2020年春人教版九年级数学下册：27.2.1.3 由两角判定三角形相似培优试题 （含答案）

人教版九年级数学下册27.2.1.3《由两角判定三角形相似》培优训练
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列说法中错误的是( )
A．△ACD∽△CBD B．△ACD∽△ABC
C．△BCD∽△ABC D．△BCD∽△BAC

2．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形( )
A．一定不相似 B．不一定相似
C．一定相似 D．不能确定
3. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，添加下列条件不能判定△AED∽△ABC的是( )
A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C
C．∠ADE＝∠B D．＝

4．如图，在△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则DC的长等于( )
A. B. C． D．

5. 如图，已知△ABC与△ADE中，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是( )
A．＝ B．∠B＝∠D
C．AD∥BC　 D．∠BAC＝∠D

6．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为( )
A．4 B．5
C．6 D．7

7．如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是(　　)
A．△BDF∽△BEC B．△BFA∽△BEC
C．△BAC∽△BDA D．△BDF∽△BAE

8．如图，∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，则CD的长为( )
A. B.
C．2 D．3

9. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为( )
A．2 B．3
C．2 D．5

10. 如图，在菱形ABCD中，已知AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE＝CF；②∠EAB＝∠CEF；③△ABE∽△EFC；④若∠BAE＝15°，则点F到BC的距离为2－2.则其中正确结论的个数是(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个

二．填空题（共8小题，3*8=24）
11. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB.若AD＝2，BD＝3，则AC的长为________.

12. 如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝_______.

13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AO∶CO＝2∶3，AD＝4，则BC等于_________.

14. 已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若CE＝，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为________.
15. 如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为_________.

16如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2＝CP·CM. 其中正确的是_______.

17. 如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在AB上，点F在CD上，点G，H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是________.

18. 如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动(不与B，C重合)，过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为________.

三．解答题（共7小题，46分）
19．(6分) 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.求证：△ACD∽△BFD.



20．(6分) 如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连接AC.求证：△ABC∽△POA.





21．(6分) 矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，求PE的长．





22．(6分) 如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的直径，与AB相交于点G，过点D作EF∥AB，分别交CA，CB的延长线于点E，F，连接BD.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)求证：BD2＝AC·BF.






23．(6分) 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.
(1)求证：△ABM∽△EFA；
(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．




24.(8分) 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D. 求证：(1)△BFD∽△ABD；(2)DE＝DB.





25．(8分) 如图，已知AC，AD是⊙O的两条割线，AC与⊙O交于B，C两点，AD过圆心O且与⊙O交于E，D两点，OB平分∠AOC.
(1)求证：△ACD∽△ABO；
(2)过点E的切线交AC于点F，若EF∥OC，OC＝3，求EF的值．







参考答案：
1-5 BACAA 6-10 BABCB
11.
12.
13．6
14.
15．
16．①②③　
17．5
18. 4
19. 解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，
∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD
20. 证明：∵BC∥OP，
∴∠AOP＝∠B.
∵AB是直径，∴∠C＝90°.
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴∠OAP＝90°，
∴∠C＝∠OAP，∴△ABC∽△POA.
21. 如图所示∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°.
∴BD＝＝10.
当PD＝DA＝8时，BP＝BD－PD＝2，
∵△PBE∽△DBC，∴＝，
即＝，解得PE＝；
当P′D＝P′A时，点P′为BD的中点，
∴P′E′＝CD＝3.
综上所述，PE的长为或3
22. 解：(1)∵AC＝BC，CD是圆的直径，∴由圆的对称性可知：
∠ACD＝∠BCD，∴CD⊥AB，∵AB∥EF，∴∠CDF＝∠CGB＝90°，
∵OD是圆的半径，∴EF是⊙O的切线　
(2)∵∠BDF＋∠CDB＝∠CDB＋∠BCD＝90°，∴∠BDF＝∠BCD，
∴△BCD∽△BDF，∴＝，∴BD2＝BC·BF，
∵BC＝AC，∴BD2＝AC·BF
23. 解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EFA
(2)∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，∴AM＝＝13，
AD＝12，∵F是AM的中点，∴AF＝AM＝6.5，∵△ABM∽△EFA，
∴＝，即＝，∴AE＝16.9，∴DE＝AE－AD＝4.9
24. 证明：(1)∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠CBD.
又∵∠D＝∠D，
∴△BFD∽△ABD.
(2)连接BE.
∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE.
又∵∠CBD＝∠BAD，
∴∠BED＝∠BAD＋∠ABE＝∠CBE＋∠CBD＝∠DBE.即∠DBE＝∠BED，∴DE＝DB.
25. 解：(1)∵OB平分∠AOC，∴∠BOE＝∠AOC，∵OC＝OD，
∴∠D＝∠OCD，∵∠AOC＝∠D＋∠OCD，∴∠D＝∠AOC，
∴∠D＝∠BOE，且∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABO
(2)∵EF切⊙O于点E，∴∠OEF＝90°，
∵EF∥OC，∴∠DOC＝∠OEF＝90°，
∵OC＝OD＝3，∴CD＝＝3，
∵△ACD∽△ABO，∴＝，
∴＝，∴AE＝3，
∵EF∥OC，∴＝，
∴＝，∴EF＝6－3
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