2019-2020学年高一数学人教A版必修5学案：2.4等比数列（第1课时）Word版含答案

第二章　数列
2.4　等比数列
2.4　等比数列(第1课时)
学习目标
1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念.
2.能根据定义判断一个数列是不是等比数列,明确一个数列是等比数列的限定条件;能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导等比数列的通项公式.
合作学习
一、设计问题,创设情境
1.复习等差数列的相关内容:
定义:?
通项公式:an=a1+(n-1)d,(n∈N*).
前n项和公式:Sn==na1+d,(n∈N*).
问题:等差数列只是数列的其中一种形式,现在来看这三个数列
1,2,4,8,…;1,,…;-1,1,-1,1,…
思考:这三个数列是等差数列吗?各个数列的各项之间有什么关系?
二、信息交流,揭示规律
与等差数列的概念相类比,可以给出这种数列的概念吗?是什么?
1.定义:如果一个数列从第2项起,　　　　　　　,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0).?
2.数学表达式:　　　　　　　　　　　　　.?
从等比数列的定义及其数学表达式中,可以看出什么?也就是这个公式在什么条件下成立?
结论:等比数列各项均不为零,公比q≠0.
3.通项公式:
等比数列{an}的首项为a1,公比为q,
a2=a1q,
a3=a2q=a1q2,
a4=a3q=a2q2=a1q3,
以此类推,可以得到an用a1和q表示的数学表达式吗?
归纳猜测得到:　　　　　　　　　　.?
三、运用规律,解决问题
【例1】判断下列数列是否为等比数列:
(1)1,1,1,1,1;
(2)0,1,2,4,8;
(3)1,-,-,….
【例2】某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?
【例3】(1)一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项;
(2)一个等比数列的第9项是,公比是-,求它的第1项.
四、变式训练,深化提高
变式训练1:已知等比数列{an}中an+1>an,且a3+a7=3,a2·a8=2,则等于(　　)
A.　　　　　　　　B.　　　　　　　　C.　　　　　　　　D.2
变式训练2:已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a9=2,a2=1,则a1等于(　　)
A. B. C. D.2
变式训练3:在等比数列{an}中,a5=-16,a8=8,则a11等于(　　)
A.-4 B.±4 C.-2 D.±2
五、反思小结,观点提炼
参考答案
一、设计问题,创设情境
1.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.
二、信息交流,揭示规律
1.每一项与它的前一项的比等于同一常数
2.=q(n∈N*)
3.an=a1qn-1
三、运用规律,解决问题
【例1】解:(1)数列的首项为1,公比为1,所以是等比数列;
(2)因为等比数列中的各项均不为零,所以不是等比数列;
(3)数列的首项为1,公比为-,所以是等比数列.
【例2】解:设这种物质最初的质量是1,经过n年,剩留量是an,那么:
经过1年,剩留量为a1=1×0.84=0.84,
经过2年,剩留量为a2=0.84a1=0.84×0.84=0.842,
经过3年,剩留量为a3=0.84a2=0.84×0.842=0.843,
……
经过n年,剩留量为an=0.84an-1.
因此an构成一个等比数列{an},其中a1=0.84,q=0.84.
设an=0.5,则0.84n=0.5两边取对数,得lg0.84n=lg0.5,
于是nlg0.84=lg0.5,n=
用计算器算得n≈4.
答:这种物质的半衰期大约为4年.
【例3】解:(1)设这个等比数列的第1项是a1,公比是q,那么
两式相比得q=,代入其中一个方程,得a1=,
因此,a2=a1q==8.
(2)设这个等比数列的第1项是a1,公比是q,那么a9=a1q8,
即=a1,解得a1=2916.
四、变式训练,深化提高
变式训练1:分析:在做这种题的时候,可以根据等比数列的定义,列出一个或多个等式来求解.
由a2·a8=a3·a7,得解得
因此=2.选D.
答案:D
变式训练2:分析:设等比数列{an}的公比为q,由已知得a1q2·a1q8=2(a1q4)2,即q2=2,又因为等比数列{an}的公比为正数,所以q=,故a1=,选B.
答案:B
变式训练3:分析:设等比数列{an}的公比为q,由已知得a8=a5q3,即8=(-16)×q3,q3=-,所以a11=a8·q3=8×=-4.选A.
答案:A
五、反思小结,观点提炼
略