1.2.1任意角的三角函数(共65张PPT)

(共65张PPT)
1.2.1任意角的三角函数

新课导入
　　摩天轮相信同学们都不陌生吧，好多同学都坐过，当你坐上摩天轮后，你就开始绕中心不停地旋转，这样就形成了各种各样的角。
　　问题1：如图，摩天轮的半径为10m，中心O离地面为20m，现在小明坐上了摩天轮，并从点P开始以每秒1度的速度逆时针转动，当转动30秒后小明离地面的高度是多少？60秒后呢？
.



10m
20m

300
.


　　问题2：设转动?度后小明离地面的高度为h, ?为00～900,试着写出h和?的关系式。
P1





o
y
x
P(ｘ，ｙ)
?的终边
r
?

锐角三角函数定义

在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗?





o
y
x
P(ｘ，ｙ)
?的终边
r=1
?

锐角三角函数定义
r=1





P(x,y)
锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示

　　在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆。
任意角的三角函数
推广:
　　我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切)。
x


y


O




设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)则:
y 叫α的正弦
x叫α的余弦
叫α的正切
任意角的三角函数定义:

　　对应关系 ， ， 都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，并统称为三角函数，在弧度制中，这三个三角函数的定义域分别是什么？
正、余弦函数的定义域为R，
正切函数的定义域是
思考：

定义域
　　求α角的三角函数值，即可求α终边与单位圆交于点的纵横坐标或坐标的比值。
如何求α角的三角函数值?


y
x


O




例1：求 的正弦,余弦,正切的值.
根据上述方法否能求得特殊角三角函数值?
角α（角度） 0° 90° 180° 270° 360°
角α（弧度） 0 π/2 π 3π/2 2π
sinα 0 1 0 -1 0
cosα 1 0 -1 0 1
tanα 0 不存在 0 不存在 0



P0(-4,-3)


M0

M
P
y
x
o
分析：由△OMP∽△OM0P0，可求出相应的三角函数值。
例2：已知α的终边经过点P0 （－4，－3），求α角的正弦,余弦,正切的值。
解：
例3：如图所示，已知角ａ终边上一点P的坐标为（4，－3），求角ａ的三角函数值。
解：∵　ｘ＝4，ｙ＝－3
∴　　　　　　　　
　　＝5





0
y
x
P(4,-3)

ａ的终边



o
y
x
P(ｘ，ｙ)
?的终边

r
?

事实上: 三角函数也可定义为
设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则
　　根据三角函数的定义能否确定正弦,余弦,正切的值在四个象限内的符号?
任意角的三角函数符号

探究


o
x
y








o
x
y








o
x
y








o
x
y








o
x
y








o
x
y






规律：
　“一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”.
例4：确定下列三角函数值的符号。
解：
∵
分别位于第三象限、第四象限、第一象限、第四象限。
∴
(1)负 (2)负 (3)正 (4)负






( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
（ ）
+
+
-
-
+
+
-
-
+
+
-
-
例5：
求证：当且仅当不等式组下列不等式组成立时，角θ为第三象限角。
　因为sinθ＜0，所以θ在第三象限或第四象限，或θ的终边落在y轴的负半轴上。
　因为tanθ＞0．所以θ在第一象限或第三象限。
　由于sinθ＜0与tanθ＞0同时成立，所以θ在第三象限。
解：?
直角三角中的锐角三角函数
象限角中的锐角三角函数
单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数
单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数
任意角终边上任一点坐标定义三角函数




反思三角函数的定义
　　 根据三角函数的定义:
终边相同的角的同一三角函数值是否相等？

探究
诱导公式
终边相同


∵终边相同的角的集合为：
点的坐标相同
同一三角函数值
∴


　　终边相同的角的同一三角函数值相等，由此得到一组公式（公式一）：
　　利用公式一，作用在于可将求任意角的三角函数值，转化为求0～２π （或0°～360°)范围内的三角函数值。
例6：求下列三角函数的值。
解：
　　前面我们学习了任意角的三角函数，它主要从数上研究了它们，能否从图形上来研究呢？
单位圆中的三角函数线
思考1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 　　 ，　　　　
　　　　　都是正数，你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？
P（x，y）


O


x
y

M

思考2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 　　　 　，
　　 都是负数，此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？

P（x，y）

O


x
y

M

思考3：为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号。根据实际需要，应如何规定线段的正方向和负方向？
规定：线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向。
α终边


x
y
o


p(x , y)


x
y
o


p(x , y)
α终边


M
M




象OM、MP这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。
一、有向线段
我们规定OM与x轴同向时，OM的方向是正向，x为正值；OM与x轴反向时， OM的方向是负向，x为负值；无论是那种情况都有:OM=x=cosα。
我们规定MP与y轴同向时，MP的方向是正向，y为正值；MP与y轴反向时，MP的方向是负向，y为负值；无论是那种情况都有:MP =y=sinα。
二、正弦线、余弦线
设任意角α与单位圆交于点p(x , y)，则r = |op| = 1.
sinα=
y
因此，p(x , y)坐标也表示为p(cosα , sinα).
cosα
= x


x
y
o


p(x , y)

α
三、正切线


x
y
o


p
α终边

A


T
称AT为角α的正切线.
过A(1,0)作圆的切线，
例7：不查表，比较大小。
⑴
解：



x
y
o
1
1




由图形得到
和

解：
由图形得到


x
y
o
1
1







（２）
和
解：
由图形得到



x
y
o

1








⑶
和
1、正弦线
2、余弦线
3、正切线
注意：正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，有正负之分.
结论
三角函数线是三角函数的几何表示，它可以直观刻画三角函数的概念与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义.
定义域为R；
定义域为R；
定义域为
三角函数(正弦,余弦,正切)都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.
(由于角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)
所以三角函数可以记为:
1、任意角的三角函数定义

课堂小结
.






( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
（ ）
+
+
-
-
+
+
-
-
+
+
-
-
2、三角函数在象限内的符号
应用
（1）判断符号
（2）求值
３、公式一(诱导公式)

高考链接
1.（2019全国） 的值为( )
A
A.
B.
C.
D.
解析：
本题主要考察诱导公式：
A. 0
C. 1
D.
B.
2.（2019陕西） 则 的值为（ ）
B
解析：
本题考查同角三角函数的基本关系式和运算能力，以及转化与化归的思想。因



故选B。
3. (2017江西)若 ， 则 等于（ ）
A. -3
B.
C. 3
D.
D
解析：
故选D
1. 以下四个命题中，正确的是(　　　　)　　
D．第四象限的角可表示为:
　A．在定义域内，只有终边相同的角的三
角函数值才相等。
B．
C．若a是第二象限的角，则
C

课堂练习
。
2. 若角a的终边过点(-3，-2)，则( 　)　　
A．sina tana＞0 B．cosa tana＞0
C．sina cosa＞0 D．sina cota＞0
C
C
C
3
D
B
4. 当α为钝角时，cosα和tanα取负值。
5.（1）正（2）负（3）零（4）负（5）正（6）正

教材习题答案
6. （1）①③或①⑤或③⑤
（2）①④或①⑥或④⑥
（3）②④或②⑤或④⑤
（4）②③或②⑥或③⑥
7. （1）0.8746 （2） （3） 0.5 （4） 1
1. 终边在不同位置的角对应的三角函数值的情况，包括三角函数值的符号情况，终边相同的角的同一三角函数的值相等。
2.（1）如图所示（2）、（3）、（4）略。
3. 225°角的正弦、余弦、正切线的长分别为2.5米，4.3米，2.9米，期中5，2.5是准确数，其余都是近似数（图略）。
4、三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、公式一得理解容易了。