人教版七年级下数学教学讲义，复习补习资料（含典型例题，巩固练习）：02【提高】平行线及其判定（解析版）

平行线及其判定（提高）知识讲解

【学习目标】
1.理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系；
2.掌握平行公理及其推论；
3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.
【典型例题】
类型一、平行线的定义及表示
/1．下列说法正确的是 ( )
A．不相交的两条线段是平行线.
B．不相交的两条直线是平行线.
C．不相交的两条射线是平行线.
D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
【答案】D
【解析】平行线定义中三个关键词语：“同一平面内”，“不相交”，“两条直线”.
【总结升华】本例属于对概念的考查，应从平行线的概念入手进行判断．
类型二、平行公理及推论
/2．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为：( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】正确的是：（1）(3).
【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别．
举一反三：
【变式】（2019春?北京校级期中）下列命题中正确的有（　　）
①相等的角是对顶角；
②若a∥b，b∥c，则a∥c；
③同位角相等； 　　　
④邻补角的平分线互相垂直．
　 A．0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个
【答案】C
类型三、两直线平行的判定
/3. （2019春·泰山区期末）下列图形中，由∠1=∠2，能推出AB∥CD的是（　　）
　 A．/ B．/
C．/ D．/
【答案】B
【解析】如图所示：
/
∵∠1=∠2（已知），
∠2=∠3（对顶角相等）
∴∠1=∠3
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故选B
【总结升华】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
举一反三：
【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( )
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
【答案】A
提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图．
/
图B显然不同向，因为路线不平行．
图C中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．
图D中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向．
只有图A路线平行且同向，故应选A．
/4. 如图所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．
/
【思路点拨】利用辅助线把AB、EF联系起来．
【答案与解析】
解法1：如图所示，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．
/
∵ ∠B＝25°，∠E＝10°(已知)，
∴ ∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN(等量代换)．
∴ AB∥CM，EF∥DN(内错角相等，两直线平行)．
又∵ ∠BCD＝45°，∠CDE＝30°(已知)，
∴ ∠DCM＝20°，∠CDN＝20°(等式性质)．
∴ ∠DCM＝∠CDN(等量代换)．
∴ CM∥DN(内错角相等，两直线平行)．
∵ AB∥CM，EF∥DN(已证)，
∴ AB∥EF(平行线的传递性)．
解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．
/
∵ ∠BCD＝45°，∴ ∠NCB＝135°．
∵ ∠B＝25°，
∴ ∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°(三角形的内角和等于180°)．
又∵ ∠CDE＝30°，∴ ∠EDM＝150°．
又∵ ∠E＝10°，
∴ ∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°(三角形的内角和等于180°)．
∴ ∠CNB＝∠EMD(等量代换)．
所以AB∥EF(内错角相等，两直线平行)．
【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取．
举一反三：

【变式1】已知，如图，BE平分(ABD，DE平分(CDB，且(1与(2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由．
/
【答案】
解：AB∥CD，理由如下：
∵ BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，
∴ ∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2．
又∵ ∠1+∠2＝90°，
∴ ∠ABD+∠CDB＝180°．
∴ AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．

【变式2】已知，如图，AB(BD于B，CD(BD于D，(1+(2=180°，求证：CD//EF．
/
【答案】
证明：∵AB(BD于B，CD(BD于D，
∴AB∥CD．
又∵(1+(2=180°，
∴AB∥EF．
∴CD//EF．
【巩固练习】
一、选择题
1.下列说法中正确的有( )
①一条直线的平行线只有一条．
②过一点与已知直线平行的直线只有一条．
③因为a∥b，c∥d，所以a∥d．
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角( )
A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补
3．如图，能够判定DE∥BC的条件是 ( )
/
A．∠DCE+∠DEC＝180° B．∠EDC＝∠DCB
C．∠BGF＝∠DCB D．CD⊥AB，GF⊥AB
4．一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是 ( ) ．
A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．
B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°．
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°．
D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．
5．（2019?黔南州）如图，下列说法错误的是（　　）
/
　 A．若a∥b，b∥c，则a∥c B． 若∠1=∠2，则a∥c
　 C．若∠3=∠2，则b∥c D． 若∠3+∠5=180°，则a∥c
6.( 绍兴)学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图，(1)—(4)）:
/
从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）
①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等，两直线平行．
④内错角相等，两直线平行．
A.①② B. ②③ C. ③④ D. ④①
二、填空题
7. 在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是________．
8.（2019春?嵊州市期末）如图所示，在不添加辅助线及字母的前提下，请写出一个能判定AD∥BC的条件：　 （一个即可）．
/
9．规律探究：同一平面内有直线a1，a2，a3…，a100，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4…，按此规律，a1和a100的位置是________．
10．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，则另一个角的度数是
11．直线同侧有三点A、B、C，如果A、B两点确定的直线 与B、C两点确定的直线都与平行，则A、B、C三点 ，其依据是
12. 如图，AB⊥EF于点G，CD⊥EF于点H，GP平分∠EGB，HQ平分∠CHF，则图中互相平行的直线有 ．
/
三、解答题
13.如图，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4应为多少度?说明理由．
/
14．小敏有一块小画板(如图所示)，她想知道它的上下边缘是否平行，而小敏身边只有一个量角器，你能帮助她解决这一问题吗?
/
15．如图，把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝20°，那么∠BAF为多少度时，才能使AB′∥BD?
/
16.（2019春·岱岳区期末）如图，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线，∠1=∠2，求证：DC∥AB．
/
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】A
【解析】只有④正确，其它均错．
2. 【答案】D
3. 【答案】B
【解析】内错角相等，两直线平行．
4. 【答案】B
5. 【答案】C.
【解析】A、若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了平行公理，正确；
B、若∠1=∠2，则a∥c，利用了内错角相等，两直线平行，正确；
C、∠3=∠2，不能判断b∥c，错误；
D、若∠3+∠5=180°，则a∥c，利用同旁内角互补，两直线平行，正确；
故选C．
6. 【答案】C
【解析】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，过点P的折痕与虚线垂直．
二、填空题
7. 【答案】0或1或2或3个；
8. 【答案】∠B=∠EAD或∠C=∠DAC或∠B+∠BAD=180°．
【解析】由“内错角相等，两直线平行”可以添加条件∠C=∠DAC．
由“同位角相等，两直线平行”可以添加条件∠B=∠EAD．
由“同旁内角互补，两直线平行”可以添加条件∠B+∠BAD=180°．
综上所述，满足条件的有：∠B=∠EAD或∠C=∠DAC或∠B+∠BAD=180°
9. 【答案】a1∥a100；
【解析】为了方便，我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100，因为a1⊥a2∥a3，所以a1⊥a3，而a3⊥a4，所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8 ∥a9，a9∥a12 ∥a13，…，接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100，所以a1∥a100．
10.【答案】 40°或140°
11.【答案】共线，平行公理；
【解析】此题考查是平行公理，它是论证推理的基础，应熟练应用．
12.【答案】AB∥CD，GP∥HQ；
【解析】
理由：∵ AB⊥EF，CD⊥EF．∴ ∠AGE＝∠CHG＝90°．∴ AB∥CD．
∵ AB⊥EF．∴ ∠EGB＝∠2＝90°．∴ GP平分∠EGB．
∴ ∠1＝EGB＝45°．
∴ ∠PGH＝∠1+∠2＝135°．
同理∠GHQ＝135°，∴ ∠PGH＝∠GHQ．
∴ GP∥HQ．
三、解答题
13. 【解析】
解：∠4＝100°．理由如下：
∵ ∠1＝60°，∠2＝60°，
∴ ∠1＝∠2，∴ AB∥CD
又∵∠3＝∠4＝100°，
∴ CD∥EF，∴ AB∥EF．
14．【解析】
解：如图所示，用量角器在两个边缘之间画一条线段MN，用量角器测得∠1＝50°，
∠2＝50°，因为∠1＝∠2，所以由内错角相等，两直线平行，可知画板的上下边缘是平行的．
/
15. 【解析】
解：要使AB′∥BD，只要∠B′AD＝∠ADB＝20°，
∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝110°．
∴∠BAF＝∠B′AB＝×110°＝55°．
16.【解析】
证明：∵BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线
∴∠2=∠ABC，∠3=∠ADC，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB∥DC.