人教版数学八年级下册第17章勾股定理讲义（学案 含答案）

勾股定理
知识集结
知识元
勾股定理的证明
知识讲解
勾股定理的证明
利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a2＋b2＝c2.

图形割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积不会改变．
例题精讲
勾股定理的证明
例1.
2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a+b)2的值为（　　）
A．13 B．19 C．25 D．169
【答案】C
【解析】
题干解析:
根据题意，结合图形求出ab与a2+b2的值，根据题意得：c2=a2+b2=13，4×ab=13﹣1=12，即2ab=12，则(a+b)2=a2+2ab+b2=13+12=25，故选C
例2.
如图，△ABC中，∠C＝90°，D是AC中点，求证：AB2＋3BC2＝4BD2.

【答案】
证明：在Rt△BDC中，根据勾股定理，得BD2＝CD2＋BC2，∴CD2＝BD2－BC2.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2.∵D是AC的中点，∴AC＝2CD.∴4CD2＋BC2＝AB2.∴CD2＝.∴BD2－BC2＝，即AB2＋3BC2＝4BD2.
【解析】
题干解析:在Rt△BDC中应用勾股定理得到AC2＋BC2＝AB2.，根据中点条件得AC＝2CD，代入即可证明。
例3.
如图是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程.（提示：下面图中的三个三角形均是直角三角形，围成的梯形是直角梯形）
【答案】
因为(a+b)(a+b)=2×ab+c2，所以(a+b)(a+b)=2ab+c2所以a?+2ab+b?==2ab+c2，所以
【解析】
题干解析:已知直角梯形的上底、下底和高，直接利用梯形的面积公式可得该图形的面积；由于这个直角梯形可以看成由三部分组成，求出三个直角三角形的面积之和即为它的面积；根据两种方法所得梯形的面积相等列出关于a、b、c的等式，进一步可得a、b、c的数量关系.
特殊的直角三角形
知识讲解
在直角三角形中，已知两边长，可以运用勾股定理长．
例题精讲
特殊的直角三角形
例1.
下图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（ ）.

A．4 cm B．5 cm C．cm D．cm
【答案】D
【解析】
题干解析:
∵△ABC沿DE折叠，使点A与点B重合，∴EA=EB,AD=BD,∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴CD=CB-BD=8-BD,在Rt△BCE中，∵AD2=AC2+CD2=62+（8-BD）2，又∵AD=BD，∴AD= ， 在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，解得DE= 。
例2.
如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=3.5，则CE2＋CF2的值为________．

【答案】
49
【解析】
题干解析:∵CE平分∠ACB交AB于E，CF平分∠ACD，∴∠1=∠2=∠ACB，∠3=∠4=∠ACD，∴∠2+∠3=（∠ACB+∠ACD）=90°，∴△CEF是直角三角形，∵EF∥BC，∴∠1=∠5，∠4=∠F，∴∠2=∠5，∠3=∠F，∴EM=CM，CM=MF，∵CM=3.5，∴EF=3.5+3.5=7，在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2=72=49．
例3.
如图：AD平分∠CAB，过D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，∠ACD+∠DBA=1800，AC=9，AB=21，BD=10．

求：（1）CD的长；
（2）求AD的长．
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:（1）∵AD平分∠CAB，DM⊥AC，DN⊥AB，∴DM=DN，AM=AN，∵∠ACD+∠DCM=180°，∠ACD+∠DBA=180°，∴∠DCM=∠DBA，在△DCM和△DBN中，∵DM=DN，∠DCM=∠DBN，∠DMC=∠DNB，∴△DCM≌△DBN，∴CD=BD=10；（2）∵△DCM≌△DBN，∴CM=BN，∵9+CM=21﹣BN，∴CM=BN=6，又CD=10，∴DM==8，∴AD==17．
画长度为无理数的线段
知识讲解
构造直角三角形，两直角边是有理数，斜边长为无理数，利用勾股定理，可以做出长为（n为正整数）的线段，进而在数轴上可画出表示（n是正整数）的点.易错点：线段的起点不是原点的时候。
?
例题精讲
画长度为无理数的线段
例1.
如图，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是（ ）

A．＋1 B．－1 C． D．1－
【答案】B
【解析】
题干解析:
首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示－1，可得E点表示的数．
解：∵AD长为2，AB长为1，∴AC=，
∵A点表示?1，∴E点表示的数为： ?1，故选：B.
例2.
如图，以数轴的单位长度为边作正方形，以数轴上的原点O为圆心，正方形的对角线的长为半径作弧与数轴交于一点A，则点A表示的数为 ．

【答案】

【解析】
题干解析:由勾股定理得，正方形对角线为，则点A表示的数为．
例3.
数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，在数轴上画出表示的点 (保留作图痕迹，不写作法)．

【答案】

【解析】
题干解析:(1)在数轴上找到点A，使OA=3；(2)作直线l垂直OA于点A．在l上取一点B，使AB=1；(3)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示的点．
勾股定理的应用
知识讲解
利用勾股定理解决实际问题.
例题精讲
勾股定理的应用
例1.
如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以斜边AC作正方形ACDE，则边BE的长是（　　）

A．15 B． C． 15 D．
【答案】B
【解析】
题干解析:
解：作EF⊥AB于F．
∵四边形ACDE是正方形，
∴∠CAE=90°，AC=AE，
∴∠EAF+∠BAC=90°．
又∠ABC=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°．
∴∠EAF=∠ACB．
∴△AEF≌△CAB．
∴AF=BC=8，EF=AB=6．
在直角三角形BEF中，根据勾股定理，得
BE====2．故选B．
例2.
如图，有一段楼梯AC长为15米，由于这段楼梯较陡，为了方便行人通行，现准备新修一条楼梯AD．已知AD=20米，CD=7米，则楼梯的高度AB为　　米．

【答案】
12
【解析】
题干解析:解：设BC=x，则在Rt△ACB和Rt△ADB中，AB2=AD2﹣BD2，AB2=AC2﹣BC2，故202﹣（7+BC）2=152﹣BC2，解得：BC=9，∴AB2=152﹣92=144，∴AB=12．　
例3.
如图，长方体的长、宽、高分别是4，3，5，现有绳子从A出发，沿长方形表面到达C处，问绳子最短是　　．

【答案】

【解析】
题干解析:解：如图所示，将长方体右边的表面翻折90°（展开），连接AC，显然两点之间线段最短，AC为点A到点C的最短距离，由勾股定理知：AC2=52+（4+3）2=74，AC=
．即绳子最短为
．故答案为：
．
利用勾股定理求最短路径
知识讲解
最短路径问题求解思路：
(1)确定该路径的起点终点；
(2)画出立方体的平面展开图，将立体问题转化为平面问题；
(3)借助勾股定理求得路径的长度；
(4)若展开方法有多种，需比较出最小值，此值为最短路径．
例题精讲
利用勾股定理求最短路径
例1.
如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（　　）

A．10cm B．12cm C．19cm D．20cm
【答案】A
【解析】
题干解析:
展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6，矩形的宽是圆柱的高即8．根据勾股定理得：蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线长即10．故选A．
例2.
如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8 cm、6 cm和 cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 cm．
【答案】
5
【解析】
题干解析:由题意知：盒子底面对角长为cm，盒子的对角线长：cm，细木棒长25cm，故细木棒露在盒外面的最短长度是：25-20=5cm．
例3.
如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.

【答案】
15
【解析】
题干解析:
沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE=A′E，A′P=AP，
∴AP+PC=A′P+PC=A′C，
∵CQ=12×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C=122+92=15cm，
故答案为：15．

例4.
一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm．

【答案】
解：如图：
根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图（1）AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图（2）AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图（3）AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2=25，即AB′=5cm．
【解析】
题干解析:要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
当堂练习
单选题
练习1.
2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a+b)2的值为（　　）

A．13 B．19 C．25 D．169
练习2.
如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（ ）.

A．9 B．10 C． D．
练习3.
如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．如果其中大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边的长分别是a和b，那么（a+b）2的值为（ ）.

A．49 B．25 C．13 D．1
练习4.
如图，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是（ ）

A．＋1 B．－1 C． D．1－
练习5.
如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（　　）

A．10cm B．12cm C．19cm D．20cm
练习6.
如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以斜边AC作正方形ACDE，则边BE的长是（　　）

A．15 B． C． 15 D．
练习7.
“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6

填空题
练习1.
如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是　　　　．
练习2.
如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=3.5，则CE2＋CF2的值为________．

练习3.
我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺.
练习4.
如图，长方体的长、宽、高分别是4，3，5，现有绳子从A出发，沿长方形表面到达C处，问绳子最短是　　．

解答题
练习1.
如图：AD平分∠CAB，过D作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，∠ACD+∠DBA=1800，AC=9，AB=21，BD=10．

求：（1）CD的长；
（2）求AD的长．
练习2.
如图所示，一根长2.5米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时OB的距离为0.7米，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
（1）如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移动多少距离？
（2）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．
（3）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．






















单选题：1-5 CBABA;6-7 BC
填空题：10,49,25，
练习1：【答案】
见解析
【解析】
题干解析:（1）∵AD平分∠CAB，DM⊥AC，DN⊥AB，∴DM=DN，AM=AN，∵∠ACD+∠DCM=180°，∠ACD+∠DBA=180°，∴∠DCM=∠DBA，在△DCM和△DBN中，∵DM=DN，∠DCM=∠DBN，∠DMC=∠DNB，∴△DCM≌△DBN，∴CD=BD=10；（2）∵△DCM≌△DBN，∴CM=BN，∵9+CM=21﹣BN，∴CM=BN=6，又CD=10，∴DM==8，∴AD==17．

练习2：