2019-2020学年高一数学人教A版必修5学案：2.3等差数列的前n项和（第1课时）Word版含答案

第二章　数列
2.3　等差数列的前n项和
2.3　等差数列的前n项和(第1课时)
学习目标
掌握等差数列前n项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.了解等差数列前n项和的定义,了解倒序相加的原理,理解等差数列前n项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;用方程思想认识等差数列前n项和的公式,利用公式求Sn,a1,d,n;等差数列通项公式与前n项和的公式共涉及五个量,已知其中三个量可求另两个量;会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值.
合作学习
一、设计问题,创设情境
1.一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?
问题就是?
这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.这实际上是一个求等差数列前100项和的问题,高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050.高斯算法将加法运算转化为乘法运算,迅速准确的得到了结果.
我们要求一般的等差数列的前几项和,高斯算法对我们有何启发?
二、信息交流,揭示规律
2.公式推导
设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,Sn=a1+a2+a3+…+an=?,由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.
思路一:运用基本量思想,将各项用a1和d表示,得
Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d],有以下等式a1+[a1+(n-1)d]=(a1+d)+[a1+(n-2)d]=(a1+2d)+[a1+(n-3)d]=…,问题是一共有多少个　　　　,似乎与n的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.?
思路二:
上面的等式其实就是a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…,为回避个数问题,做一个改写Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1,两式左右分别相加,得
2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1),
2Sn=n(a1+an)
于是有　　　　　　　.这就是倒序相加法.?
思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得2Sn=n[a1+a1+(n-1)d],于是Sn=na1+d.
综合思路二和思路三得到了两个公式:　　　　　　　和　　　　　　　.?
三、运用规律,解决问题
3.求和:(1)101+100+99+98+97+…+64;
(2)2+4+6+8+…+2n(结果用n表示).
4.等差数列2,4,6,…中前多少项的和是9900?
5.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?
四、变式训练,深化提高
6.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=6,a4=8,求公差d.
7.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若满足an=an-1+2(n≥2),且S3=9,求首项a1.
五、反思小结,观点提炼
参考答案
一、设计问题,创设情境
1.“1+2+3+4+…+100=?”
二、信息交流,揭示规律
2.a1+[a1+(n-1)d]　Sn=　Sn=　Sn=na1+d
三、运用规律,解决问题
3.解:(1)101,100,99,98,97,…,64可以看做是一个首项为101,公差为-1的等差数列,由等差数列的通项公式,可得64=101+(n-1)(-1),解得n=38,
于是Sn==3135.
另外也可用公式Sn=na1+d来求解,Sn=38×101+×(-1)=3135.
(2)2+4+6+8+…+2n可以看做是等差数列{2n}的前n项和,
则Sn==n2+n,
另外可运用公式Sn=na1+d来求解.
4.解:由题知,等差数列首项a1=2,公差d=2,由Sn=na1+d,得2n+×2=9900,即n2+n-9900=0,解得n=-100(舍去),或n=99,所以等差数列2,4,6,…中的前99项的和是9900.
5.解:根据题意,从2001~2010年,该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.
所以,可以建立一个等差数列{an},表示从2001年起各年投入的资金,其中a1=500,d=50.
那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为
S10=10×500+×50=7250(万元)
答:从2001~2010年,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.
四、变式训练,深化提高
6.解:∵等差数列{an}的前n项和为Sn,
∵S3=6,即a1+a2+a3=6∴a2=2.∵a4=8,∴8=2+2d,∴d=3.
7.解:∵an=an-1+2(n≥2),∴an-an-1=2(n≥2),
∴等差数列{an}的公差是2.由S3=3a1+×2,即3a1+6=9,解得a1=1.
五、反思小结,观点提炼
略