2019-2020学年高一数学人教A版必修5学案：3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（第1课时）Word版含答案

第三章　不等式
3.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.1　二元一次不等式(组)与平面区域(第1课时)
学习目标
1.了解二元一次不等式的几何意义.
2.能用平面区域表示二元一次不等式(组).
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:你会求二元一次方程x+y-1=0的解吗,它的解有多少个?请你写出几个.这些解可以用怎样的几何图形表示?
问题2:二元一次方程x+y-1=0可以用怎样的几何图形表示?二元一次方程x+y-1=0与表示它的直线l有怎样的关系?
问题3:你会解二元一次不等式x+y-1>0吗?你能写出该不等式的几个解吗?在平面直角坐标系中,这些解对应的点与直线l:x+y-1=0有什么关系?你能找到二元一次不等式x+y-1>0表示的几何图形吗?请探究并解答以上问题.
二、信息交流,揭示规律
问题4:在平面直角坐标系中,直线l:x+y-1=0右侧的点的坐标都能使x+y-1的值大于0吗,为什么?直线l:x+y-1=0上方的点的坐标都能使x+y-1的值大于0吗?
练习:请大家画出二元一次不等式2x-y-2≥0表示的平面区域.
问题5:为什么直线要画成实线?为什么表示的平面区域在直线的右下方呢?
问题6:在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示的几何意义是什么呢?
问题7:二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0哪一侧的区域呢?请大家完成下表.
A
B
不等式
区域
不等式
区域
A>0
B>0
Ax+By+C>0
Ax+By+C<0
A>0
B<0
Ax+By+C>0
Ax+By+C<0
A<0
B>0
Ax+By+C>0
Ax+By+C<0
A<0
B<0
Ax+By+C>0
Ax+By+C<0
三、运用规律,解决问题
【例1】画出不等式x-2y>4表示的平面区域.
【例2】用平面区域表示不等式组的解集.
问题8:大家先观察一下这个不等式组中各个不等式的特征,再考虑一下如何画图.
四、变式训练,深化提高
变式训练:(1)求例2中,不等式组表示的平面图形的面积;
(2)当x∈Z,y∈Z时,我们把点(x,y)称为“整点”,求例2中满足不等式组的整点的个数.
五、反思小结,观点提炼
问题9:二元一次不等式这一代数中的“数量关系”是怎样与平面区域这一“几何形式”结合起来的?这一过程体现了怎样的数学思想?如何作二元一次不等式表示的平面区域?
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:无数个;…,(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1),…;可以用平面直角坐标系中的点表示.
问题2:平面直角坐标系中的直线;方程x+y-1=0的解与直线l上点的坐标一一对应.
问题3:二元一次不等式x+y-1>0的解有无数多个,每个解在平面直角坐标系中对应的点都在直线l:x+y-1=0的右上方.
问题4:因为直线上各点P(x,y)的坐标都使x+y-1的值等于0,而直线右侧与P(x,y)在同一水平线上的点P1(x1,y)的横坐标x1>x,故x1+y-1>0;对,道理一样.
练习:
问题5:不等式包含相等这种情况,所以不等式表示的区域应该包括边界.
因为,直线上的点向右移动时,x变大,所以2x会变大,这样就使得2x-y-2的值变大;同理,直线上的点向右移动时,y变小,但是-y会变大,这样就使得2x-y-2的值变大.
问题6:一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域,我们把直线画成虚线,以表示区域不包括边界.
不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界,把边界画成实线.
问题7:二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0哪一侧的区域呢?请大家完成下表.
A
B
不等式
区域
不等式
区域
A>0
B>0
Ax+By+C>0
右上方
Ax+By+C<0
左下方
A>0
B<0
Ax+By+C>0
右下方
Ax+By+C<0
左上方
A<0
B>0
Ax+By+C>0
左上方
Ax+By+C<0
右下方
A<0
B<0
Ax+By+C>0
左下方
Ax+By+C<0
右上方
三、运用规律,解决问题
【例1】解:先作出边界x-2y=4,画成虚线.
因为,A>0,B<0,
所以,不等式x-2y>4表示的平面区域在直线x-2y=4的右下方(如图所示).
问题8:可以先将各个不等式整理成一般形式,也可以先做出每个不等式对应的边界,然后在边界一侧取一个特殊点,将其坐标代入验证,若满足这个不等式,则该点坐在一侧就是不等式表示的区域,否则,另一侧便是.简单地说,就是“直线定界,特殊点定域”.
【例2】解:先作出边界x=y+1,取原点(0,0)代入不等式x≤y+1,
因为0<0+1,所以原点(0,0)在x≤y+1表示的区域内;
后面两个不等式表示的平面区域同理可作.
取三个区域重叠的部分,图中阴影部分就表示原不等式组的解集.
四、变式训练,深化提高
变式训练:解:(1)将三个不等式对应的直线方程分别联立,解得阴影部分,即三角形的三个顶点坐标分别为(-1,2),(-1,-2),(1,0),故三角形的面积为[2-(-2)]×[1-(-1)]=4.
(2)由(1)的解答知,阴影部分点的横坐标x∈[-1,1],分别令x=-1,0,1,代入不等式组,求出y的范围后知道,整点依次为(-1,2),(-1,1),(-1,0),(-1,-1),(-1,-2),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,1)共9个.
五、反思小结,观点提炼
问题9:通过二元一次不等式的解与平面直角坐标系中的点的坐标的对应关系,再结合二元一次方程的几何意义;数形结合思想;直线定界,特殊点定域.