沪科版八年级数学下册《第16章 二次根式》单元试题及解析

沪科版八年级数学下册《第16章二次根式》单元试题及解析
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
下列根式中，不是最简二次根式的是(????)
A.
??
2
+1
B.
2??+1
C.
0.3??
D.
2??
4
要使式子
??+1
有意义，x的取值范围是(????)
A. ??≠1 B. ??≠?1 C. ??≥1 D. ??≥?1
已知??=
5
+
3
，??=
2
5
?
3
，则a与b的关系是(????)
A. ??=?? B. ????=1 C. ??=??? D. ????=?5
若
??
2
=???，则a是(????)
A. 正数 B. 负数 C. 正数或零 D. 负数或零
下列各式中，对任意实数a都成立的是(????)
A. (
??
)
2
=?? B.
??
?
??
=??C.
??
2
=|??| D. 若
??
2
=
??
2
，则
??
=
??
下列运算正确的是(????)
A. 2+
3
=2
3
B. 5
2
?
2
=5C. 5
2??
+
2??
=6
2??
D.
??
+2
??
=3
????
计算|2?
5
|+|4?
5
|的值是(????)
A. ?2 B. 2 C. 2
5
?6 D. 6?2
5
小明的作业本上有以下四题：①
16
??
4
=4
??
2
；②
5??
?
10??
=5
2
??；③??
1
??
=
??
2
?
1
??
=
??
；④
8??
÷
2??
=4.做错的题是(????)
A. ① B. ② C. ③ D. ④
下列四个命题，正确的有(????)个．①有理数与无理数之和是有理数???? ②有理数与无理数之和是无理数③无理数与无理数之和是无理数???? ④无理数与无理数之积是无理数．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
已知等腰三角形的两边长为2
3
和5
2
，则此等腰三角形的周长为(????)
A. 4
3
+5
2
B. 2
3
+10
2
C. 4
3
+10
2
D. 4
3
+5
2
或2
3
+10
2
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
计算：
3
2
27
=______．
若一个长方体的长为2
6
????，宽为
3
????，高为
2
????，则它的体积为______??
??
3
．
计算(
2
+1
)
2015
(
2
?1
)
2014
= ______ ．
已知
??
1
=
3
+
2
，
??
2
=
3
?
2
，则
??
1
2
+
??
2
2
=______．
三、计算题（本大题共3小题，共26分）
计算：(1)9
3
?7
12
+5
48
；(2)
48
÷
3
?
1
2
×
12
+
24
．
计算：(1)(
6
?2
15
)×
3
?6
1
2
????(2)(
3
?2
)
2
．
阅读下列运算过程：
1
3
=
3
3
×
3
=
3
3
，
2
5
=
2
5
5
×
5
=
2
5
5
，
1
2
+1
=
1×(
2
?1)
(
2
+1)(
2
?1)
=
2
?1
2?1
=
2
?1，
1
3
?
2
=
1×(
3
+
2
)
(
3
?
2
)(
3
+
2
)
=
3
+
2
3?2
=
3
+
2
，数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”.通过分母有理化，可把不是最简的二次根式化成最简二次根式．请参考上述方法，解决下列问题：(1)化简：
2
6
=______，
2
5
?
3
=______，
1
??+1
+
??
=______；(2)计算：
1
1+
5
+
1
5
+
9
+
1
9
+
13
+…+
1
165
+
169
；(3)计算：
1
3+
3
+
1
5
3
+3
5
+
1
7
5
+5
7
+…+
1
81
79
+79
81
．
四、解答题（本大题共1小题，共14分）
探究题：
3
2
=3，
0．
5
2
=0.5，
(?6
)
2
=______，
(?
3
4
)
2
=______，
0
2
=0．根据计算结果，回答：(1)
??
2
一定等于a吗？如果不是，那么
??
2
=______；(2)利用你总结的规律，计算：①若??<2，则
(???2
)
2
=______；②
(3.14???
)
2
=______．(3)若a，b，c为三角形的三边长，化简：
(??+?????
)
2
+
(????????
)
2
+
(??+?????
)
2
． 答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由最简二次根式的定义可知选项A、B、D都是最简二次根式；C、
0.3??
=
30??
10
，被开方数含小数，不是最简二次根式．故选：C．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2.【答案】D
【解析】解：由题意得，??+1≥0，解得??≥?1．故选：D．根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．3.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式分母有理化是解题关键．根据平方差公式，可分母有理化，根据实数的大小比较，可得答案．【解答】解：??=
2
5
?
3
=
(
5
+
3
)(
5
?
3
)
5
?
3
=
5
+
3
，??=
5
+
3
，∴??=??．故选A．4.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了二次根式的非负性，
??
2
=|??|，???为非负数，即可得a为负数或0，根据二次根式的非负性进行求解即可，
??
2
=|??|，???为非负数，即可得a为非正数．【解答】解：∵
??
2
=|??|为非负数，∴???为非负数，∴??为负数或0，故选D．5.【答案】C
【解析】解：A、当a为负数时，
??
无意义，故错误；B、当a为负数时，
??
无意义，故错误；C、
??
2
=|??|，等式成立，故正确；D、当a为负数时，
??
无意义，故错误；故选：C．根据二次根式乘法以及二次根式的性质分别判断．本题考查了二次根式的乘除法以及二次根式的性质与化简，二次根式的基本性质：①??≥0；
??
≥0(双重非负性).②(
??
)
2
=??(??≥0)(任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式).③
??
2
=??(??≥0)(算术平方根的意义)．6.【答案】C
【解析】解：A、原式不能合并，错误；B、原式=4
2
，错误；C、原式=6
2??
，正确；D、原式不能合并，错误，故选：C．原式各项合并得到结果，即可做出判断．此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7.【答案】B
【解析】解：原式=
5
?2+4?
5
=2．故选B．先进行绝对值的化简，然后合并同类二次根式求解．本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握绝对值的化简．8.【答案】D
【解析】解：①
16
??
4
=4
??
2
，正确；②
5??
?
10??
=5
2
??，正确；③??
1
??
=
??
2
?
1
??
=
??
，正确；④
8??
÷
2??
=
4
=2，故此选项错误．故选：D．利用二次根式的性质进而化简求出即可．此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键．9.【答案】A
【解析】解：①有理数与无理数的和一定是有理数，故本小题错误；②有理数与无理数的和一定是无理数，故本小题正确；③例如?
2
+
2
=0，0是有理数，故本小题错误；④例如(?
2
)×
2
=?2，?2是有理数，故本小题错误．故选A．根据无理数、有理数的定义及实数的混合运算进行解答即可．本题考查的是实数的运算及无理数、有理数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．10.【答案】B
【解析】解：∵2×2
3
<5
2
∴只能是腰长为5
2
∴等腰三角形的周长=2×5
2
+2
3
=10
2
+2
3
．故选B．先由三角形的三边关系确定出第三边的长，再求周长．本题考查了等腰三角形的性质：两腰相等，注意要用三角形的三边关系确定出第三边．11.【答案】
6
3

【解析】解：原式=
3
2
×
3
27
×
3
=
3
6
9
=
6
3
．故答案为：
6
3
．原式分子分母乘以
3
，计算即可得到结果．此题考查了分母有理化，找出分母的有理化因式是解本题的关键．12.【答案】12
【解析】解：依题意得，正方体的体积为：2
6
×
3
×
2
=12??
??
3
．故答案为：12．首先根据正方体的体积列出计算式，然后利用二次根式的乘除法法则计算即可求解．此题主要考查了二次根式的应用，同时也利用了正方体的体积公式，正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．13.【答案】
2
+1
【解析】解：原式=[(
2
+1)?(
2
?1)
]
2014
?(
2
+1) =(2?1
)
2014
?(
2
+1) =
2
+1．故答案为
2
+1．先根据积的乘方得到原式=[(
2
+1)?(
2
?1)
]
2014
?(
2
+1)，然后利用平方差公式计算．本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．14.【答案】10
【解析】解：∵
??
1
=
3
+
2
，
??
2
=
3
?
2
，∴
??
1
2
+
??
2
2
=(
??
1
+
??
2
)
2
?2
??
1
??
2
=(
3
+
2
+
3
?
2
)
2
?2(
3
+
2
)×(
3
?
2
)=12?2=10．故答案为：10．首先把
??
1
2
+
??
2
2
=(
??
1
+
??
2
)
2
?2
??
1
??
2
，再进一步代入求得数值即可．此题考查二次根式的混合运算，把代数式利用完全平方公式化简是解决问题的关键．15.【答案】解：(1)原式=9
3
?14
3
+20
3
=15
3
；(2)原式=
48÷3
?
1
2
×24
+2
6
=4?
6
+2
6
=4+
6
．
【解析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；(2)先利用二次根式的除法和乘法法则运算，然后合并即可．本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．16.【答案】解：(1)原式=
6×3
?2
15×3
?3
2
=3
2
?6
5
?3
2
=?6
5
；(2)原式=3?4
3
+4=7?4
3
．
【解析】(1)先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；(2)利用完全平方公式计算．本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．17.【答案】(1)
6
3
，
5
+
3
，
??+1
?
??
；(2)原式=
5
?1
4
+
9
?
5
4
+…+
169
?
165
4
=
13?1
4
=3；(3)原式=
1
3
(
3
+1)
+
1
15
(
5
+
3
)
+…+
1
2003
(
49
+
47
)
=
3
?1
2
3
+
5
?
3
2
15
+…+
49
?
47
2
2003
=
1
2
(1?
1
3
+
1
3
?
1
15
+
1
47
?
1
49
)=
1
2
×(1?
1
7
)=
3
7
．
【解析】解：(1)
2
6
=
2
6
6
×
6
=
6
3
；
2
5
?
3
=
2(
5
+
3
)
(
5
?
3
)(
5
+
3
)
=
5
+
3
；
1
??+1
+
??
=
??+1
?
??
(
??+1
+
??
)(
??+1
?
??
)
=
??+1
?
??
；故答案为：
6
3
；
5
+
3
；
??+1
?
??
；(2)原式各项分母有理化，计算即可得到结果；(3)原式各项分母有理化，计算即可得到结果．此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．18.【答案】解：6；
3
4
；(1)|??|；(2)①2???；②???3.14(3)∵??+??>??，????，∴??+?????>0，????????<0，??+?????>0，∴原式=|??+?????|+|????????|+|??+?????|=??+??????(????????)+(??+?????)=??+??+??．
【解析】【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的化简求值.解题的关键是正确理解题目所给出的相关例子，本题属于基础题型．根据二次根式的性质即可求出答案．解：
(?6
)
2
=
36
=6，
(?
3
4
)
2
=
9
16
=
3
4
，故答案为6；
3
4
；(1)由题意可知，
??
2
=|??|，故答案为|??|；(2)①当??<2时，???2<0，∴
(???2
)
2
=|???2|=?(???2)=2???；②∵3.14???<0，∴
(3.14???
)
2
=|3.14???|=???3.14，故答案为①2???；②???3.14；(3)见答案．