课件40张PPT。第一章统计§2 抽样方法2.2 分层抽样与系统抽样2.2.1 分层抽样自主预习学案大家都知道盲人摸象的故事,四个盲人在庞大的大象面前,每人只摸了大象的一个部位,就都有了对大象与众不同的认识.在他们争得面红耳赤,不可开交时,有一智者对他们建议,要他们每个人按一定的间隔从左到右、从上到下去摸大象,结果每个人都得到了大象的正确形象,你知道这是一种什么方法吗?分层抽样
将总体按其___________分成若干类型(有时称作_____),然后在每个类型中随机抽取一定的样本,这种抽样方法通常叫作_______抽样,有时也称为_______抽样 属性特征 层 分层 类型 1.分层抽样又称类型抽样,即将相似的个体归入一类(层),然后每层抽取若干个体构成样本,所以分层抽样为保证每个个体等可能入样,必须进行( )
A.每层等可能抽样
B.每层不等可能抽样
C.所有层按同一抽样比等可能抽样
D.所有层抽同样多样本,等可能抽样
[解析] 保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同特征.为了保证这一点,分层时用同一抽样比是必不可少的.C 2.有40件产品,其中一等品10件,二等品25件,次品5件,现从中抽出8件进行质量分析,问应采取何种抽样方法( )
A.抽签法 B.随机数表法
C.系统抽样 D.分层抽样
[解析] 因为个体之间有明显差异,所以应用分层抽样.D 3.某中学高一、高二、高三三个年级共有学生3 000人,采用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为60的样本,已知高一年级学生为1 200人,则该年级抽取的学生数为( )
A.20 B.30
C.24 D.25C 4.(2018·全国卷Ⅲ文,14)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是___________.
[解析] 因为客户数量大,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,所以最合适的抽样方法是分层抽样.分层抽样 5.具有A、B、C三种性质的元素的总体,其容量为63,将A、B、C三种性质的元素的个体按1︰2︰4的比例进行分层调查,如果抽取的样本容量为21,则A、B、C三种性质的元素分别抽取的数量为_______________.3,6,12 互动探究学案命题方向1 ?分层抽样的概念C (2)下列问题中,最适合用分层抽样抽取样本的是( )
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.某社区有500个家庭,其中高收入的家庭125个,中等收入的家庭280个,低收入的家庭95个,为了了解生活购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为100的样本
C.从1 000名工人中,抽取100名调查上班途中所用时间
D.从生产流水线上,抽取样本检查产品质量B [思路分析] 1.分层抽样是等可能抽样吗?2.分层抽样的适用范围是什么?『规律总结』 分层抽样的前提和遵循的两条原则
(1)前提:分层抽样使用的前提是总体可以分层,层与层之间有明显区别,而层内个体间差异较小,每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取.
(2)遵循的两条原则:
①将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则;
②分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.〔跟踪练习1〕 (1)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2、p3,则( )
A.p1=p2<p3 B.p2=p3<p1
C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3D (2)某学校有男、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( )
A.抽签法 B.随机数法
C.系统抽样法 D.分层抽样法
[解析] (1)根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即p1=p2=p3,故选D.
(2)由于被抽取的个体的属性具有明显差异,所以宜采用分层抽样法.D 命题方向2 ?分层抽样的方案设计 一个单位有职工160人,其中有业务人员112人,管理人员16人,后勤服务人员32人,为了了解职工的某种情况,要从中抽取一个容量为20的样本,写出用分层抽样的方法抽取样本的过程.
[思路分析] 分层抽样中各层抽取个体数依各层个体数之比来分配,确定各层抽取的个体数之后,可采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体.[解析] 三部分所含个体数之比为112︰16︰32=7︰1︰2,设三部分各抽个体数为7x,x,2x,则由7x+x+2x=20得x=2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取个体数分别为14,2和4.
对112名业务人员按系统抽样分成14个部分,其中每个部分包括8个个体,对每个部分利用简单随机抽样抽取个体.若将160名人员依次编号为1,2,3,…,160.那么在1~112名业务人员中第一部分的个体编号为1~8.从中随机取一个号码,如它是4号,那么可以从第4号起,每隔8个抽取1个号码,这样得到112名业务人员被抽出的14个号码依次为4,12,20,28,36,44,52,60,68,76,84,92,100,108.
再用抽签法可抽出管理人员和服务人员的号码.
将以上各层抽出的个体合并起来,就得到容量为20的样本.『规律总结』 分层抽样的注意事项
分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法,进行分层抽样时应注意以下几点:
(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定,总的原则是,层内样本的差异要小,各层之间的样本差异要大,且互不重叠.
(2)为了保证每个个体等可能入样,所有层应采用同一抽样比,等可能抽样.
(3)在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.[特别提醒] 保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽样共同的特征,为了保证这一点所有层按同一抽样比,等可能抽样.〔跟踪练习2〕 某政府机关有在编人员100人,其中科级以上干部10人,科员70人,办事员20人.上级机关为了了解他们对政府机构改革的看法,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,并写出具体的抽样过程. 某单位有老年人28人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体状况,从他们中抽取容量为36的样本,最适合的抽样方法是( )
A.简单随机抽样
B.系统抽样
C.分层抽样
D.先从老年人中剔除1人,再分层抽样
[错解] CD
抽样方法的选取 随机抽样有以下三种方法:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样,简单随机抽样又有抽签法和随机数法两种方法,在具体选取抽样方法时应根据它们各自的适用范围选取.
为了考察某校的教学水平,将对这个学校高三年级的部分学生的本学年考试成绩进行考察,为了全面地反映实际情况,采取以下三种方式进行抽查:(已知该校高三年级共有20个教学班,并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号,假定该校每班学生人数都相同)①从全年级20个班中任意抽取一个班,再从该班中任意抽取20人,考察他们的学习成绩;
②每个班都抽取1人,共计20人,考察这20个学生的成绩;
③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别,从其中共抽取100名学生进行考察.(已知若按成绩分,该校高三学生中优秀生共150人,良好生共600人,普通生共250人)根据上面的叙述,试回答下列问题.
(1)上面三种抽取方式中,其总体、个体、样本分别指什么?每一种抽取方式抽取的样本中,其样本容量分别是多少?
(2)上面三种抽取方式中各自采用何种抽取样本的方法?
(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.
[思路分析] 本题目主要考查数理统计的一些基本的概念和基本方法.做这种题目时,应该注意叙述的完整和条理.[解析] (1)这三种抽取方式中,其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩,个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩.其中第一种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩,样本容量为20;第二种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩,样本容量为20;第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩,样本容量为100.
(2)上面三种抽取方式中,第一种方式采用的方法是简单随机抽样法;第二种方式采用的方法是系统抽样法和简单随机抽样法;第三种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法.(3)第一种方式抽样的步骤如下:
第一步,首先在这20个班中用抽签法任意抽取一个班.
第二步,然后从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取20名学生,考察其考试成绩.
第二种方式抽样的步骤如下:
第一步,首先在第一个班中,用简单随机抽样法任意抽取某一学生,记其学号为a.
第二步,在其余的19个班中,选取学号为a的学生,共计19人.1.某校高三年级有男生500人,女生400人.为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查,这种抽样方法是( )
A.简单随机抽样 B.抽签法
C.随机数表法 D.分层抽样
[解析] 样本由差异明显的几部分组成,抽取的比例由每层个体占总体的比例确定,即为分层抽样.D 2.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12、21、25、43,则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A.101 B.808
C.1 212 D.2 012B 3.一支田径运动队有男运动员56人,女运动员42人.现用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有8人,则抽取的女运动员有_____人.6 4.课题组进行城市空气质量调查,按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为4,12,8,若用分层抽样抽取6个城市,则丙组中应抽取的城市数为_____.2 5.某校按分层抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生调查,从三个年级抽取人数的比例为如图所示的扇形面积比,已知高二年级共有学生1 200人,并从中抽取了40人.
(1)该校的总人数为多少?
(2)其他两个年级分别抽取多少人?
(3)在各层抽样中可采取哪种抽样方法?第一章 §2 2.2 2.2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1.某市对大、中、小学生的视力进行抽样分析,其中大、中、小学生的人数比为2︰3︰5,若采用分层抽样的方法抽取一个样本,且中学生中被抽到的人数为150,则抽取的样本容量n等于( C )
A.1 500 B.1 000
C.500 D.150
[解析] 设抽到的大、中、小学生的人数分别为2x,3x,5x,由3x=150,得x=50,所以n=100+150+250=500.
2.某市新上了一批便民公共自行车,有绿色和橙黄色两种颜色,且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为2︰ 1,现在按照分层抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某校门口,则其中绿色公共自行车的辆数是( D )
A.8 B.12
C.16 D.24
[解析] 设放在该校门口的绿色公共自行车的辆数是x,则=,解得x=24.
3.(2019·山西大同五县高一期末测试)某单位有职工75人,其中青年职工35人,中年职工25人,老年职工15人,为了了解该单位职工对“木桶理论”的理解情况,决定用分层抽样的方法从中抽取一个样本,若样本中的青年职工为7人,则样本中的中年职工为( B )
A.3人 B.5人
C.7人 D.8人
[解析] 设样本中的中年职工为m人,由题意得=,∴m=5,故选B.
4.某地区有300家商店,其中大型商店有30家,中型商店有75家,小型商店有195家.为了掌握各商店的营业情况.要从中抽取一个容量为20的样本,若采用分层抽样的方法,抽取的中型商店数是( C )
A.2 B.3
C.5 D.13
[解析] 在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为=,则抽取的中型商店数为75×=5.
5.某城市有学校700所,其中大学20所,中学200所,小学480所.现用分层抽样方法从中抽取一个容量为70的样本,进行某项调查,则应抽取中学数为( B )
A.70 B.20
C.48 D.2
[解析] 由分层抽样知,抽取中学数为70×=20,故选B.
6.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、肉食品类、果蔬类分别有40种、10种、30种、20种,现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( C )
A.4 B.5
C.6 D. 7
[解析] 四类食品的比例为4︰1︰3︰2,则抽取的植物油类的数量为20×=2,抽取的果蔬类的数量为20×=4,二者之和为6,故选C.
二、填空题
7.某高校甲、 乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生,为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查,应在丙专业抽取的学生人数为_16__.
[解析] 考查分层抽样.解答此题必须明确“每个个体被抽到的概率相同”及“每层以相同比例抽取”.
所有学生数为150+150+400+300=1 000人,则抽取比例为=,
所以应在丙专业抽取400×=16人.
8.某校有学生2 000人,其中高三学生500人.为了解学生的身体素质情况,采用按年级分层抽样的方法,从该校学生中抽取一个200人的样本.则样本中高三学生的人数为_50__.
[解析] 抽样比为=,样本中高三学生的人数为500×=50.
三、解答题
9.某家电视台在因特网上征集某电视节目现场参与观众,报名的总人数为12 000人,分别来自4个城区,其中东城区2 400人,西城区4 600人,南城区3 800人,北城区1 200人,用分层抽样的方式从中抽取60人参加现场的节目,应当如何抽取?写出抽取过程.
[解析] 第一步:分层:按城区分为四层:东城区、西城区、南城区、北城区.
第二步:按比例确定每层抽取个体的个数.抽样比为=,所以在东城区抽取2 400×=12(人),在西城区抽取4 600× =23(人),在南城区抽取3 800×=19(人),在北城区抽取1 200×=6(人).
第三步 在各层分别用简单随机抽样法抽取样本.
第四步 确定样本.将各城区抽取的观众合在一起组成样本.
10.某市有大型、中型与小型的商店共1 500家,它们的家数之比为1︰5︰9,要调查商店的每日零售额情况,要求抽取其中的30家商店进行调查,应当采取怎样的抽样方法?
(1)能不能用简单随机抽样的方法对上述问题进行抽样?为什么?
(2)根据大型、中型与小型的商店的家数之比,你能求出大型、中型与小型的商店占商店总数的比例吗?
(3)怎样根据大型、中型与小型的商店的家数所占商店总数的比例,求出它们各自的家数?
(4)如果按照大型、中型与小型的商店占商店总家数的比例来抽取30家商店进行调查,那么大型、中型与小型的商店各抽取多少家?
[解析] (1)不能.因为在这个问题中,商店有大型、中型和小型之分,商店的每日零售额直接受到商店规模的影响,如果采用简单随机抽样的方法,可能抽样的结果不具有代表性.
(2)由题意知大型商店所占的比例为=;中型商店所占的比例为=;小型所占的比例为=.
(3)大型商店的家数为1 500×=100;中型商店的家数为1 500×=500;小型商店的家数为1 500×=900.
(4)大型、中型与小型的商店分别抽取×30=2,×30=10,×30=18.
B级 素养提升
一、选择题
1.某林场有树苗30 000棵,其中松树苗4 000棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本,则样本中松树苗的数量为( C )
A.30 B.25
C.20 D.15
[解析] 由分层抽样知,样本中松树苗数为×4 000=20,故选C.
2.从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本,每个零件被抽取的可能性为25%,则N为( D )
A.150 B.200
C.100 D.120
[解析] 根据简单随机抽样每个个体被抽取的概率等于进行计算.因为从含有N个个体的总体中抽取一个容量为30的样本时,每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为;所以=0.25,从而有N=120.
3.某中学有高中生3 500人,初中生1 500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为( A )
A.100 B.150
C.200 D.250
[解析] 由题意,得抽样比为=,总体容量为3 500+1 500=5 000,故n=5 000×=100.
4.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( B )
A.6 B.8
C.10 D.12
[解析] 设在高二年级学生中抽取的人数为x,则=,解得x=8.
二、填空题
5.假设吉利公司生产的“远景”“金刚”“自由舰”三种型号的轿车产量分别是1 600辆、6 000辆和2 000辆,为检验公司的产品质量,现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取_8__、_30__、_10__.
[解析] 因为汽车总量为1 600+6 000+2 000=9 600辆.要抽取48辆,∴抽样比例为=,
∴1 600×=8,6 000×=30,2 000×=10,
∴应依次抽取8,30,10辆.
6.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4︰5︰5︰6,则应从一年级本科生中抽取_60__名学生.
[解析] 根据题意,应从一年级本科生中抽取的学生人数为×300=60.
三、解答题
7.一个地区共有5个乡镇,人口共3万人,其中人口比例为3︰2︰5︰2︰3,从3万人中抽取一个300人的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应采取什么样的抽样方法?并写出具体过程.
[解析] 因为疾病与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而采用分层抽样的方法,具体过程如下:
(1)将3万人分成5层,其中每一个乡镇为一层.
(2)按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本300×=60(人),300×=40(人),300×=100(人),300×=40(人),300×=60(人),因此各乡镇抽取人数分别为60人、40人、100人、40人、60人.
(3)将这300人组到一起,即得到所要抽取的样本.
8.某网站欲调查网民对当地网页的满意程度,在登录的所有网民中,收回有效帖子共50 000份,其中持各种态度的份数如下表所示:
很满意
满意
一般
不满意
10 800
12 400
15 600
11 200
为了了解网民的具体想法和意见,以便决定如何更改才能使网页更完善,打算从中抽选500份.为使样本更具有代表性,每类中各应抽选出多少份?
[解析] 首先确定抽取比例,然后确定各层要抽取的份数,因为=,所以=108,=124,=156,=112,所以持四种态度的有效帖子应分别抽取108,124,156,112份进行调查.
9.为了对某课题进行研究,用分层抽样的方法从三所高校A、B、C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人).
高校
相关人数
抽取人数
A
x
1
B
36
y
C
54
3
(1)求x、y;
(2)若从高校B相关的人中选2人作专题发言,应采用什么抽样法,请写出合理的抽样过程.
[解析] (1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的所以有=?x=18,=?y=2.
(2)总体容量和样本容量较小,所以应采用抽签法,过程如下:
第一步,将36人随机的编号,号码为1,2,3,…,36;
第二步,将号码分别写在相同的纸片上,揉成团,制成号签;
第三步,将号签放入一个不透明的容器中,充分搅匀,依次抽取2个号码,并记录上面的编号;
第四步,把与号码相对的人抽出,即可得到所要的样本.