2019-2020学年数学北师大版必修二：第一章 空间图形的公理(二) 课时对点练（word含解析版）

4.2　空间图形的公理(二)
一、选择题
1．如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是其所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是(　　)
2．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形(　　)
A．全等 B．不相似
C．仅有一个角相等 D．相似
3．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定(　　)
A．与a，b都相交
B．只能与a，b中的一条相交
C．至少与a，b中的一条相交
D．与a，b都平行
4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(　　)
A．空间四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
5.如图所示，已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，l(平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不正确的是(　　)
A．l与AD平行
B．l与AB异面
C．l与CD所成角为30°
D．l与BD垂直
6.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)
A．CC1与B1E是异面直线
B．C1C与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为60°
7．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
8．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c(　　)
A．一定平行 B．一定相交
C．一定是异面直线 D．平行、相交或异面都有可能
二、填空题
9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________．(填序号)
10．在空间四边形ABCD中，如图所示，＝，＝，则EH与FG的位置关系是________．
11．如果两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥所在的12条直线中，异面直线共有________对．
12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)AC与DD1所成的角为________；
(2)AC与D1C1所成的角为________．
三、解答题
13.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝AD，BE∥AF，BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)判断C，D，F，E四点是否共面？为什么？
四、探究与拓展
14.如图，在三棱锥D—ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
15.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．
答案
1．
考点　异面直线的判定
题点　异面直线的判定
答案　C
解析　选项A，B中RS与PQ平行；选项D中RS与PQ相交，故选C.
2．
考点　空间等角定理
题点　判断、证明角的关系
答案　D
解析　由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.
3．
考点　空间中直线与直线的位置关系
题点　空间中直线与直线的位置关系的判定
答案　C
解析　若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾，故选C.
4．
考点　平行公理
题点　判断、证明线线平行
答案　B
解析　如图，易证四边形EFGH为平行四边形．
又∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC.
又∵FG∥BD，
∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．
而AC与BD所成的角为90°，
∴∠EFG＝90°，
故四边形EFGH为矩形．
5.
考点　异面直线的判定
题点　异面直线的判定
答案　A
6.
考点　异面直线的判定
题点　异面直线的判定
答案　C
解析　由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．综上所述，故选C.
7．
考点　异面直线所成的角
题点　求异面直线所成的角
答案　C
解析　如图，连接BC1，A1C1.
∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．
在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，
∴∠A1BC1＝60°.
故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.
8．
考点　空间中直线与直线的位置关系
题点　空间中直线与直线的位置关系判定
答案　D
解析　当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．
9.
考点　空间中直线与直线的位置关系
题点　空间中直线与直线的位置关系判定
答案　③④
解析　直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误；③④正确．
10．
考点　空间中直线与直线的位置关系
题点　空间中直线与直线的位置关系判定
答案　平行
解析　如图，连接BD，在△ABD中，＝，
则EH∥BD，
同理可得FG∥BD.
∴EH∥FG.
11．
考点　异面直线的判定
题点　异面直线的判定
答案　24
解析　六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两边相交，与另四条边异面，这样异面直线一共有4×6＝24(对)．
12．
考点　异面直线所成的角
题点　求异面直线所成的角
答案　(1)90°　(2)45°
解析　(1)DD1和AC是异面直线，因为AA1∥DD1，所以∠A1AC为DD1和AC所成的角．因为AA1⊥AC，所以∠A1AC＝90°，所以DD1和AC所成的角是90°.
(2)因为DC∥D1C1，所以∠ACD是AC和D1C1所成的角．又∠ACD＝45°，所以AC和D1C1所成的角是45°.
13.
考点　空间中直线与直线的位置关系
题点　空间中直线与直线的位置关系判定的应用
(1)证明　由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH∥AD，GH＝AD.
又BC∥AD，BC＝AD，
∴GH∥BC，GH＝BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)解　C，D，F，E四点共面，理由如下：
由BE∥AF，BE＝AF，G为FA的中点知，BE∥GF，BE＝GF，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG∥CH，BG＝CH，
∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．
14.
考点　异面直线所成的角
题点　求异面直线所成的角
答案　B
解析　如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.
∵E，F分别为CD，AB的中点，
∴FG∥AC，EG∥BD，
且FG＝AC，EG＝BD.
又∵AC＝BD，∴FG＝EG，
∴∠EFG为EF与AC所成的角或其补角．
∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，
∴∠FGE＝90°，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.
15.
考点　异面直线所成的角
题点　求异面直线所成的角
解　如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，
连接BD1，A1D1，AD，
由四棱柱的性质知BD1∥AC1，
则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．
设AB＝a，
∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，
且AB＝AC＝AA1，
∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos30°＝a.
又∠BAC＝90°，
∴在矩形ABDC中，AD＝a，
∴A1D1＝a，
∴A1D＋A1B2＝BD，
∴∠BA1D1＝90°，
∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝＝＝.