北师大版九年级数学下册 2．2．2二次函数y＝ax2及y＝ax2＋c的图象与性质 培优训练（含答案）

北师版九年级数学下册
2.2.2二次函数y＝ax2及y＝ax2＋c的图象与性质
培优训练

一、选择题（共10小题，3*10=30）
1．抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2共有的性质是( )
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．都有最低点 D．y随x的增大而减小
2. 对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( )
A．最小值为2
B．图象与y轴没有公共点
C．当x<0时，y随x的增大而减小　
D．其图象的对称轴是y轴
3．从y＝2x2的图象上可以看出，当－1≤x≤2时，y的取值范围是( )
A．2≤y≤8 B．－2≤y≤8
C．0≤y≤8 D．1≤y≤4
4．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是( )
A．直线x＝ B．直线x＝－1
C．y轴 D．直线x＝2
5．函数y＝－x2＋1的图象大致为( )

6．坐标平面上有一函数y＝24x2－48的图象，其顶点坐标为( )
A．(0，－2) B．(1，－24)
C．(0，－48) D．(2，48)
7．把抛物线y＝ax2＋c向上平移2个单位，得到抛物线y＝x2，则a，c的值分别为( )
A．1，2 B．1，－2
C．－1，2 D．－1，－2
8. 函数y＝ax2－a与y＝ax－a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )

9．已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是( )
A．若y1＝y2，则x1＝x2
B．若x1＝－x2，则y1＝－y2
C．若0y2
D．若x1y2
10．二次函数y＝－x2＋2的图象关于x轴对称的抛物线的表达式为( )
A．y＝－x2－2 B．y＝x2＋2
C．y＝x2－2 D．y＝－x2＋2
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．下列四个二次函数：①y＝x2；②y＝－2x2；③y＝x2；④y＝3x2.其中抛物线开口从大到小的排列顺序是__________.(填序号)
12. 抛物线y＝x2－1的开口方向______，有最______值，在对称轴的右侧y随x的增大而_______；
13. 将二次函数y＝2x2－2的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是______________.
14．已知函数y＝ax2＋c的图象与函数y＝－3x2－2的图象关于x轴对称，则a＝_____，c＝_____.
15. 若抛物线y＝ax2＋k与y＝－8x2的形状大小、开口方向都相同，且其顶点坐标是 (0，－6)，则其表达式为 ，它是由抛物线y＝－8x2向 平移 个单位长度得到的．
16．下列函数，①y＝－x2；②y＝－2x2；③y＝x2－1；④y＝x2＋2；⑤y＝－2x2＋3. 图象形状、开口大小、方向相同的是__________.（填序号）
17．写出顶点坐标为(0，－2)，开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反、大小相同的抛物线的表达式是 ____________ ．
18. 已知抛物线y＝x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等．如图，点M的坐标为(，3)，P是抛物线y＝x2＋1上一个动点，则△PMF周长的最小值是________.

三．解答题（共7小题， 46分）
19．(6分) 在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2，y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．







20．(6分) 分别求出符合下列条件的抛物线y＝ax2的表达式：
(1)经过点(－3，2)；
(2)与抛物线y＝x2开口大小相同，方向相反．






21．(6分) 抛物线y＝－x2＋(m－1)与y轴交于点(0，4)．
(1)求m的值，并画出此抛物线．
(2)求此抛物线与x轴的交点坐标．







22．(6分) 已知y＝(k－1)xk2－k－3是二次函数．
(1)当x<0时，y随x的增大而减少，求k的值；
(2)若y有最大值，求该函数的表达式．










23．(6分) 如图，抛物线y1＝－x2＋3与x轴交于A，B两点，与直线y2＝－x＋b交于B，C两点．求直线BC的函数表达式和点C的坐标；













24．(8分) 如图是一拱桥，已知主桥拱为抛物线型，在正常水位时测得主拱宽24 m，最高点离水面8 m，以水平线AB为x轴，AB的中点为原点建立坐标系．
(1)求此主桥拱所在抛物线的函数表达式；
(2)桥边有一渔船，高出水面4 m，最宽处为12 m，试探索此渔船在正常水位时能否开到桥下？说明理由．









25．(8分) 如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM，BM.
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断△ABM的形状，并说明理由．









参考答案
1-5BBCCB 6-10 CBCDC
11. ③①②④
12. 上，小，增大
13. y＝2x2＋1
14. 3，2
15. y＝－8x2－6 ，下，6
16．②⑤
17. y＝x2－2
18．5
19. 解：1. 列表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝x2 … 4 1 0 1 4 …
y＝x2＋1 … 5 2 1 2 5 …
y＝x2－1 … 3 0 -1 0 3 …
2. 描点、连线

20. 解：(1)∵y＝ax2过点(－3，2)，∴2＝a×(－3)2，∴a＝.
∴表达式为y＝x2　
(2)∵y＝ax2与抛物线y＝x2开口大小相同，方向相反，
∴a＝－.∴表达式为y＝－x2
21. 解：(1)将点(0，4)代入y＝－x2＋(m－1)，
得m－1＝4，解得m＝5.
∴此抛物线的解析式为y＝－x2＋4.
画出抛物线如图:

(2)当y＝0时，－x2＋4＝0，解得x1＝2，x2＝－2.
∴抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)，(－2，0)．
22. 解：(1)∵y＝(k－1)xk2－k－3是二次函数，
∴k2－k＝2，且k－1≠0，解得k1＝2，k2＝－1.
∵当x<0时，y随x的增大而减小，
∴函数图象开口向上，∴k－1>0，∴k＝2.
(2)若y有最大值，则函数图象开口向下，
∴k－1<0，∴k＝－1.
∴函数的表达式为y＝－2x2－3.
23. 解：由－x2＋3＝0，得x＝2或x＝－2，∴B(2，0)．
将B(2，0)的坐标代入y2＝－x＋b，得b＝.
∴直线BC的函数表达式为y＝－x＋.
由－x2＋3＝－x＋，得x＝2或x＝－1.
当x＝－1时，y2＝－×(－1)＋＝，∴C.
24. 解：(1)A(－12，0)，B(12，0)，C(0，8)．
设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋c.将C点坐标代入得c＝8.
将A点坐标代入得144a＋8＝0，解得a＝－.
∴所求抛物线的函数表达式为y＝－x2＋8　
(2)当y＝4时得＝4，∴x＝±6.
∴高出水面4 m处，拱宽12 m＝12 m(船宽)．
∴此渔船在正常水位时不能开到桥下
25. 解：(1)∵点A为直线y＝x＋1与x轴的交点，∴点A的坐标为(－1，0)．
又∵点B横坐标为2，代入y＝x＋1中可得y＝3，∴点B的坐标为(2，3)．
∵抛物线顶点在y轴上，∴可设抛物线解析式为y＝ax2＋c，
把A，B两点坐标代入可得解得
∴抛物线的解析式为y＝x2－1
(2)△ABM为直角三角形．
理由如下：由(1)可知抛物线的解析式为y＝x2－1，
∴点M的坐标为(0，－1)，∴AM＝＝，
AB＝＝，BM＝＝，
∴AM2＋AB2＝2＋18＝20＝BM2，∴△ABM为直角三角形