2019-2020学年数学北师大版必修二：第一章 空间图形的公理(二) 学案
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年数学北师大版必修二：第一章 空间图形的公理(二) 学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 616.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-08 20:08:56 | ||
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文档简介
4.2 空间图形的公理(二)
学习目标 1.掌握公理4及等角定理.2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角．
知识点一 平行公理(公理4)
思考 在平面内，直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c.该结论在空间中是否成立？
答案 成立．
梳理 平行公理
(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．
(2)符号表示：?a∥c.
知识点二 空间两直线的位置关系
思考 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？
观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？
答案 平行与相交．
教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.
梳理 异面直线的概念
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；
②两直线既不平行也不相交．
(4)空间两条直线的三种位置关系
①从是否有公共点的角度来分：
②从是否共面的角度来分：
知识点三 等角定理
思考 观察图，在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
答案 从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.
梳理 等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补．
知识点四 异面直线所成的角
思考 在平行六面体A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？
答案 相等．
梳理 异面直线所成角的定义
定义
前提
两条异面直线a，b
作法
经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b
结论
我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围
记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°.
特殊情况
当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作：a⊥b.
1．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线．( × )
2．两直线若不是异面直线，则必相交或平行．( √ )
3．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠BAC＝∠B′A′C′.( × )
类型一 公理4及等角定理的应用
例1 在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.
考点 平行公理
题点 判断、证明线线平行
证明 因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，
所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.
所以四边形EBB′E′是平行四边形，
所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.
所以EE′∥FF′.
反思与感悟 (1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点．②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能．
跟踪训练1 如图，已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
考点 空间等角定理
题点 判断、证明角的关系
证明 (1)如图，连接AC，
在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN∥AC，MN＝AC.
由正方体的性质得
AC∥A1C1，AC＝A1C1.
∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1.
又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.
类型二 异面直线
命题角度1 异面直线的判定
例2 (1)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系是( )
A．异面 B．相交或平行
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
答案 D
解析 异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a，b异面，直线c的位置可如图所示．
(2)如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
解 由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′，B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．
反思与感悟 判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是异面直线．
跟踪训练2 (1)在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
答案 8
解析 与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线4×2＝8(对)．
(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
解 还原的正方体如图所示．
异面直线有三对，分别为AB与CD，
AB与GH，EF与GH.
命题角度2 求异面直线所成的角
例3 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
考点 异面直线所成的角
题点 求异面直线所成的角
解 如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
则EG∥AB且EG＝AB，
GF∥CD且GF＝CD，
由AB＝CD知EG＝FG，
从而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角．
∵AB与CD所成角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
反思与感悟 (1)异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点．
(2)求异面直线所成的角的一般步骤：
①作角：平移成相交直线．
②证明：用定义证明前一步的角为所求．
③计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围．
跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的大小是________．
考点 异面直线所成的角
题点 求异面直线所成的角
答案 45°
解析 连接B′D′，则E为B′D′的中点，连接AB′，则EF∥AB′，又CD∥AB，所以∠B′AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B′AB＝45°.
1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )
A．平行或异面 B．相交或异面
C．异面 D．相交
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
答案 B
解析 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.
2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为( )
A．130° B．50°
C．130°或50° D．不能确定
考点 空间等角定理
题点 利用等角定理求角
答案 C
解析 根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.
3．下列四个结论中错误的个数是( )
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
A．1B．2C．3D．4
考点
题点
答案 B
解析 ①④均为错误结论．①可举反例，如a，b，c三线两两垂直．
④如图甲所示，c，d与异面直线l1，l2交于四个点，此时c，d异面；
当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面相交．
4．如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
答案 ②④
解析 ①中，∵G，M是中点，
∴AG∥BM，AG＝BM，
∴GM∥AB，GM＝AB，HN∥AB，HN＝AB，
∴四边形GHNM是平行四边形．
∴GH∥MN，即G，H，M，N四点共面；
②中，∵H，G，N三点共面，且都在平面HGN内，而点M显然不在平面HGN内，
∴H，G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；
③中，∵G，M是中点，∴GM∥CD，GM＝CD，
∴GM∥HN，GM＝HN，即GMNH是梯形，则GH，MN必相交，∴H，G，M，N四点共面；
④中，同②，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异面．
5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
考点 异面直线所成的角
题点 求异面直线所成的角
解 (1)如图所示，连接AC，AB1.
由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，
∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．
在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，
即A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)如图所示，连接BD.由(1)知AC∥A1C1，
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．
∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.
又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，
即A1C1与EF所成的角为90°.
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．
作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
学习目标 1.掌握公理4及等角定理.2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角．
知识点一 平行公理(公理4)
思考 在平面内，直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c.该结论在空间中是否成立？
答案 成立．
梳理 平行公理
(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．
(2)符号表示：?a∥c.
知识点二 空间两直线的位置关系
思考 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？
观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？
答案 平行与相交．
教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.
梳理 异面直线的概念
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；
②两直线既不平行也不相交．
(4)空间两条直线的三种位置关系
①从是否有公共点的角度来分：
②从是否共面的角度来分：
知识点三 等角定理
思考 观察图，在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
答案 从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.
梳理 等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补．
知识点四 异面直线所成的角
思考 在平行六面体A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？
答案 相等．
梳理 异面直线所成角的定义
定义
前提
两条异面直线a，b
作法
经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b
结论
我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围
记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°.
特殊情况
当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作：a⊥b.
1．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线．( × )
2．两直线若不是异面直线，则必相交或平行．( √ )
3．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠BAC＝∠B′A′C′.( × )
类型一 公理4及等角定理的应用
例1 在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.
考点 平行公理
题点 判断、证明线线平行
证明 因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，
所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.
所以四边形EBB′E′是平行四边形，
所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.
所以EE′∥FF′.
反思与感悟 (1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点．②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能．
跟踪训练1 如图，已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
考点 空间等角定理
题点 判断、证明角的关系
证明 (1)如图，连接AC，
在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN∥AC，MN＝AC.
由正方体的性质得
AC∥A1C1，AC＝A1C1.
∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1.
又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.
类型二 异面直线
命题角度1 异面直线的判定
例2 (1)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系是( )
A．异面 B．相交或平行
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
答案 D
解析 异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a，b异面，直线c的位置可如图所示．
(2)如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
解 由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′，B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．
反思与感悟 判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是异面直线．
跟踪训练2 (1)在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
答案 8
解析 与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线4×2＝8(对)．
(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
解 还原的正方体如图所示．
异面直线有三对，分别为AB与CD，
AB与GH，EF与GH.
命题角度2 求异面直线所成的角
例3 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
考点 异面直线所成的角
题点 求异面直线所成的角
解 如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
则EG∥AB且EG＝AB，
GF∥CD且GF＝CD，
由AB＝CD知EG＝FG，
从而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角．
∵AB与CD所成角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
反思与感悟 (1)异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点．
(2)求异面直线所成的角的一般步骤：
①作角：平移成相交直线．
②证明：用定义证明前一步的角为所求．
③计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围．
跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的大小是________．
考点 异面直线所成的角
题点 求异面直线所成的角
答案 45°
解析 连接B′D′，则E为B′D′的中点，连接AB′，则EF∥AB′，又CD∥AB，所以∠B′AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B′AB＝45°.
1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )
A．平行或异面 B．相交或异面
C．异面 D．相交
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
答案 B
解析 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.
2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为( )
A．130° B．50°
C．130°或50° D．不能确定
考点 空间等角定理
题点 利用等角定理求角
答案 C
解析 根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.
3．下列四个结论中错误的个数是( )
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
A．1B．2C．3D．4
考点
题点
答案 B
解析 ①④均为错误结论．①可举反例，如a，b，c三线两两垂直．
④如图甲所示，c，d与异面直线l1，l2交于四个点，此时c，d异面；
当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面相交．
4．如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)
考点 异面直线的判定
题点 异面直线的判定
答案 ②④
解析 ①中，∵G，M是中点，
∴AG∥BM，AG＝BM，
∴GM∥AB，GM＝AB，HN∥AB，HN＝AB，
∴四边形GHNM是平行四边形．
∴GH∥MN，即G，H，M，N四点共面；
②中，∵H，G，N三点共面，且都在平面HGN内，而点M显然不在平面HGN内，
∴H，G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；
③中，∵G，M是中点，∴GM∥CD，GM＝CD，
∴GM∥HN，GM＝HN，即GMNH是梯形，则GH，MN必相交，∴H，G，M，N四点共面；
④中，同②，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异面．
5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
考点 异面直线所成的角
题点 求异面直线所成的角
解 (1)如图所示，连接AC，AB1.
由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，
∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．
在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，
即A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)如图所示，连接BD.由(1)知AC∥A1C1，
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．
∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.
又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，
即A1C1与EF所成的角为90°.
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．
作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．