2019-2020学年高一数学人教A版必修5学案：2.5等比数列的前n项和（第2课时）Word版含答案

第二章　数列
2.5　等比数列的前n项和
2.5　等比数列的前n项和(第2课时)
学习目标
掌握等比数列的前n项和公式,能用等比数列的前n项和公式解决相关问题.通过等比数列的前n项和公式的推导过程,体会“错位相减法”以及分类讨论的思想方法.通过对等比数列的学习,发展数学应用意识,逐步认识数学的科学价值、应用价值,发展数学的理性思维.
合作学习
一、设计问题,创设情境
复习引入:
1.等比数列的通项公式　　　　　　　　　　　　　　;?
2.等比数列的前n项和公式　　　　　　　　　　　　　　.?
3.类比等差数列的前n项和,等比数列的前n项和会有怎样的性质?
已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.
可以证明若k∈N*,Sk,S2k-Sk,　　　　　　　成等差数列.?
那么等比数列是否有类似的性质?
二、信息交流,揭示规律
1.等比数列的通项公式和前n项和公式这两个公式中含有五个量,分别是Sn,an,n,q,a1,两个公式对应两个方程,因此已知其中的三个量就可以求另外的两个量,即“知三求二”.
把公式看成方程,两个公式对应两个方程,可以解决两个未知数.
2.已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和.
可以证明:k∈N*,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等比数列.
Sk=a1+a2+a3+…+ak=a1(1+q+q2+…+qk-1),
S2k-Sk=ak+1+ak+2+ak+3+…+a2k=ak+1(1+q+q2+…+qk-1),
S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+a2k+3+…+a3k=a2k+1(1+q+q2+…+qk-1),
=　　　　　　　.?
三、运用规律,解决问题
【例1】在等比数列{an}中,已知a1=2,S3=26,求q和Sn.
【例2】在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.
【例3】已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*),判断{an}是否为等比数列?
四、变式训练,深化提高
等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.
(1)求{an}的公比q;
(2)若a1-a3=3,求Sn.
五、反思小结,观点提炼
参考答案
一、设计问题,创设情境
1.an=a1qn-1
2.Sn=
3.S3k-S2k
二、信息交流,揭示规律
2.qk
三、运用规律,解决问题
【例1】解:因为S3=26,a1+a2+a3=26,
所以a1(1+q+q2)=26,即2(1+q+q2)=26,
于是得q2+q-12=0,解得q=-4,或q=3,
当q=-4时,Sn=×(-4)n,
当q=3时,Sn==3n-1.
【例2】解:由性质知:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.
所以122=48×(S3n-60),解得S3n=63.
【例3】解:由Sn=pn(n∈N*),有a1=S1=p.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=(p-1)pn-1,
故a2=(p-1)p,因此数列{an}成等比数列?
但满足此条件的实数p是不存在的,所以数列{an}不是等比数列.
四、变式训练,深化提高
解:(1)由题意,有S1+S2=2S3,即a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2).
又已知a1≠0,q≠0,解得q=-.
(2)由已知得a1-a1=3,解得a1=4.从而Sn=.
五、反思小结,观点提炼
略