人教版七年级下数学教学讲义，复习补习资料（含典型例题，巩固练习）：09【提高】坐标方法的简单应用（含解析）

坐标方法的简单应用（提高）知识讲解

【学习目标】
1．能建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置.
2. 能在同一坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化.
【典型例题】
类型一、用坐标表示地理位置
1．小明写信给他的朋友介绍学校的有关情况：校门正北方100米处是教学楼，从校门向东50米，再向北50米是科教楼，从校门向西100米，再向北150米是宿舍楼……
请画出适当的平面直角坐标系表示校门、教学楼、科技楼、宿舍楼的位置，并写出这四个点的坐标．
【思路点拨】选取校门所在的位置为原点，并以正东，正北方向为x轴、y轴的正方向，可以容易地写出三个建筑物的坐标．否则就较复杂．
【答案与解析】
解：(1)平面直角坐标系及学校的建筑物位置如图所示，比例尺为1:10000．
(2)校门的坐标为(0，0)；教学楼的坐标为(0，100)；科技楼的坐标是(50，50)；宿舍楼的坐标为(-100，150)．
【总结升华】选取的坐标原点不同，各个据点的坐标也不同，不论是哪个点表示原点，都要让人一听一看就清楚所描述的位置．
举一反三：
【变式】一个探险家在日记上记录了宝藏的位置，从海岛的一块大圆石O出发，向东1000m，向北1000m，向西500m，再向南750m，到达点P，即为宝藏的位置．
(1)画出坐标系确定宝藏的位置；
(2)确定点P的坐标．
【答案】
解：根据数据的特点，选择250作为单位长度，以大圆石O为原点，建立平面直角坐标系．
(1)如图，中心带有箭头的线是行动路线，点P的位置如图所示．
(2)点P的坐标是(500，250)
2.如图是一所学校的平面示意图，已知国旗杆的坐标为(-1，1)，写出其他几个建筑物位置的坐标．若国旗杆的坐标为(3，1)，则其他几个建筑物位置的坐标是否发生改变?若改变，请写出坐标，若不改变，请说明理由．
【答案与解析】
解：当国旗杆的坐标是(-1，1)时，校门的坐标是(-4，1)，实验楼的坐标是(2，-2)，教学楼的坐标是(2，1)，图书馆的坐标是(1，4)；若国旗杆的坐标是(3，1)，则校门的坐标是(0，1)，实验楼的坐标是(6，-2)，教学楼的坐标是(6，1)，图书馆的坐标是(5，4)．
【总结升华】根据已知点确定平面直角坐标系，进一步求得要求点的坐标．
举一反三：
【变式】（2019春?石家庄期末）如图，是象棋棋盘的一部分．若位于点（1，﹣2）上，位于点（3，﹣2）上，则位于点　 　上．

【答案】（﹣2，1）．
解：∵位于点（1，﹣2）上，位于点（3，﹣2）上，∴位于点（﹣2，1）上．
类型二、用坐标表示平移
3. （2019春?文安县期末）如如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2）．
（1）写出点A、B的坐标：
A（　　，　　）、B（　　，　　）
（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′（　　，　　）、B′（　　，　　）、C′（　　，　　）．
（3）△ABC的面积为　　．
【思路点拨】（1）A在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负；B的第一象限，横纵坐标均为正；
（2）让三个点的横坐标减2，纵坐标加1即为平移后的坐标；
（3）△ABC的面积等于边长为3，4的长方形的面积减去2个边长为1，3和一个边长为2，4的直角三角形的面积，把相关数值代入即可求解．
【答案与解析】
解：（1）写出点A、B的坐标：A（2，﹣1）、B（4，3）
（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′（0，0）、B′（2，4）、C′（﹣1，3）．
（3）△ABC的面积=3×4﹣2××1×3﹣×2×4=5．
【总结升华】用到的知识点为：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加；格点中的三角形的面积通常用长方形的面积减去若干直角三角形的面积表示．
举一反三：
【变式】已知三角形ABC三个顶点的坐标为A(-2，3)，B(-4，-1)，C(2，0)．三角形ABC中任意一点P(x0，y0)经平移后对应点为P1(x0+5，y0+3)．将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1：
（1）求A1B1C1的坐标．
（2）求三角形ABC和△A1B1C1的面积大小．
【答案】
解：（1）A1(3，6)，B1(1，2)，C1(7，3)．
(2)＝24-4-3-6＝11．
类型三、综合应用

4.在A市北300km处有B市，以A市为原点，东西方向的直线为x轴，南北方向的直线为y轴，并以50km为1个单位建立平面直角坐标系．根据气象台预报，今年7号台风中心位置现在C(10，6)处，并以40千米/时的速度自东向西移动，台风影响范围半径为200km，问经几小时后，B市将受到台风影响?并画出示意图．
【思路点拨】当台风中心移动到据B点200千米时，B市将受到台风影响，从而求出台风中心的移动距离，除以速度，即可求出所需时间．
【答案与解析】
解：∵台风影响范围半径为200km，∴当台风中心移动到点（4，6）时，B市将受到台风的影响．所用的时间为：50×（10-4）÷40=7.5（小时）．所以经过7.5小时后，B市将受到台风的影响．（注：图中的单位1表示50km）
【总结升华】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．
举一反三：
【变式】一长方形住宅小区长400m，宽300m，以长方形的对角线的交点为原点，过原点和较长边平行的直线为x轴，和较短边平行的直线为y轴，并取50m为1个单位．住宅小区内和附近有5处违章建筑，它们分别是A(3，3．5)，B(－2，2)，C(0，3．5)，D(－3，2)，E(－4，4)．在坐标系中标出这些违章建筑位置，并说明哪些在小区内，哪些不在小区内．
【答案】在小区内的违章建筑有B、D；不在小区内的违章建筑有A、E、C.
【巩固练习】
一、选择题
1．如图所示，某战役缴获敌人防御工事坐标地图碎片，依稀可见，一号暗堡的坐标为
(4，2)，四号暗堡的坐标为(-2，4)，原有情报得知：敌军指挥部的坐标为(0，0)，你认为敌军指挥部的位置大约是( )．
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
2．某镇初级中学在镇政府的南偏西60°方向上，且距离镇政府1500m，则如图所示的表示法正确的是( )．
3. （2019?雅安）已知△ABC顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（　　）
A．（7，1） B．（1，7） C．（1，1） D．（2，1）
4. （2019春?安县期末）点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（　　）
A．（﹣3，0） B．（﹣1，6） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣1，0）
5．如图所示，△ABC的顶点坐标分别为A(-4，-3)，B(0，-3)，C(-2，1)，将B点向右平移2个单位长度后，再向上平移4个单位长度，到达B1点．若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为( )．
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
6．如图所示，海上二救护中心收到一艘遇难船只的求救信号后，发现该船位于点A(5，-4)，并且正以缓慢的速度向北漂移，同时发现在点B(5，2)和C(-1，-4)处各有一艘救护船．如果救护船的速度相同，问救护中心应派哪处的救护船前去救护可以在最短时间内靠近遇难船只? ( )
A．派C处 B．派B处 C．派C或B处 D．无法确定
二、填空题
7. 以足球场中心O为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，1个单位表示1米，10号队员在足球场中心O处，向东传给10米远的5号队员，5号队员接着又向北传给20米远的9号队员，9号队员又向东传给15米远的15号队员，则此时足球位置的坐标为________．
8．（2019春?府谷县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为　 　．
9．如图，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．
10.在数轴上，用有序数对表示点的平移，若（2，1）得到的数为1，（1，－2）得到的数为3，则（3，5）是将表示数_____的点向_____平移_____个单位长度，得到的数为______.
11．某飞行监控中心发现某飞机从某个飞机场起飞后沿正南方向飞行100千米，然后向正西方向飞行300千米，又测得该机场的位置位于监控中心的西100千米，北300千米的地方，若以监控中心为坐标原点，以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，请指出该飞机现在的位置________(用坐标表示)．
12．(湖北黄石)初二三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位．用(m，n)表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为(m，n)，如果调整后的座位为(i，j)，则称该生作了平移[a，b]＝[m-i，n-j]，并称a+b为该生的位置数，若某生的位置数为10，则当m+n取最小时，mn的最大值为______．
三、解答题
13.小明要在电话中告诉小敏同学如图所示的图形，为了描述清楚，他使用了直角坐标系的知识，叙述得一清二楚，你知道小明是怎样描述的吗?
14．（2019春?江西期末）王霞和爸爸、妈妈到人民公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道游乐园D的坐标为（2，﹣2），你能帮她求出其他各景点的坐标吗？
15．已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度．在平面直角坐标系中，现有一动点P第1次从原O出发按甲方式运动到点P1，第2次从点P1出发按乙方式运动到点P2，第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3，第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4，……，依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在位置P11的坐标是什么?请你画出运动的路线．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】B；
【解析】根据点的坐标分为横坐标和纵坐标，横坐标是点到y轴的距离，纵坐标是点到x轴的距离，即可确定原点的位置．
2. 【答案】A；
3. 【答案】C；
【解析】∵点A（0，6）平移后的对应点A1为（4，10），4﹣0=4，10﹣6=4，
∴△ABC向右平移了4个单位长度，向上平移了4个单位长度，
∴点B的对应点B1的坐标为（﹣3+4，﹣3+4），即（1，1）．
4. 【答案】A．
5. 【答案】B；
【解析】解：△ABC的面积为S1=，
将B点平移后得到B1点的坐标是（2，1），此时△AB1C的面积为S2=，
所以S1=S2．故选B．
6. 【答案】B．
二.填空题
7. 【答案】(25，20)；
【解析】10+15＝25，
8. 【答案】（1，3）或（5，1）．
【解析】①如图1，当A平移到点C时，
∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），
∴点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，平移后的B坐标为（1，3）；
②如图2，当B平移到点C时，
∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），
∴点B的横坐标增大了3，纵坐标增大2，∴平移后的A坐标为（5，1）；
故答案为：（1，3）或（5，1）．
9. 【答案】504；
【解析】（元）.
10．【答案】3,左，5，-2；
【解析】由（2，1）得到的数为1，（1，－2）得到的数为3，可得在数轴上，用有序数对表示点的平移的规律：第一个数表示数轴上点的开始位置，第二个数表示在数轴上平移的方向和距离．
11.【答案】(-400，200)；
12．【答案】36；
【解析】依题意，，所以，又1≤≤6，1≤≤6，，当m+n取最小值时，即i+j最小，而当时，取到最小值2，可得m+n的最小值为12，所以当时， 有最大值36．
三.解答题
13.【解析】
解：以O为坐标原点，以OA、OE所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，A(8，0)，B(8，2)，C(3，2)，D(3，5)，E(0，5)，O(0，0)．
14.【解析】
解：由题意可知，本题是以点F为坐标原点（0,0），FA为y轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则A、B、C、E的坐标分别为：A（0，4）；B（-3，2）；C（-2，-1）；E （3，3）.
15.【解析】
解：由题意：动点P经过第11次运动，那么按甲运动了6次，按乙运动了5次，
横坐标为：2×6-3×5=-3，纵坐标为：1×6-2×5=-4，
∴P11的坐标是（-3，-4）．故答案为：（-3，-4）．
图略．