2019秋北师版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定学案(共2课时)

正方形的性质与判定
第1课时
正方形的性质
【学习目标】
掌握正方形的概念和性质，并会用它们进行有关的计算。
【学习过程】
第一步：课堂引入
做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．
问题：什么样的四边形是正方形？
正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．【问题】正方形有什么性质？
由正方形的定义得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
正方形性质定理1：正方形的四个角都是
，四条边都
。
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且
。
第二步：应用举例
例1
求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD
相交于点O（如图）．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是
全等的等腰直角三角形．
例2
．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，
点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．
求证：（1）EA=AF；
（2）EA⊥AF．
第三步：随堂练习
1．⑴正方形的四条边____
__，四个角___
____，两条对角线____
_______
____．
⑵正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的__________________
⑶正方形的边长为6，则面积为__________
⑷正方形的对角线长为6，则面积为__________
2．如右图，E为正方形ABCD边AB上的一点，已知EC=30,
EB=10,
则正方形ABCD的面积为_______________，对角线为______
____．
3．如右图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，
求∠EAD与∠ECD的度数．
知识再现：
⑴
对边平行
边
⑵
四边相等
⑶
四个角都是直角
角
正方形
⑷
对角线相等
互相垂直
对角线
互相平分
平分一组对角
第2课时
正方形的判定
【课前自主学习】
一、目标导读
知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算。
经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法。
理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点。
学习重点：掌握正方形的判定条件。
学习难点：合理恰当地利用正方形的判定定理解决问题。
预习检测
我们学行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入右图中。
【课堂互动学习】
旧知补标，查缺补漏（1—5分钟）
1.我的错题库：
2.温故知新：（1）怎样判定一个四边形是平行四边形？
（2）怎样判定一个四边形是矩形？
（3）怎样判定一个四边形是菱形？
议一议：怎样判定一个四边形是正方形？
二、预习反馈，掌握学情（1—5分钟）
1.在括号后面打“√”或“×”：（1）自觉阅读课文（
），（2）自我完成“预习检测”（
）。
2.展示答案，梳理知识（个别提问或集体回答，师生共同完成）。
三、例题变式，方法提炼（10—15分钟）
1．探索正方形的判定条件：
（1）直接用正方形的定义判，即先判定这个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个四边形是正方形；
（2）先判定这个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；
（3）先判定这个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形。
2.方法提炼：
后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理。矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础。这三个方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。
上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断。
四、疑难探究，突破难点（3—5分钟）
【例1】判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由。
四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；
四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
（5）
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
总结归纳：
通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发，寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用。
五、达标测试，当堂反馈（5—10分钟）
1．如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°，试说明
EF=BE+DF。
2.画一个正方形，使它的对角线长为30，并说明画法的依据。
六、课堂小结，归纳知识（1—3分钟）
师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时展示下图，通过直观感受进一步加深理解正方形判定方法的应用。
七、补标练习：
如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使∠EAF=45°，AG⊥EF于G.
求证：AG=AB
。
八、课后作业
1.
习题1.8
1、2、3、4
2.
预习下节课内容，并做预习检测。
达标测试答案
1.
解：将△ADF旋转到△ABC，则△ADF≌△ABG
∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG
∵∠EAF=45°且四边形是正方形，
∴∠ADF﹢∠BAE=45°
∴∠GAB﹢∠BAE=45°
即∠GAE=45°
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF
2.
画法：1、画线段=30cm，取AC的中点O。
2、过点O画AC的垂线，并分别在AC的两侧取OB=OD=15cm。
3、连结AB﹑BC﹑CD﹑DA.
则四边形ABCD就是所要画的正方形.
证明：∵AO=CO,BO=DO
四边形ABCD是平行四边形。
又∵AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形∵AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形。
∴四边形ABCD是正方形
补标练习答案：解析：欲证
AG=AB，就图形直观来看，应证Rt△ABE与Rt△AGE全等，但条件不够.
　　　∠EAF=45°怎么用呢？显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了.
证明：把
△AFD绕A点旋转90°至△AHB.
　∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°.
　∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°.
　又由旋转所得
AH=AF，AE=AE.
　∴
△AEF≌△AEH，
∴∠AEH=∠AEF,
又∵∠ABE=∠AGE,AE=AE,
∴△ABE≌△AGE,
∴AG=AB.
第5题