北师版九年级数学下册2.2.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质培优训练（PDF版,含答案）

北师版九年级数学下册
2.2.3 二次函数 y＝a(x－h)
2
+k 的图象与性质
培优训练
一、选择题（共 10小题，3*10=30）
1．二次函数 y＝(x－1)2的大致图象是( )
2．抛物线 y＝(x－1)2与 y轴的交点坐标为( )
A．(1，0) B．(－1，0)
C．(0，－1) D．(0，1)
3．要得到抛物线 y＝1
3
(x－4)2，可将抛物线 y＝1
3
x2( )
A．向上平移 4个单位 B．向下平移 4个单位
C．向右平移 4个单位 D．向左平移 4个单位
4. 已知二次函数 y＝a(x－1)2＋3，当 x＜1时，y随 x的增大而增大，则 a的取值范围是( )
A．a≥0 B．a≤0
C．a＞0 D．a＜0
5．对于二次函数 y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向下
B．对称轴是直线 x＝－1
C．顶点坐标是(1，2)
D．与 x轴有两个交点
6．抛物线 y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是( )
A．(－2，5) B．(－2，－5)
C．(2，5) D．(2，－5)
7．将抛物线 y＝x2向左平移 2个单位长度，再向下平移 3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式
为( )
A．y＝(x＋2)2－3 B．y＝(x＋2)2＋3
C．y＝(x－2)2＋3 D．y＝(x－2)2－3
8．二次函数 y＝a(x＋m)2＋n的图象如图，则一次函数 y＝mx＋n的图象经过( )
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
9．如图，把抛物线 y＝x2沿直线 y＝x平移 2个单位后，其顶点在直线上的 A处，则平移后的抛物线
的表达式是( )
A．y＝(x＋1)2－1
B．y＝(x＋1)2＋1
C．y＝(x－1)2＋1
D．y＝(x－1)2－1
10. 已知二次函数 y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自变量 x的值满足 1≤x≤3 的情况下，与其对应的函
数值 y的最小值为 5，则 h的值为( )
A．1或－5 B．－1或 5
C．1或－3 D．1或 3
二．填空题（共 8小题，3*8=24）
11. 抛物线 y＝(x－1)2－2和 y＝x2的形状________ ，位置 _______ ．(填“相同”或“不同”)
12. 函数 y＝3(x－2)2＋1的对称轴是直线____ ____，顶点坐标是 .
13．抛物线 y＝－1
2
(x－3)2关于 y轴对称的抛物线的表达式为_________________________.
14. 抛物线 y＝－3(x－1)2＋1是由抛物线 y＝－3x2向 平移 单位长度，再向 平
移 单位长度得到的．
15. 将抛物线 y＝3x2向上平移 3个单位长度，再向左平移 2个单位长度，那么得到的抛物线的表达式
为_________________________.
16．对于抛物线 y＝－1
2
(x＋1)2＋3，有下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线 x＝1；③顶
点坐标为(－1，3)；④当 x>1时，y随 x的增大而减小．其中正确结论的个数为_____________.(填序
号)
17. 将抛物线 y＝－5x2＋1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为
______________________.
18. 如图，坐标平面上有一顶点为 A的抛物线，此抛物线与方程式 y＝2的图形交于 B，C两点，△ABC
为正三角形．若 A点坐标为(－3，0)，则此抛物线与 y轴的交点坐标是( )
三．解答题（共 7小题， 46分）
19．(6分) 二次函数 y＝a(x－3)2＋4的图象是由二次函数 y＝－1
2
x2的图象经过平移得到的．
(1)请指出 a的值，并说明平移的方法；
(2)二次函数 y＝a(x－3)2＋4的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？
20．(6分) 已知抛物线 y＝a(x＋2)2过点(1，－3)．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)指出抛物线的对称轴、顶点坐标；
(3)当 x取何值时，y随 x的增大而增大？
21．(6分) 一条抛物线的形状、开口方向与抛物线 y＝2x2相同，对称轴和抛物线 y＝(x－2)2相同，且
顶点的纵坐标为 0，求此抛物线的表达式．
22．(6分) 已知抛物线 y＝a(x－3)2经过点(1，－2)．
(1)求 a的值；
(2)若点 A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较 y1与 y2的大小．
23．(6分)已知二次函数 y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量 x的值满足 2≤x≤5时，与其对应的函数值
y的最大值为－1，求 h的值.
24．(8分)如图，抛物线 y＝a(x＋1)2的顶点为 A，与 y轴的负半轴交于点 B，且 OB＝OA.
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)若点 C(－3，b)在该抛物线上，求 S△ABC.
25．(8分)如图，点 P为抛物线 y＝1
4
x2上一动点．
(1)若抛物线 y＝1
4
x2是由抛物线 y＝1
4
(x＋2)2－1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；
(2)若直线 l经过 y轴上一点 N，且平行于 x轴，点 N的坐标为(0，－1)，过点 P作 PM⊥l于点M.
①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点 F，使得 PM＝PF恒成立？若存在，求出点 F的坐
标；若不存在，请说明理由；
②问题解决：如图二，若点 Q的坐标为(1，5)，求 QP＋PF的最小值．
参考答案
1-5ADCDC 6-10 CACCB
11. 相同，不同
12. x＝2，(2，1)
13. y＝－1
2
(x＋3)2
14. 右，1，上，1
15．y＝3(x＋2)2＋3
16．①③④
17．y＝－5(x＋1)2－1
18．
0，27
2
19. 解：(1)a＝－1
2
，将 y＝－1
2
x2的图象向右平移 3个单位长度，
再向上平移 4个单位长度得到 y＝－1
2
(x－3)2＋4的图象
(2)开口向下，对称轴为直线 x＝3，顶点坐标为(3，4)
20. 解：(1) 把(1，－3)代入 y＝a(x＋2)2，
得-3=9a，解得 a=－1
3
，
∴y＝－1
3
(x＋2)2
(2)对称轴是直线 x＝－2，顶点坐标为(－2，0)
(3)当 x＜－2时，y随 x的增大而增大
21. 解：∵此抛物线的形状、开口方向与抛物线 y＝2x2相同，对称轴和抛物线 y＝(x－2)2相同，
∴此抛物线的表达式为 y＝2(x－2)2＋b.
又∵顶点的纵坐标为 0，∴b＝0.
∴此抛物线的表达式为 y＝2(x－2)2＝2x2－8x＋8.
22. 解：(1)∵抛物线 y＝a(x－3)2经过点(1，－2)，∴－2＝a(1－3)2解得 a＝－1
2
(2)∵抛物线 y＝－1
2
(x－3)2的对称轴为直线 x＝3，
∴点 A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)在对称轴左侧．
又∵抛物线开口向下，∴在对称轴左侧 y的值随 x的值的增大而增大．
∵m＜n＜3，∴y1＜y2
23. 解：二次函数 y＝－(x－h)2(h为常数)的图象开口向下，顶点为(h，0)，函数最大值为 0，
因为当 2≤x≤5时，与其对应的函数值 y的最大值为－1，
故 h不能取 2～5(含 2与 5)之间的数．
当 h＜2时，点(2，－1)在抛物线上，把(2，－1)的坐标代入 y＝－(x－h)2，
解得 h＝1或 h＝3(不合题意，舍去)；
当 h＞5时，点(5，－1)在抛物线上，把(5，－1)的坐标代入 y＝－(x－h)2，
解得 h＝6或 h＝4(不合题意，舍去)．
综上可知，h的值为 1或 6.
24. 解：(1)由题意得 A(－1，0)．
∵OB＝OA，∴B(0，－1)．
将 x＝0，y＝－1代入抛物线对应的函数表达式得 a＝－1，
则抛物线对应的函数表达式为 y＝－(x＋1)2.
(2)过点 C作 CD⊥x轴于 D.
将 C(－3，b)的坐标代入抛物线对应的函数表达式得 b＝－4，
即 C(－3，－4)，
则 S△ABC＝S 梯形OBCD－S△ACD－S△AOB＝
1
2
×3×(1＋4)－1
2
×4×2－1
2
×1×1＝3.
25. 解：(1)∵抛物线 y＝1
4
(x＋2)2－1的顶点为(－2，－1)，
∴抛物线 y＝1
4
(x＋2)2－1的图象向上平移 1个单位，
再向右 2个单位得到抛物线 y＝1
4
x2的图象
(2)①存在一定点 F，使得 PM＝PF 恒成立．过点 P作 PB⊥y轴于点 B，
设点 P坐标为(a，1
4
a2)，∴PM＝PF＝1
4
a2＋1，∵PB＝a，
∴Rt△PBF中，BF＝ PF2－PB2＝ （1
4
a2＋1）2－a2＝1
4
a2－1，
∴OF＝1，∴点 F坐标为(0，1)
②由①知，PM＝PF，QP＋PF的最小值为 QP＋PM的最小值，
当 Q，P，M三点共线时，QP＋PM有最小值，
最小值为点 Q纵坐标加点M纵坐标的绝对值．∴QP＋PF的最小值为 6