2019-2020学年数学北师大版必修二：第一章 平行关系的判定 学案
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年数学北师大版必修二：第一章 平行关系的判定 学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 421.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-08 20:09:13 | ||
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文档简介
§5 平行关系
5．1 平行关系的判定
学习目标 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．
知识点一 直线与平面平行的判定定理
思考 如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？
答案 平行．
梳理 判定定理
表示
定理
图形
文字
符号
直线与平面平行的判定定理
若平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行
?a∥α
知识点二 平面与平面平行的判定定理
思考1 三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
答案 不一定．
思考2 三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
答案 平行．
梳理 判定定理
表示
定理
图形
文字
符号
平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
?α∥β
1．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.( × )
2．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．( × )
3．若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．( × )
4．若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．( √ )
类型一 直线与平面平行的判定问题
命题角度1 以锥体为背景证明线面平行
例1 如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝.
求证：MN∥平面SBC.
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的证明
证明 连接AN并延长交BC于点P，连接SP.
因为AD∥BC，所以＝，
又因为＝，所以＝，所以MN∥SP，
又MN?平面SBC，SP(平面SBC，
所以MN∥平面SBC.
引申探究
本例中若M，N分别是SA，BD的中点，试证明MN∥平面SBC.
证明 连接AC，由平行四边形的性质可知，AC必过BD的中点N，在△SAC中，M，N分别为SA，AC的中点，所以MN∥SC，又因为SC(平面SBC，MN?平面SBC，所以MN∥平面SBC.
反思与感悟 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．
跟踪训练1 在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的证明
答案 平面ABD与平面ABC
解析 如图，取CD的中点E，连接AE，BE，MN.
则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，
所以MN∥AB.
又AB(平面ABD，MN?平面ABD，
所以MN∥平面ABD，
同理，AB(平面ABC，MN?平面ABC，
所以MN∥平面ABC.
命题角度2 以柱体为背景证明线面平行
例2 在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的证明
解 存在．证明如下：
如图，取线段AB的中点为M，
连接A1M，MC，A1C，AC1，
设O为A1C，AC1的交点．
由已知得，O为AC1的中点，
连接MD，OE，
则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，
所以MD∥AC且MD＝AC，OE∥AC且OE＝AC，
因此MD∥OE且MD＝OE.
连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，
则DE∥MO.
因为直线DE?平面A1MC，MO(平面A1MC，
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，
使直线DE∥平面A1MC.
反思与感悟 证明以柱体为背景包装的线面平行证明题时，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点时，常利用取中点去寻找平行线．
跟踪训练2 如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)求证：BC1∥平面AB1D1；
(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1.
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的证明
证明 (1)∵BC1?平面AB1D1，AD1(平面AB1D1，BC1∥AD1，∴BC1∥平面AB1D1.
(2)∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点，又∵点E为D1C的中点，∴EF∥AD1，∵EF?平面ADD1A1，AD1(平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1.
类型二 平面与平面平行的判定
例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的证明
证明 (1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
所以GH是△A1B1C1的中位线，
所以GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，
所以B，C，H，G四点共面．
(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，
所以EF∥BC.
因为EF?平面BCHG，BC(平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG.
因为A1G∥EB，A1G＝EB，
所以四边形A1EBG是平行四边形，
所以A1E∥GB.
因为A1E?平面BCHG，GB(平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.
因为A1E∩EF＝E，
所以平面EFA1∥平面BCHG.
反思与感悟 判定平面与平面平行的四种常用方法
(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．
(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
跟踪训练3 如图所示，已知A为平面BCD外一点，M，N，G分别是△ABC，△ABD，△BCD的重心．
求证：平面MNG∥平面ACD.
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的证明
证明 如图，设BM，BN，BG分别交AC，AD，CD于点P，F，H，连接PF，PH.
由三角形重心的性质，得＝＝＝2，
∴MG∥PH，又PH(平面ACD，MG?平面ACD，
∴MG∥平面ACD.
同理可证MN∥平面ACD，
又MN∩MG＝M，MN(平面MNG，MG(平面MNG，
∴平面MNG∥平面ACD.
1．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 D
解析 由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．
2．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面( )
A．有且只有一个 B．有无数多个
C．至多一个 D．不存在
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 A
解析 在直线a上任选一点A，过点A作b′∥b，则b′是唯一的，因为a∩b′＝A，所以a与b′确定一个平面并且只有一个平面．
3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的判定
答案 A
解析 如图，∵EG∥E1G1，EG?平面E1FG1，
E1G1(平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1.
又G1F∥H1E，
同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，H1E，EG(平面EGH1，
∴平面E1FG1∥EGH1.
4．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )
A．1个或2个
B．0个或1个
C．1个
D．0个
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的判定
答案 B
解析 ①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β，使β∥α.
②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面．故满足条件的平面有0个或1个．
5.如图，四棱锥P－ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，CD⊥AD，F，E分别是PA，AD的中点，求证：平面PCD∥平面FEB.
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的判定
证明 连接BD，在△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，E为AD的中点，
∴BE⊥AD，又CD⊥AD，
∴在四边形ABCD中，BE∥CD.
又CD?平面FEB，BE(平面FEB，∴CD∥平面FEB.
在△APD中，EF∥PD，
同理可得PD∥平面FEB.
又CD∩PD＝D，
∴平面PCD∥平面FEB.
1．直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化．
2．证明面面平行的一般思路：线线平行?线面平行?面面平行．
3．准确把握线面平行及面面平行两个判定定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键．
5．1 平行关系的判定
学习目标 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．
知识点一 直线与平面平行的判定定理
思考 如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？
答案 平行．
梳理 判定定理
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定理
图形
文字
符号
直线与平面平行的判定定理
若平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行
?a∥α
知识点二 平面与平面平行的判定定理
思考1 三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
答案 不一定．
思考2 三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
答案 平行．
梳理 判定定理
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定理
图形
文字
符号
平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
?α∥β
1．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.( × )
2．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．( × )
3．若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．( × )
4．若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．( √ )
类型一 直线与平面平行的判定问题
命题角度1 以锥体为背景证明线面平行
例1 如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝.
求证：MN∥平面SBC.
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的证明
证明 连接AN并延长交BC于点P，连接SP.
因为AD∥BC，所以＝，
又因为＝，所以＝，所以MN∥SP，
又MN?平面SBC，SP(平面SBC，
所以MN∥平面SBC.
引申探究
本例中若M，N分别是SA，BD的中点，试证明MN∥平面SBC.
证明 连接AC，由平行四边形的性质可知，AC必过BD的中点N，在△SAC中，M，N分别为SA，AC的中点，所以MN∥SC，又因为SC(平面SBC，MN?平面SBC，所以MN∥平面SBC.
反思与感悟 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．
跟踪训练1 在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的证明
答案 平面ABD与平面ABC
解析 如图，取CD的中点E，连接AE，BE，MN.
则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，
所以MN∥AB.
又AB(平面ABD，MN?平面ABD，
所以MN∥平面ABD，
同理，AB(平面ABC，MN?平面ABC，
所以MN∥平面ABC.
命题角度2 以柱体为背景证明线面平行
例2 在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的证明
解 存在．证明如下：
如图，取线段AB的中点为M，
连接A1M，MC，A1C，AC1，
设O为A1C，AC1的交点．
由已知得，O为AC1的中点，
连接MD，OE，
则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，
所以MD∥AC且MD＝AC，OE∥AC且OE＝AC，
因此MD∥OE且MD＝OE.
连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，
则DE∥MO.
因为直线DE?平面A1MC，MO(平面A1MC，
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，
使直线DE∥平面A1MC.
反思与感悟 证明以柱体为背景包装的线面平行证明题时，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点时，常利用取中点去寻找平行线．
跟踪训练2 如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)求证：BC1∥平面AB1D1；
(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1.
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的证明
证明 (1)∵BC1?平面AB1D1，AD1(平面AB1D1，BC1∥AD1，∴BC1∥平面AB1D1.
(2)∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点，又∵点E为D1C的中点，∴EF∥AD1，∵EF?平面ADD1A1，AD1(平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1.
类型二 平面与平面平行的判定
例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的证明
证明 (1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
所以GH是△A1B1C1的中位线，
所以GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，
所以B，C，H，G四点共面．
(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，
所以EF∥BC.
因为EF?平面BCHG，BC(平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG.
因为A1G∥EB，A1G＝EB，
所以四边形A1EBG是平行四边形，
所以A1E∥GB.
因为A1E?平面BCHG，GB(平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.
因为A1E∩EF＝E，
所以平面EFA1∥平面BCHG.
反思与感悟 判定平面与平面平行的四种常用方法
(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．
(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
跟踪训练3 如图所示，已知A为平面BCD外一点，M，N，G分别是△ABC，△ABD，△BCD的重心．
求证：平面MNG∥平面ACD.
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的证明
证明 如图，设BM，BN，BG分别交AC，AD，CD于点P，F，H，连接PF，PH.
由三角形重心的性质，得＝＝＝2，
∴MG∥PH，又PH(平面ACD，MG?平面ACD，
∴MG∥平面ACD.
同理可证MN∥平面ACD，
又MN∩MG＝M，MN(平面MNG，MG(平面MNG，
∴平面MNG∥平面ACD.
1．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 D
解析 由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．
2．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面( )
A．有且只有一个 B．有无数多个
C．至多一个 D．不存在
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 A
解析 在直线a上任选一点A，过点A作b′∥b，则b′是唯一的，因为a∩b′＝A，所以a与b′确定一个平面并且只有一个平面．
3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的判定
答案 A
解析 如图，∵EG∥E1G1，EG?平面E1FG1，
E1G1(平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1.
又G1F∥H1E，
同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，H1E，EG(平面EGH1，
∴平面E1FG1∥EGH1.
4．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )
A．1个或2个
B．0个或1个
C．1个
D．0个
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的判定
答案 B
解析 ①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β，使β∥α.
②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面．故满足条件的平面有0个或1个．
5.如图，四棱锥P－ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，CD⊥AD，F，E分别是PA，AD的中点，求证：平面PCD∥平面FEB.
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的判定
证明 连接BD，在△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，E为AD的中点，
∴BE⊥AD，又CD⊥AD，
∴在四边形ABCD中，BE∥CD.
又CD?平面FEB，BE(平面FEB，∴CD∥平面FEB.
在△APD中，EF∥PD，
同理可得PD∥平面FEB.
又CD∩PD＝D，
∴平面PCD∥平面FEB.
1．直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化．
2．证明面面平行的一般思路：线线平行?线面平行?面面平行．
3．准确把握线面平行及面面平行两个判定定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键．