六年级下册数学教案-6.1 正比例的意义苏教版
文档属性
| 名称 | 六年级下册数学教案-6.1 正比例的意义苏教版 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 18.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-09 11:25:18 | ||
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文档简介
《正比例的意义》
教材简解：
本节课是在学生学习了比例的相关知识，掌握了常见数量关系的基础上，让学生结合实际情境认识成比例的量，学会从变与不变的角度认识两个量之间的关系，初步体会函数思想。
例1以表格形式呈现“一辆汽车行驶的时间与路程”的几组数据，通过引导学生观察、计算和比较，让学生初步感知变量的特点，理解正比例的意义，凸显了概念的形成过程，有利于学生在建立概念的同时，积累一些数学活动经验，感悟数学抽象的过程和方法，发展数学思考，增强探索意识。
“试一试”继续以列表方式呈现“购买同一种铅笔的总价与数量”的几组数据，通过填表、计算，用式子表示它与总价、数量之间的关系，判断是否成正比例，帮助学生获得更丰富的感性认识。在例1和“试一试”的基础上，引导学生经历“用字母表示具体的数量，用字母式子表示常见数量关系，用字母式子表示正比例关系”的过程，这是概念形成的重要环节，也是发展数学思考的极好机会。
目标预设：
1.使学生结合具体的实例，认识成正比例的量，初步理解正比例的意义，能正确判断两种相关联的量是不是成正比例。
2.使学生在认识成正比例的量的过程中，初步体会变量的特点，感受用数学模型表示特定数量关系及其变化规律的过程和方法，获得从生活现象中抽象出数学知识和规律的意识，发展数学思维能力。
3.使学生在参与数学活动的过程中，进一步体会数学和日常生活的联系，获得一些学习成功的体验，激发对数学学习的兴趣。
教学重点：结合实际情境认识成正比例的量的特点，加深对正比例量的认识。
教学难点：能根据正比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例。
设计理念：学生是学习的主人，教师是学生学习的组织者和引领者。教学设计以学生的年龄特征和已有的知识水平为起点，用教材教学生“学数学”。通过对教材内容进行创造性的加工和处理，为学生创设宽松、和谐的学习氛围，给学生充分思考、交流的空间。让学生通过观察、分析、比较、归纳、应用等学习活动，经历发现问题、解决问题、探索研究、创新求异的自主探究过程。
设计思路：列表呈现多种实例，为学生提供了更自由探究的空间，通过观察与比较认识“相关联的量”，通过计算和分析认识成正比例的量，用字母式子归纳与概括抽象正比例的意义形成概念。通过练习与拓展，让不同的学生在学习中得到不同的发展。
教学过程：
课前准备性活动：
出一道数学题考考你：牧羊人放养了25头牛，20只羊，问这个牧羊人的年龄是多少？
预设：1、答：没有关系，无法知道。
师：牧羊人的年龄与牛和羊的头数没有关系，而我们要解决的数学问题与已知条件应该是有关系（关联）。如果已知条件发生变化，那结果？（也发生变化）这样的因果关系用数学的语言称之为“相关联”。（板书：相关联）你能说说生活中，那些事物是相关联的？
2、答：45岁。
师：我们对某一类数学问题的解答总结出一些固定模式，解答时习惯于套用这些固定的模式进行解答，这就是我们常说的“思维定势”。牛顿和苹果的故事听过吗？在别人眼里早已司空见惯的“苹果落地”，却在善于发现、思考的牛顿，发现了“万有引力”，所以我们也要突破思维定势，认真用心观察生活，动脑思考问题，就有可能发现世界上的许多奥秘。
回顾刚才的题目，问的牧羊人的年龄与牛和羊的头数有关系吗？（没有）而我们要解决的数学问题与已知条件应该是有关系（关联）。如果已知条件发生变化，那结果？（也发生变化）这样的因果关系用数学的语言称之为“相关联”。（板书：相关联）你能说说生活中，那些事物是相关联的？
二、联系生活理解“相关联的量”
1、举例：（预设：生活中：穿衣和天气有联系，天气越冷，人们穿的衣服就越多，反之，天气越暖和，人们穿的衣服就越少；学习中：学习方法和学习效率有联系，学习方法越科学，学习效率越高，花的时间少，学习成绩好，反之，学习方法不科学，学习效率低，花的时间多，学习成绩反而差。
再如路程相同时，车子开的越快，需要的时间会越少或者买相同的书越多，花的钱越多……
这节课我们就来共同探索生活中一些相关联的量之间的变化规律，相信同学们经过自己用心观察、积极思考与交流合作，一定会发现生活中的奥秘。
2、理解数学中相关联的量
（1）出示表一
甲汽车在高速公路上行驶，行驶的时间和路程如下表
时间/时
1
2
3
4
5
6
……
路程/千米
80
160
240
320
400
480
……
（2）出示表二、三、四
表二：乙汽车在高速公路上行驶，行驶的时间和路程如下表
时间/时
1
2
3
4
5
6
……
路程/千米
82
164
240
328
410
492
……
表三：用24元去购买笔记本，数量和单价如下表
数量/本
1
2
3
4
5
6
……
单价/元
24
12
8
6
4.8
4
……
表四
内有100元的公交市民卡，已用钱数和还剩钱数如下表
已用钱数/元
10
15
20
25
30
35
……
还剩钱数/元
90
85
80
75
70
65
……
（3）每张表中的两种量都是相关联的量吗？仔细观察，这四组相关联量的变化情况，相同吗？
预设：
1、表一和表二中一种量变大，另一种量也随着变大，一种量变小，另一种量也随着变小（它们变化一致）。
2、表三和表四中，一种量变大，另一种量反而变小，一种量变小，另一种量反而变大（它们变化不一致）。
今天我们主要研究两种量变化一致的（表一和表二）。
【设计说明：正比例关系是一种特殊的函数关系，建立正比例的概念之前，首先要让学生对变量有比较充分的感知。四张表格的呈现两种变化情况，通过观察与比较理解“一个量变大，另一量随着变大；一个量变小，另一个量随着变小”是“正”的基本变化规律，初步感知变量的特点，也为下一节课“一个量变大，另一量反而变小”——“反”的变化规律的研究埋下伏笔。】
三、自主合作，探究发现
1.留表一和表二：这两张表中相关联的量变化一致，再仔细观察比较，变化相同吗？
（1）先自己观察（同时可以在自备本上写下自己的发现），再同座互相说一说“你有什么发现？”（表一，变化有规律，表二变化没有规律）
（2）交流
（3）验证：根据同学的发现，在自备本上计算几组相对应的路程和时间的比的比值（或者除法算式），你发现了什么？
生：表一中“路程÷时间=80”，速度相同；
表二中“路程÷时间＝？有时相同，有时却不同，没有规律（隐去表二）
师根据学生的回答板书：80∶1，（80÷1两个数相除可以用比来表示；前项除以后项所得的商叫做比值；=80）160∶2（）=80；240∶3（）=80……=80
师：比值80表示什么？(速度) =速度（相机板书）
2.整理表一的特点
（1）表一中的一个量随着另一个量变化。
哪两个量在变化？（路程与时间）是怎么变化的？
路程随着时间越多而变多。（如果时间变少呢？……）
用一句话概括：时间变化，路程也随着变化。
师：说明路程和时间两个量是两种……（相关联的量）
谁能把这些发现用自己的话再说一次（路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化）
表一中的路程和时间在有规律的变化。
两个相关联的量变化有什么规律？
生：路程随着时间的不断变化而不断变化，但路程与时间的比的比值都等于80，（板书）比值不变（速度不变）
归纳的很好，谁再来说一遍？
只要是路程和时间，就组成比吗？ 比如：80千米与2小时？
生：不，要对应的。（路程和对应时间的比）
（3）归纳表一中两个相关联的量的特点
谁能把两个特点连起来说一下
路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化，路程和对应时间的比的比值相等（比值一定）
（请学生重复说几次）
3.揭示正比例的定义：通过刚才的观察探索，我们发现表一中的“路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化，路程和对应时间的比的比值一定。“这时候我们就说行驶的路程和时间成正比例关系。【板书：正比例关系】
路程和时间这两个相关联的量是一对成正比例的量
4.比较其它表格，感知正比例的意义
出示表二：这里也是路程和时间，成正比例吗？为什么？
这两个量也是相关联的量，路程也随着时间的变化而变化，但速度却发生的变化……
要判断两个量是否成正比例，必须满足什么条件？
生汇报自己的想法，师及时表扬和记录。
板书： 相关联的量（一个量随着另一个量的变化而变化——变化一致）
比值一定（相除关系）
表二提醒我们验证时应该严谨、认真，别让思维定势影响你的判断）
【设计说明：表一和表二都是汽车行驶时间与路程的变化数据，通过再次观察和比较感知生活中并非所有变量的变化都有规律，从而引导学生研究有规律的变量。通过交流“时间和路程是按什么样的规律变化的，既为学生自主发现路程和时间的比的比值不变规律提供了足够的空间，也凸显了学生的学习主体地位。使每个学生都能在观察、比较、分析、归纳等具体活动中经历由浅入深、由表及里的学习过程，获得对正比例意义的充分感知。】
5.试一试
（1）P57试一试，你能完成表格吗？这里让我们研究哪两个量，初步观察它们成正比例吗？说说你是怎么看的？
生按特点描述（如有遗漏），师按小题目引导提问
（2）汇报，你猜测的对吗？（我的判断是正确的，……）
①总价随着 的变化而变化
②=0.4 =0.4 =0.4 ……比值一定
③比值表示（单价）？
=单价（一定）
④学生完整阐述“为什么成正比例”。
出示表三：同样是购买物品，这两个量是一对成正比例的量吗？你能说说你的想法吗？
①那它们是两个相关联的量吗？本数变多，单价反而变小了（两个相关联的量并不一定是成正比例的量，但成正比例的量一定是两种相关联的量）
②比值相同吗？单价和数量没有相除关系。
归纳与概括
成正比例的两个量有什么特点？生：两个量是两个相关联的量（两个量相关联）
两个量的比的比值一定（你能用一个式子来概括吗？）
生（预设：=c)…… =k(一定）
【设计说明：继续让学生结合具体实例进一步感知成正比例的量的特点，积累对成正比例的量的感性认识，同时通过表三与“试一试”的比较，为理解正比例的意义提供更丰富的感性经验。通过抽象与概括得到正比例关系的字母表达式，既可以促进学生主动把已经积累的感性经验上升到理性认识，获得对正比例意义的准确把握，又有利于学生初步感悟数学抽象的过程和方法，体验符号化的思想，发展数学思考。】
四、练习巩固，进一步理解正比例
“练一练”：出示题1吗？
说说自己的判断结果及理由
2.“找一找”：生活中哪两个量也成正比例关系
3.“辨一辨”话中的两种量成正比例吗？
验证操作：正方形的周长与边长？正方形的面积与边长
画一画：将边长为1的正方形按2∶1、3∶1、4∶1的比画出正方形放大后的图形。
填一填：完成表格。
辨一辨：判断并验证（求比值）
【设计说明：紧紧围绕教学重难点，有层次、有针对性地设计课堂练习，有篮球学生进一步加深对正比例意义的理解，掌握判断的过程与方法，有利于学生再次体会变量的特点，感悟函数思想，发展用数学语言表达的能力。】
五、全课总结、升华认识
1.今天你认识了（正比例）？这是一种怎样的关系？
思考：研究的成正比例的量，对我们生活会有什么帮助吗？
2.“你知道吗”在2600多年以前的古希腊，有个叫泰勒斯的人，在物体影长与高度一样时，通过测量影子的长度测量出埃及金字塔的高度。最高的胡夫金字塔大概是146米多。
3.太阳高度（太阳光入射方向与地平地的夹角）
同一时间同一地点太阳高度相同，实物长度与影长成正比例。
回顾今天学习的正比例知识，你能想办法测量出学校的旗杆高度吗？
【设计说明：通过对全课的总结帮助学生在头脑中建立正比例的概念，讲述金字塔的测量故事让学生感受正比例知识在日常生活与生产中的广泛应用，锻炼学生用数学的眼光观察现实生活的意识。通过测量学校旗杆的高度发展学生解决问题的能力。】
板书设计：
正比例的意义
相关联的量 比值（一定）
=80 =80 =80 …… = 速度（一定）
=0.4 =0.4 =0.4 …… = 单价（一定）
= k(一定）
正比例关系
教材简解：
本节课是在学生学习了比例的相关知识，掌握了常见数量关系的基础上，让学生结合实际情境认识成比例的量，学会从变与不变的角度认识两个量之间的关系，初步体会函数思想。
例1以表格形式呈现“一辆汽车行驶的时间与路程”的几组数据，通过引导学生观察、计算和比较，让学生初步感知变量的特点，理解正比例的意义，凸显了概念的形成过程，有利于学生在建立概念的同时，积累一些数学活动经验，感悟数学抽象的过程和方法，发展数学思考，增强探索意识。
“试一试”继续以列表方式呈现“购买同一种铅笔的总价与数量”的几组数据，通过填表、计算，用式子表示它与总价、数量之间的关系，判断是否成正比例，帮助学生获得更丰富的感性认识。在例1和“试一试”的基础上，引导学生经历“用字母表示具体的数量，用字母式子表示常见数量关系，用字母式子表示正比例关系”的过程，这是概念形成的重要环节，也是发展数学思考的极好机会。
目标预设：
1.使学生结合具体的实例，认识成正比例的量，初步理解正比例的意义，能正确判断两种相关联的量是不是成正比例。
2.使学生在认识成正比例的量的过程中，初步体会变量的特点，感受用数学模型表示特定数量关系及其变化规律的过程和方法，获得从生活现象中抽象出数学知识和规律的意识，发展数学思维能力。
3.使学生在参与数学活动的过程中，进一步体会数学和日常生活的联系，获得一些学习成功的体验，激发对数学学习的兴趣。
教学重点：结合实际情境认识成正比例的量的特点，加深对正比例量的认识。
教学难点：能根据正比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例。
设计理念：学生是学习的主人，教师是学生学习的组织者和引领者。教学设计以学生的年龄特征和已有的知识水平为起点，用教材教学生“学数学”。通过对教材内容进行创造性的加工和处理，为学生创设宽松、和谐的学习氛围，给学生充分思考、交流的空间。让学生通过观察、分析、比较、归纳、应用等学习活动，经历发现问题、解决问题、探索研究、创新求异的自主探究过程。
设计思路：列表呈现多种实例，为学生提供了更自由探究的空间，通过观察与比较认识“相关联的量”，通过计算和分析认识成正比例的量，用字母式子归纳与概括抽象正比例的意义形成概念。通过练习与拓展，让不同的学生在学习中得到不同的发展。
教学过程：
课前准备性活动：
出一道数学题考考你：牧羊人放养了25头牛，20只羊，问这个牧羊人的年龄是多少？
预设：1、答：没有关系，无法知道。
师：牧羊人的年龄与牛和羊的头数没有关系，而我们要解决的数学问题与已知条件应该是有关系（关联）。如果已知条件发生变化，那结果？（也发生变化）这样的因果关系用数学的语言称之为“相关联”。（板书：相关联）你能说说生活中，那些事物是相关联的？
2、答：45岁。
师：我们对某一类数学问题的解答总结出一些固定模式，解答时习惯于套用这些固定的模式进行解答，这就是我们常说的“思维定势”。牛顿和苹果的故事听过吗？在别人眼里早已司空见惯的“苹果落地”，却在善于发现、思考的牛顿，发现了“万有引力”，所以我们也要突破思维定势，认真用心观察生活，动脑思考问题，就有可能发现世界上的许多奥秘。
回顾刚才的题目，问的牧羊人的年龄与牛和羊的头数有关系吗？（没有）而我们要解决的数学问题与已知条件应该是有关系（关联）。如果已知条件发生变化，那结果？（也发生变化）这样的因果关系用数学的语言称之为“相关联”。（板书：相关联）你能说说生活中，那些事物是相关联的？
二、联系生活理解“相关联的量”
1、举例：（预设：生活中：穿衣和天气有联系，天气越冷，人们穿的衣服就越多，反之，天气越暖和，人们穿的衣服就越少；学习中：学习方法和学习效率有联系，学习方法越科学，学习效率越高，花的时间少，学习成绩好，反之，学习方法不科学，学习效率低，花的时间多，学习成绩反而差。
再如路程相同时，车子开的越快，需要的时间会越少或者买相同的书越多，花的钱越多……
这节课我们就来共同探索生活中一些相关联的量之间的变化规律，相信同学们经过自己用心观察、积极思考与交流合作，一定会发现生活中的奥秘。
2、理解数学中相关联的量
（1）出示表一
甲汽车在高速公路上行驶，行驶的时间和路程如下表
时间/时
1
2
3
4
5
6
……
路程/千米
80
160
240
320
400
480
……
（2）出示表二、三、四
表二：乙汽车在高速公路上行驶，行驶的时间和路程如下表
时间/时
1
2
3
4
5
6
……
路程/千米
82
164
240
328
410
492
……
表三：用24元去购买笔记本，数量和单价如下表
数量/本
1
2
3
4
5
6
……
单价/元
24
12
8
6
4.8
4
……
表四
内有100元的公交市民卡，已用钱数和还剩钱数如下表
已用钱数/元
10
15
20
25
30
35
……
还剩钱数/元
90
85
80
75
70
65
……
（3）每张表中的两种量都是相关联的量吗？仔细观察，这四组相关联量的变化情况，相同吗？
预设：
1、表一和表二中一种量变大，另一种量也随着变大，一种量变小，另一种量也随着变小（它们变化一致）。
2、表三和表四中，一种量变大，另一种量反而变小，一种量变小，另一种量反而变大（它们变化不一致）。
今天我们主要研究两种量变化一致的（表一和表二）。
【设计说明：正比例关系是一种特殊的函数关系，建立正比例的概念之前，首先要让学生对变量有比较充分的感知。四张表格的呈现两种变化情况，通过观察与比较理解“一个量变大，另一量随着变大；一个量变小，另一个量随着变小”是“正”的基本变化规律，初步感知变量的特点，也为下一节课“一个量变大，另一量反而变小”——“反”的变化规律的研究埋下伏笔。】
三、自主合作，探究发现
1.留表一和表二：这两张表中相关联的量变化一致，再仔细观察比较，变化相同吗？
（1）先自己观察（同时可以在自备本上写下自己的发现），再同座互相说一说“你有什么发现？”（表一，变化有规律，表二变化没有规律）
（2）交流
（3）验证：根据同学的发现，在自备本上计算几组相对应的路程和时间的比的比值（或者除法算式），你发现了什么？
生：表一中“路程÷时间=80”，速度相同；
表二中“路程÷时间＝？有时相同，有时却不同，没有规律（隐去表二）
师根据学生的回答板书：80∶1，（80÷1两个数相除可以用比来表示；前项除以后项所得的商叫做比值；=80）160∶2（）=80；240∶3（）=80……=80
师：比值80表示什么？(速度) =速度（相机板书）
2.整理表一的特点
（1）表一中的一个量随着另一个量变化。
哪两个量在变化？（路程与时间）是怎么变化的？
路程随着时间越多而变多。（如果时间变少呢？……）
用一句话概括：时间变化，路程也随着变化。
师：说明路程和时间两个量是两种……（相关联的量）
谁能把这些发现用自己的话再说一次（路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化）
表一中的路程和时间在有规律的变化。
两个相关联的量变化有什么规律？
生：路程随着时间的不断变化而不断变化，但路程与时间的比的比值都等于80，（板书）比值不变（速度不变）
归纳的很好，谁再来说一遍？
只要是路程和时间，就组成比吗？ 比如：80千米与2小时？
生：不，要对应的。（路程和对应时间的比）
（3）归纳表一中两个相关联的量的特点
谁能把两个特点连起来说一下
路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化，路程和对应时间的比的比值相等（比值一定）
（请学生重复说几次）
3.揭示正比例的定义：通过刚才的观察探索，我们发现表一中的“路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化，路程和对应时间的比的比值一定。“这时候我们就说行驶的路程和时间成正比例关系。【板书：正比例关系】
路程和时间这两个相关联的量是一对成正比例的量
4.比较其它表格，感知正比例的意义
出示表二：这里也是路程和时间，成正比例吗？为什么？
这两个量也是相关联的量，路程也随着时间的变化而变化，但速度却发生的变化……
要判断两个量是否成正比例，必须满足什么条件？
生汇报自己的想法，师及时表扬和记录。
板书： 相关联的量（一个量随着另一个量的变化而变化——变化一致）
比值一定（相除关系）
表二提醒我们验证时应该严谨、认真，别让思维定势影响你的判断）
【设计说明：表一和表二都是汽车行驶时间与路程的变化数据，通过再次观察和比较感知生活中并非所有变量的变化都有规律，从而引导学生研究有规律的变量。通过交流“时间和路程是按什么样的规律变化的，既为学生自主发现路程和时间的比的比值不变规律提供了足够的空间，也凸显了学生的学习主体地位。使每个学生都能在观察、比较、分析、归纳等具体活动中经历由浅入深、由表及里的学习过程，获得对正比例意义的充分感知。】
5.试一试
（1）P57试一试，你能完成表格吗？这里让我们研究哪两个量，初步观察它们成正比例吗？说说你是怎么看的？
生按特点描述（如有遗漏），师按小题目引导提问
（2）汇报，你猜测的对吗？（我的判断是正确的，……）
①总价随着 的变化而变化
②=0.4 =0.4 =0.4 ……比值一定
③比值表示（单价）？
=单价（一定）
④学生完整阐述“为什么成正比例”。
出示表三：同样是购买物品，这两个量是一对成正比例的量吗？你能说说你的想法吗？
①那它们是两个相关联的量吗？本数变多，单价反而变小了（两个相关联的量并不一定是成正比例的量，但成正比例的量一定是两种相关联的量）
②比值相同吗？单价和数量没有相除关系。
归纳与概括
成正比例的两个量有什么特点？生：两个量是两个相关联的量（两个量相关联）
两个量的比的比值一定（你能用一个式子来概括吗？）
生（预设：=c)…… =k(一定）
【设计说明：继续让学生结合具体实例进一步感知成正比例的量的特点，积累对成正比例的量的感性认识，同时通过表三与“试一试”的比较，为理解正比例的意义提供更丰富的感性经验。通过抽象与概括得到正比例关系的字母表达式，既可以促进学生主动把已经积累的感性经验上升到理性认识，获得对正比例意义的准确把握，又有利于学生初步感悟数学抽象的过程和方法，体验符号化的思想，发展数学思考。】
四、练习巩固，进一步理解正比例
“练一练”：出示题1吗？
说说自己的判断结果及理由
2.“找一找”：生活中哪两个量也成正比例关系
3.“辨一辨”话中的两种量成正比例吗？
验证操作：正方形的周长与边长？正方形的面积与边长
画一画：将边长为1的正方形按2∶1、3∶1、4∶1的比画出正方形放大后的图形。
填一填：完成表格。
辨一辨：判断并验证（求比值）
【设计说明：紧紧围绕教学重难点，有层次、有针对性地设计课堂练习，有篮球学生进一步加深对正比例意义的理解，掌握判断的过程与方法，有利于学生再次体会变量的特点，感悟函数思想，发展用数学语言表达的能力。】
五、全课总结、升华认识
1.今天你认识了（正比例）？这是一种怎样的关系？
思考：研究的成正比例的量，对我们生活会有什么帮助吗？
2.“你知道吗”在2600多年以前的古希腊，有个叫泰勒斯的人，在物体影长与高度一样时，通过测量影子的长度测量出埃及金字塔的高度。最高的胡夫金字塔大概是146米多。
3.太阳高度（太阳光入射方向与地平地的夹角）
同一时间同一地点太阳高度相同，实物长度与影长成正比例。
回顾今天学习的正比例知识，你能想办法测量出学校的旗杆高度吗？
【设计说明：通过对全课的总结帮助学生在头脑中建立正比例的概念，讲述金字塔的测量故事让学生感受正比例知识在日常生活与生产中的广泛应用，锻炼学生用数学的眼光观察现实生活的意识。通过测量学校旗杆的高度发展学生解决问题的能力。】
板书设计：
正比例的意义
相关联的量 比值（一定）
=80 =80 =80 …… = 速度（一定）
=0.4 =0.4 =0.4 …… = 单价（一定）
= k(一定）
正比例关系