随机事件与概率
【第一课时】
【学习目标】
1．理解随机试验的概念及特点
2．理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间
3．理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，并会判断某一事件的性质
4．理解事件5种关系并会判断
【学习重难点】
1．随机试验
2．样本空间
3．随机事件
4．事件的关系和运算
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．随机试验的概念是什么？它有哪些特点？
2．样本点和样本空间的概念是什么？
3．事件的分类有哪些？
4．事件的关系有哪些？
二、合作探究
/
事件类型的判断
例1：指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
（1）中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．
（2）出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．
（3）若x∈R，则x2＋1≥1.
（4）抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.
/
样本点与样本空间
例2：同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为（x，y）．
/
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）求这个试验的样本点的总数；
（3）“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？
（4）“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
/
事件的运算
例3：盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
求：（1）事件D与A、B是什么样的运算关系？
（2）事件C与A的交事件是什么事件？
/
[变条件、变问法]在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与A、B、E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
解：由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故A?C，B?C，E?C，所以C＝A∪B∪C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.
/
互斥事件与对立事件的判定
例4：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
（1）恰有1名男生与恰有2名男生；
（2）至少有1名男生与全是男生；
（3）至少有1名男生与全是女生；
（4）至少有1名男生与至少有1名女生．
【学习小结】
1．随机试验
（1）定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．
（2）特点：①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本点和样本空间
（1）定义：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间．
（2）表示：一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
3．事件的分类
（1）随机事件：①我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．
②随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．
③在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．
（2）必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．
（3）不可能事件：空集?不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称?为不可能事件．
4．事件的关系或运算的含义及符号表示
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A发生导致B发生
A?B
并事件（和事件）
A与B至少一个发生
A∪B或A＋B
交事件（积事件）
A与B同时发生
A∩B或AB
互斥（互不相容）
A与B不能同时发生
A∩B＝?
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B＝?，A∪B＝Ω
【精炼反馈】
1．下列事件：
①如果a>b，那么a－b>0；
②任取一实数a（a>0且a≠1），函数y＝logax是增函数；
③某人射击一次，命中靶心；
④从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球．
其中是随机事件的为（ ）
A．①② B．③④
C．①④ D．②③
2．（2019·四川省攀枝花市学习质量监测）从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（ ）
A．3件都是正品 B．3件都是次品
C．至少有1件次品 D．至少有1件正品
3．（2019·广西钦州市期末考试）抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则A的对立事件是（ ）
A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品
C．至少抽到2件正品 D．至多抽到1件次品
4．写出下列试验的样本空间：
（1）甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果（包括平局）________；
（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
【第二课时】
【学习目标】
1．了解基本事件的特点
2．理解古典概型的定义
3．会应用古典概型的概率公式解决实际问题
【学习重难点】
1．基本事件
2．古典概型的定义
3．古典概型的概率公式
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．古典概型的定义是什么？
2．古典概型有哪些特征？
3．古典概型的计算公式是什么？
二、合作探究
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样本点的列举
例1：一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．
（1）共有多少个样本点？
（2）“2个都是白球”包含几个样本点？
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古典概型的概率计算
例2：（1）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）
A. B.
C. D.
（2）（2018·高考江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．
/
数学建模——古典概型的实际应用
例3：已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
【学习小结】
1．古典概型
具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
2．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
P（A）＝＝.
其中，n（A）和n（Ω）分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
【精炼反馈】
1．下列是古典概型的是（ ）
①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小．
②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率．
③近三天中有一天降雨的概率．
④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
A．①②③④ B．①②④
C．②③④ D．①③④
2．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各个小组的可能性相同），则两人参加同一个学习小组的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
3．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
4．在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．
5．一只口袋装有形状大小都相同的6只小球，其中2只白球，2只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，试求：
（1）2只球都是红球的概率；
（2）2只球同色的概率；
（3）“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的几倍？
【第三课时】
【学习目标】
1．理解并识记概率的性质
2．会用互斥事件、对立事件的概率求解实际问题
【学习重难点】
1．概率的性质
2．概率性质的应用
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．概率的性质有哪些？
2．如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）与P（A），P（B）有什么关系？
3．如果事件A与事件B为对立事件，则P（A）与P（B）有什么关系？
二、合作探究
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互斥事件与对立事件概率公式的应用
例1：一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）至少射中7环的概率．
/
[变问法]在本例条件下，求射中环数小于8环的概率．
解：事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件，则P（射中环数小于8环）＝P（D∪E）＝P（D）＋P（E）＝0.16＋0.13＝0.29.
/
互斥、对立事件与古典概型的综合应用
例2：某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
/
（1）该队员只属于一支球队的概率；
（2）该队员最多属于两支球队的概率．
【学习小结】
概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有P（A）≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）＝1，P（?）＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝P（A） ＋P（B）；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝1－P（A），P（A）＝1－P（B）；
性质5：如果A?B，那么P（A）≤P（B），由该性质可得，对于任意事件A，因为??A?Ω，所以0≤P（A）≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有
P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）．
【精炼反馈】
1．若A与B为互斥事件，则（ ）
A．P（A）＋P（B）<1
B．P（A）＋P（B）>1
C．P（A）＋P（B）＝1
D．P（A）＋P（B）≤1
2．甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（ ）
A. B.
C. D.
3．（2019·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学月考）从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200，300]内的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为________．
4．一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率；
（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率．
【参考答案】
【第一学时】
二、合作探究
例1：【答案】由题意知（1）（2）中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；（3）中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以（4）中事件不可能发生，是不可能事件．
例2：【答案】（1）Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}．
（2）样本点的总数为16.
（3）“x＋y＝5”包含以下4个样本点：（1，4），（2，3），（3，2），（1，4）；“x<3且y>1”包含以下6个样本点：（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4）．
（4）“xy＝4”包含以下3个样本点：（1，4），（2，2），（4，1）；“x＝y”包含以下4个样本点：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）．
例3：【答案】（1）对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B.
（2）对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
例4：【答案】判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．
（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
（2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
【精炼反馈】
1．【答案】D
【解析】选D.①是必然事件；②中a>1时，y＝logax单调递增，0
2．【答案】D
【解析】选D.从10件正品， 2件次品，从中任意抽取3件，
A．3件都是正品是随机事件，
B．3件都是次品不可能事件，
C．至少有1件次品是随机事件，
D．因为只有2件次品，所以从中任意抽取3件必然会抽到正品，即至少有1件是正品是必然事件．故选D.
3．【答案】D
【解析】选D.因为“至少抽到2件次品”就是说抽查10件产品中次品的数目至少有2个，所以A的对立事件是抽查10件产品中次品的数目最多有1个．故选D.
4．【答案】（1）Ω＝{胜，平，负}
（2）Ω＝{0，1，2，3，4}
【解析】（1）对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；
（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0，1，2，3，4，不可能再有其他结果．
【第二学时】
二、合作探究
例1：【答案】（1）法一：采用列举法．
分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，则样本点如下：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10个（其中（1，2）表示摸到1号，2号球）．
法二：采用列表法．
设5个球的编号分别为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：
a
b
c
d
e
a
（a，b）
（a，c）
（a，d）
（a，e）
b
（b，a）
（b，c）
（b，d）
（b，e）
c
（c，a）
（c，b）
（c，d）
（c，e）
d
（d，a）
（d，b）
（d，c）
（d，e）
e
（e，a）
（e，b）
（e，c）
（e，d）
由于每次取2个球，每次所取2个球不相同，而摸到（b，a）与（a，b）是相同的事件，故共有10个样本点．
（2）法一中“2个都是白球”包括（1，2），（1，3），（2，3），共3个样本点，法二中“2个都是白球”包括（a，b），（b，c），（a，c），共3个样本点．
例2：【答案】（1）C
（2）
【解析】（1）从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），（黄，蓝），（黄，绿），（黄，紫），（蓝，绿），（蓝，紫），（绿，紫）．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），共4种，故所求概率P＝＝.
（2）记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab，ac，bc，共3种情况，故所求概率为.
例3：【答案】（1）由已知，甲，乙，丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（2）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（A，G），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（B，G），（C，D），（C，E），（C，F），（C，G），（D，E），（D，F），（D，G），（E，F），（E，G），（F，G），共21种．
（ii）由（1）设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为（A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（F，G），共5种．所以事件M发生的概率P（M）＝.
【精炼反馈】
1．【答案】B
【解析】选B.①②④为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而③不适合等可能性，故不为古典概型．
2．【答案】A
【解析】选A.甲乙两人参加学习小组，若以（A，B）表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则一共有如下情形：（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），共有9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得P＝.
3．【答案】C
【解析】选C.从五个人中选取三人有10种不同结果：（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为.
4．【答案】
【解析】可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数的2倍的有1，2；2，1；2，4；4，2共4种，故所求的概率为＝.
5．【答案】解：记两只白球分别为a1，a2；两只红球分别为b1，b2；两只黄球分别为c1，c2.
从中随机取2只球的所有结果为（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，c1），（a1，c2），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c1），（a2，c2），（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b2，c1），（b2，c2），（c1，c2）共15种结果．
（1）2只球都是红球为（b1，b2）共1种，
故2只球都是红球的概率P＝.
（2）2只球同色的有：（a1，a2），（b1，b2），（c1，c2），共3种，
故2只球同色的概率P＝＝.
（3）恰有一只是白球的有：（a1，b1），（a1，b2），（a1，c1），（a1，c2），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c1），（a2，c2），共8种，其概率P＝；
2只球都是白球的有：（a1，a2），1种，故概率P＝，
所以“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的8倍．
【第三学时】
二、合作探究
例1：【答案】解：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P（A）＝0.24，P（B）＝0.28，P（C）＝0.19，P（D）＝0.16，P（E）＝0.13.
（1）P（射中10环或9环）＝P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.
（2）事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则P（至少射中7环）＝1－P（E）＝1－0.13＝0.87.
所以至少射中7环的概率为0.87.
例2：【答案】解：分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由图知3支球队共有球员20名．
则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝.
（1）令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D.
则D＝A＋B＋C，因为事件A，B，C两两互斥，
所以P（D）＝P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）
＝＋＋＝.
（2）令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，则为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，所以P（E）＝1－P（）＝1－＝.
【精炼反馈】
1．【答案】D
【解析】选D.若A与B为互斥事件，则P（A）＋P（B）≤1.故选D.
2．【答案】C
解析：选C.因为甲胜的概率就是乙不胜，故甲胜的概率为1－＝.故选C.
3．【答案】0.3
【解析】设重量超过300克的概率为P，因为重量小于200克的概率为0.2, 重量在[200，300]内的概率为0.5，所以0.2＋0.5＋P＝1，所以P＝1－0.2－0.5＝0.3.
4．【答案】解：记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；
A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，则P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝，P（A4）＝.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥．
法一：（1）由互斥事件概率公式，得取出1球为红球或黑球的概率为P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）＝＋＝.
（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为P（A1＋A2＋A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＝＋＋＝.
法二：（1）取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P（A1＋A2）＝1－P（A3＋A4）＝1－P（A3）－P（A4）＝1－－＝＝.
（2）A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以P（A1＋A2＋A3）＝1－P（A4）＝1－＝.
事件的相互独立性
【学习重难点】
【学习目标】
【核心素养】
相互独立事件的概念
理解相互独立事件的概念及意义
数学抽象
相互独立事件同时发生的概念
能记住相互独立事件概率的乘法公式；
能综合运用互斥事件的概率加法公式
及独立事件的乘法公式解题
数学运算、数学建模
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．事件的相互独立性的定义是什么？
2．相互独立事件有哪些性质？
3．相互独立事件与互斥事件有什么区别？
二、合作探究
1．相互独立事件的判断
/一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
（1）家庭中有两个小孩；
（2）家庭中有三个小孩．
【解】（1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P（A）＝，P（B）＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P（A）P（B），
所以事件A，B不相互独立．
（2）有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．
于是P（A）＝＝，P（B）＝＝，P(AB)＝，
显然有P(AB)＝＝P（A）P（B）成立．
从而事件A与B是相互独立的．
/王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率．
【解】用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件．
则P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，P（C）＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1．
（1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝
P()P（B）P（C）＋P（A）P()P（C）＋P（A）P（B）P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．
（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P()＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．
/
（1）[变问法]在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．
解：恰有一列火车正点到达的概率为
P3＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝P（A）P()P()＋P()P（B）P()＋P()P()P（C）＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092．
（2）[变条件]若一列火车正点到达记10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤20)．
解：事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P（A）P（B）P（C）
＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496．
3．相互独立事件的综合应用
/本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．
（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（2）设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．
【解】（1）由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为，.
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P（A）＝×＋×＋×＝.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为.
（2）P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝6)＝×＋×＝.
【学习小结】
1．相互独立的概念
设A，B为两个事件，若P(AB)＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立．
2．相互独立的性质
若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
【精炼反馈】
1．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
/
A． B．
C． D．
解析：选A．左边圆盘指针落在奇数区域的概率为＝，右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×＝.
2．已知A，B是相互独立事件，且P（A）＝，P（B）＝，则P(A)＝________；P( )＝________．
解析：因为P（A）＝，P（B）＝.
所以P()＝，P()＝.
所以P(A )＝P（A）P()＝×＝，P( )＝P()P()＝×＝.
答案：
3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
（1）第3次拨号才接通电话；
（2）拨号不超过3次而接通电话．
解：设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1，2，3．
（1）第3次才接通电话可表示为 A3，
于是所求概率为P(A3)＝××＝.
（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为A1＋ A2＋A3，
于是所求概率为P(A1＋A2＋A3)
＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋×＋××＝.
