复数的概念
【第一学时】
数系的扩充和复数的概念
学习重难点
学习目标
核心素养
复数的有关概念
了解数系的扩充过程，理解复数的概念
数学抽象
复数的分类
理解复数的分类
数学抽象
复数相等
掌握复数相等的充要条件及其应用
数学运算
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？
2．复数分为哪两大类？
3．复数相等的条件是什么？
二、合作探究
探究点1：
复数的概念
/下列命题：
①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±2；
④实数集是复数集的真子集．
其中正确的命题是（ ）
A．① B．②
C．③ D．④
解析：对于复数a＋bi（a，b∈R），当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则（a＋1）i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D.
答案：D
探究点2：
复数的分类
/当实数m为何值时，复数z＝＋（m2－2m）i：（1）为实数？（2）为虚数？（3）为纯虚数？
解：（1）当即m＝2时，复数z是实数．
（2）当m2－2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
（3）当即m＝－3时，复数z是纯虚数．
探究点3：
复数相等
/（1）（2019·浙江杭州期末考试）若z1＝－3－4i，z2＝（n2－3m－1）＋（n2－m－6）i（m，n∈R），且z1＝z2，则m＋n＝（ ）
A．4或0 B．－4或0
C．2或0 D．－2或0
（2）若log2（x2－3x－2）＋ilog2（x2＋2x＋1）>1，则实数x的值是________．
解析：（1）由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0，故选A.
（2）因为log2（x2－3x－2）＋ilog2（x2＋2x＋1）>1，
所以即解得x＝－2.
答案：（1）A
（2）－2
三、学习小结
1．复数的有关概念
（1）复数的定义
形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．
（2）复数集
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．
（3）复数的表示方法
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．
2．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．
3．复数的分类
（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）
（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
/
四、精炼反馈
1．若复数z＝ai2－bi（a，b∈R）是纯虚数，则一定有（ ）
A．b＝0 B．a＝0且b≠0
C．a＝0或b＝0 D．ab≠0
解析：选B.z＝ai2－bi＝－a－bi，由纯虚数的定义可得a＝0且b≠0.
2．若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，则实数m的值为（ ）
A．－1 B．2
C．1 D．－1或2
解析：选D.因为复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，
所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
3．若复数z＝（m＋1）＋（m2－9）i＜0，则实数m的值等于____________．
解析：因为z＜0，所以解得m＝－3.
答案：－3
4．已知＝（x2－2x－3）i（x∈R），则x＝________．
解析：因为x∈R，所以∈R，
由复数相等的条件得
解得x＝3．
答案：3
【第二学时】
复数的几何意义
学习重难点
学习目标
核心素养
复平面
了解复平面的概念
数学抽象
复数的几何意义
理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系
直观想象
复数的模
掌握复数的模的概念，会求复数的模
数学运算
共轭复数
掌握共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数
数学运算
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．复平面是如何定义的？
2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？
3．复数z＝a＋bi的共轭复数是什么？
二、合作探究
探究点1：
复数与复平面内的点
/已知复数z＝（a2－1）＋（2a－1）i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值（或取值范围）．
（1）在实轴上；
（2）在第三象限．
解：（1）若z对应的点在实轴上，则有
2a－1＝0，解得a＝.
（2）若z对应的点在第三象限，则有
解得－1
故a的取值范围是.
互动探究：
变条件：本例中复数z不变，若点Z在抛物线y2＝4x上，求a的值．
解：若z对应的点（a2－1，2a－1）在抛物线y2＝4x上，则有（2a－1）2＝4（a2－1），即4a2－4a＋1＝4a2－4，解得a＝．
探究点2：
复数与复平面内的向量
/在复平面内，复数i，1，4＋2i对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数．
解法一：由复数的几何意义得A（0，1），B（1，0），C（4，2），则AC的中点为，由平行四边形的性质知该点也是BD的中点，设D（x，y），则所以即点D的坐标为（3，3），所以点D对应的复数为3＋3i.
解法二：由已知得＝（0，1），＝（1，0），＝（4，2），
所以＝（－1，1），＝（3，2），
所以＝＋＝（2，3），所以＝＋＝（3，3），
即点D对应的复数为3＋3i．
探究点3：
复数的模
/（1）设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i且|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是（ ）
A．－11
C．a>1 D．a>0
（2）（2019·贵州遵义贵龙中学期中测试）已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z在复平面内对应点的集合是（ ）
A．1个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
解析：（1）由题意得<，即<（a∈R），所以－1（2）由题意知（|z|－3）（|z|＋1）＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1，
因为|z|≥0，所以|z|＝3，
所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆．
答案：（1）A
（2）A
三、学习小结
1．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的两种几何意义
（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点Z（a，b）．
（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R） 平面向量.
3．复数的模
复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为，则的模叫做复数z的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝．
4．共轭复数
（1）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．
（2）虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
（3）复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi．
四、精炼反馈
1．已知z＝（m＋3）＋（m－1）i（m∈R）在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－3，1） B．（－1，3）
C．（1，＋∞） D．（－∞，－3）
解析：选A.由题意得解得－32．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（ ）
A．－2－i B．2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
解析：选D.由题意可知，点A的坐标为（－1，－2），则点B的坐标为（－1，2），故向量对应的复数为－1＋2i.
3．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是____________．
解析：依题意，可知z＝a＋i（a∈R），则|z|2＝a2＋1.因为0＜a＜2，所以a2＋1∈（1，5），即|z|∈（1，）．
答案：（1，）
4．若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝________，b＝________．
解析：因为z1与z2互为共轭复数，
所以a＝2，b＝4.
答案：2 4
复数的四则运算
【第一课时】
复数的加、减运算及其几何意义
学习重难点
学习目标
核心素养
复数加法、减法的运算
掌握复数代数形式的加法、减法运算法则
数学运算
复数加法的几何意义
理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义
直观想象
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？
2．复数的加、减法的几何意义是什么？
二、合作探究
探究点1：
复数的加、减法运算
例1：（1）计算：（5－6i）＋（－2－i）－（3＋4i）；
（2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2．
解：（1）原式＝（5－2－3）＋（－6－1－4）i＝－11i．
（2）因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，
所以（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i，
所以所以所以z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i．
探究点2：
复数加、减法的几何意义
例2：已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i．
（1）求表示的复数；
（2）求表示的复数．
/
解：（1）因为＝－，
所以表示的复数为－（3＋2i），即－3－2i．
（2）因为＝－，
所以表示的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i．
互动探究：
1．变问法：若本例条件不变，试求点B所对应的复数．
解：因为＝＋，所以表示的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i．所以点B所对应的复数为1＋6i．
2．变问法：若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数．
解：由题意知，点M为OB的中点，
则＝，由互动探究1中知点B的坐标为（1，6），得点M的坐标为，所以点M对应的复数为＋3i．
三、学习小结
1．复数加、减法的运算法则及加法运算律
（1）加、减法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，则z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i，z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i．
（2）加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．
②结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）．
2．复数加、减法的几何意义
如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）对应的向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是．
/
四、精炼反馈
1．（6－3i）－（3i＋1）＋（2－2i）的结果为（ ）
A．5－3i B．3＋5i
C．7－8i D．7－2i
解析：选C．（6－3i）－（3i＋1）＋（2－2i）＝（6－1＋2）＋（－3－3－2）i＝7－8i．
2．已知复数z1＝（a2－2）－3ai，z2＝a＋（a2＋2）i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为____________．
解析：由z1＋z2＝a2－2＋a＋（a2－3a＋2）i是纯虚数，得?a＝－2．
答案：－2
3．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i．
（1）求z1－z2；
（2）在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量．
解：（1）由复数减法的运算法则得z1－z2＝（－2＋i）－（－1＋2i）＝－1－i．
（2）在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，如图中．
/
【第二课时】
复数的乘、除运算
学习重难点
学习目标
核心素养
复数的乘除运算
掌握复数乘除运算的运算法则，能够进行复数的乘除运算
数学运算
复数乘法的运算律
理解复数乘法的运算律
逻辑推理
解方程
会在复数范围内解方程
数学运算
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？
2．复数乘法的运算律有哪些？
3．如何在复数范围内求方程的解？
二、合作探究
探究点1：
复数的乘法运算
例1：（1）（1－i）（1＋i）＝（ ）
A．1＋i B．－1＋i
C．＋i D．－＋i
（2）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则（a＋bi）2＝（ ）
A．5－4i B．5＋4i
C．3－4i D．3＋4i
（3）把复数z的共轭复数记作，已知（1＋2i） ＝4＋3i，求z．
解：（1）选B．（1－i）（1＋i）
＝（1－i）（1＋i）
＝（1－i2）
＝2＝－1＋i．
（2）选D．因为a－i与2＋bi互为共轭复数，
所以a＝2，b＝1，所以（a＋bi）2＝（2＋i）2＝3＋4i．
（3）设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，
由已知得，（1＋2i）（a－bi）＝（a＋2b）＋（2a－b）i＝4＋3i，由复数相等的条件知，解得a＝2，b＝1，
所以z＝2＋i．
探究点2：
复数的除法运算
例2：计算：
（1）；
（2）．
解：（1）＝
＝＝＝＋i．
（2）＝＝
＝＝＝＝1－i．
探究点3：
i的运算性质
例3：（1）复数z＝，则ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为（ ）
A．1 B．－1
C．i D．－i
（2）等于________．
解析：（1）z2＝＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1．
（2）＝＝＝i2 019＝（i4）504·i3＝1504·（－i）＝－i．
答案：（1）B
（2）－i
探究点4：
在复数范围内解方程
例4：在复数范围内解下列方程．
（1）x2＋5＝0；
（2）x2＋4x＋6＝0．
解：（1）因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，
又因为（i）2＝（－i）2＝－5，
所以x＝±i，
所以方程x2＋5＝0的根为±i．
（2）法一：因为x2＋4x＋6＝0，
所以（x＋2）2＝－2，
因为（i）2＝（－i）2＝－2，
所以x＋2＝i或x＋2＝－i，
即x＝－2＋i或x＝－2－i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i．
法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi（a，b∈R且b≠0），
则（a＋bi）2＋4（a＋bi）＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得（a2－b2＋4a＋6）＋（2ab＋4b）i＝0，
所以
又因为b≠0，
所以
解得a＝－2，b＝±．
所以x＝－2±i，
即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i．
三、学习小结
1．复数乘法的运算法则和运算律
（1）复数乘法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），
则z1·z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i．
（2）复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
（z1z2）z3＝z1（z2z3）
乘法对加法的分配律
z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3
2．复数除法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（c＋di≠0）（a，b，c，d∈R），
则＝＝＋i（c＋di≠0）．
四、精炼反馈
1．若复数（1＋bi）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（ ）
A．－2 B．－
C． D．2
解析：选D．因为（1＋bi）（2＋i）＝2－b＋（2b＋1）i是纯虚数，所以b＝2．
2．已知i为虚数单位，则复数的模等于（ ）
A． B．
C． D．
解析：选D．因为＝＝＝－＋i，
所以||＝|－＋i|＝＝，故选D．
3．计算：（1）＋；
（2）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）．
解：（1）＋
＝＋＝i（1＋i）＋
＝－1＋i＋（－i）1 009＝－1＋i－i＝－1．
（2）原式＝（4－i）（6－2i）＋（7－i）（4－3i）
＝22－14i＋25－25i＝47－39i．
