2）有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．
于是P（A）＝＝，P（B）＝＝，P(AB)＝，
显然有P(AB)＝＝P（A）P（B）成立．
从而事件A与B是相互独立的．
判断两个事件是否相互独立的两种方法
（1）根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；
（2）定义法：通过式子P(AB)＝P（A）P（B）来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断.
2．相互独立事件同时发生的概率
/王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率．
【解】 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件．
则P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，P（C）＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1．
（1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝
P()P（B）P（C）＋P（A）P()P（C）＋P（A）P（B）P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．
（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P()＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．
/
1．[变问法]在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．
解：恰有一列火车正点到达的概率为
P3＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝P（A）P()P()＋P()P（B）P()＋P()P()P（C）＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092．
2．[变条件]若一列火车正点到达记10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤20)．
解：事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P（A）P（B）P（C）
＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496．
与相互独立事件有关的概率问题的求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P（A），P（B），那么：
（1）A，B中至少有一个发生为事件A＋B．
（2）A，B都发生为事件AB．
（3）A，B都不发生为事件.
（4）A，B恰有一个发生为事件A＋ B．
（5）A，B中至多有一个发生为事件A＋B＋ .
它们之间的概率关系如表所示：
A，B互斥
A，B相互独立
P(A＋B)
P（A）＋P（B）
1－P()P()
P(AB)
0
P（A）P（B）
P(A B)
1－[P（A）＋P（B）]
P()P()
3．相互独立事件的综合应用
/本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．
（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（2）设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．
【解】（1）由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为，.
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P（A）＝×＋×＋×＝.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为.
（2）P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝6)＝×＋×＝.
概率问题中的数学思想
（1）正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P（A）＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．
（2）化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件)．
（3）方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．
四、课堂检测
1．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
/
A． B．
C． D．
解析：选A．左边圆盘指针落在奇数区域的概率为＝，右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×＝.
2．已知A，B是相互独立事件，且P（A）＝，P（B）＝，则P(A)＝________；P( )＝________．
解析：因为P（A）＝，P（B）＝.
所以P()＝，P()＝.
所以P(A )＝P（A）P()＝×＝，P( )＝P()P()＝×＝.
答案：
3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
（1）第3次拨号才接通电话；
（2）拨号不超过3次而接通电话．
解：设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1，2，3．
（1）第3次才接通电话可表示为 A3，
于是所求概率为P(A3)＝××＝.
（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为A1＋ A2＋A3，
于是所求概率为P(A1＋A2＋A3)
＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋×＋××＝.
频率与概率
教学重难点
教学目标
核心素养
频率与概率
在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的
稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别
数学抽象、数学运算
概率的意义解释实例
会用概率的意义解释生活中的实例
直观想象、数学建模
随机模拟
会用随机模拟的方法估计概率
数学建模
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．什么是频率的稳定性？
2．频率与概率之间有什么关系？
3．随机模拟的步骤是什么？
二、基础知识
频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn（A）会逐渐稳定于事件A发生的概率P（A）．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn（A）估计概率P（A）．
名师点拨
频率与概率的区别与联系
名称
区别
联系
频率
本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同
（1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率
（2）在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率
概率
是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变
三、合作探究
/
由频率估计随机事件的概率
例1：（1）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5，15.5） 2 ；[15.5，19.5） 4 ；[19.5，23.5） 9；
[23.5，27.5） 18 ；[27.5，31.5） 11 ；[31.5，35.5） 12；
[35.5，39.5） 7 ；[39.5，43.5] 3.
根据样本的频率分布，估计数据落在[31.5，43.5]内的概率约是（ ）
A. B.
C. D.
（2）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如表所示：
分组
[500，
900）
[900，
1 100）
[1 100，
1 300）
[1 300，
1 500）
[1 500，
1 700）
[1 700，
1 900）
[1 900，
＋∞）
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
①将各组的频率填入表中；
②根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
【解】（1）选B.由已知，样本容量为66，而落在[31.5，43.5]内的样本数为12＋7＋3＝22，故所求概率约为＝.
（2）①频率依次是0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042.
②样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中寿命不足1 500小时的频率是＝0.6.
即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.
[规律方法]
随机事件概率的理解及求法
（1）理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率．
（2）求法：通过公式fn（A）＝＝计算出频率，再由频率估算概率．
/
概率的含义
例2：某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？
【解】如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，有10%的病人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的可能性是10%，前9个病人是这样，第10个病人仍是这样，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%.
[规律方法]
对概率的正确理解
（1）概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例．
（2）任何事件的概率都是区间[0，1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性，概率越接近于1，表明事件发生的可能性就越大；反过来，概率越接近于0，表明事件发生的可能性就越小．
（3）小概率（概率接近于0）事件很少发生，但不代表一定不发生；大概率（概率接近于1）事件经常发生，但不代表一定发生．
（4）必然事件M的概率为1，即P（M）＝1；不可能事件N的概率为0，即P（N）＝0.
/
游戏的公平性
例3：某校高二年级（1）（2）班准备联合举办晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负责表演一个节目．（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
/
【解】该方案是公平的，理由如下：各种情况如表所示：
和
4
5
6
7
1
5
6
7
8
2
6
7
8
9
3
7
8
9
10
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以（1）班代表获胜的概率P1＝＝，（2）班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．
/
[变条件]在本例中，若把游戏规则改为自由转动两个转盘，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果积是偶数，那么（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．游戏规则公平吗？为什么？
解：不公平．因为出现奇数的概率为＝，而出现偶数的概率为＝.
[反思归纳]
游戏公平性的标准及判断方法
（1）游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．
（2）具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．
/
随机模拟法估计概率
例4：池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6.现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下40组四位随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692
8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935
9635 2379 1805 9890 0735 4640 6298 8054 9720 5695
1574 8008 3216 6470 5080 6772 1642 7920 3189 0343
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【解析】在40组四位随机数中，0～5的整数恰出现3次的四位数有16组，故四天中恰有三天下雨的概率的估计值为＝.
【答案】B
[规律方法]
应用随机数估计概率的步骤
（1）明确随机数的范围及数字与试验结果的对应关系．
（2）产生随机数．
（3）统计试验次数N及所求事件包含的次数n.
（4）计算便可．
【课堂检测】
1．抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（ ）
A．正面向上的概率为0.48
B．反面向上的概率是0.48
C．正面向上的频率为0.48
D．反面向上的频率是0.48
解析：选C.因为抛掷一枚硬币100次，即为100次试验，正面向上这一事件发生了48次，根据频率的定义可知，正面向上的频率为0.48.
2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10，20）
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70]
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10，40）上的频率为（ ）
A．0.35 B．0.45
C．0.55 D．0.65
解析：选B.在区间[10，40）的频数为2＋3＋4＝9，所以频率为＝0.45.
3．某地气象局预报说，明天本地降雨的概率为80%，则下列解释正确的是（ ）
A．明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨
B．明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨
C．明天本地降雨的机会是80%
D．以上说法均不正确
解析：选C.选项A，B显然不正确，因为80%是说降雨的概率，而不是说80%的区域降雨，更不是说有80%的时间降雨，是指降雨的机会是80%，故选C.
4．通过模拟试验，产生了20组随机数：
6830301370557430774044227884
2604334609526807970657745725
657659299768607191386754
如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，则表示恰有三次击中目标，则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为（ ）
A．25% B．30%
C．35% D．40%
解析：选A.表示三次击中目标分别是3013，2604，5725，6576，6754，共5组数，而随机数总共20组，所以所求的概率近似为＝25%.
5．玲玲和倩倩下跳棋，为了确定谁先走第一步，玲玲决定拿一个飞镖射向如图所示的靶中．若射中区域所标的数字大于3，则玲玲先走第一步，否则倩倩先走第一步．这个游戏规则________（填“公平”或“不公平”）．
/
解析：由已知得，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域只有3个，所以玲玲先走的概率是，倩倩先走的概率是，所以不公平．
答案：不公平
