课件49张PPT。第一章统计§7 相关性§8 最小二乘估计自主预习学案
1．相关性
(1)变量之间的两种关系是___________和___________.
(2)在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的_________.函数关系 相关关系 散点图
(3)如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条_______的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合．
若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是___________的．若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为_______________，此时，可以用一条曲线来拟合．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．光滑 线性相关 非线性相关的 最小值 最小二乘法 a＝____________.这样得到的直线方程称为_______________，a，b是线性回归方程的系数．
(2)利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图．如果散点图呈现一定的规律性，我们再根据这个规律进行拟合．如果散点图呈现出线性关系，我们可以用_____________估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的曲线进行拟合．线性回归方程 最小二乘法 1．(2019·山西陵川一中高一期中测试)下列两个变量具有正相关关系的是( )
A．正方形的面积与边长
B．吸烟与健康
C．数学成绩与物理成绩
D．汽车的重量与汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程C
[解析] 正方形的面积与边长是函数关系，A错误；吸烟与健康具有负相关关系，B错误；汽车越重，每消耗1 L汽油所行驶的平均路程越短，所以汽车的重量与汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程具有负相关关系，D错误；数学成绩越好，物理成绩也会越好，所以数学成绩与物理成绩具有正相关关系，C正确．2．在下面各图中，图中的两个变量具有相关关系的是( )
A．(1)(2) B．(1)(3)
C．(2)(4) D．(2)(3)
[解析] 根据题目所提供的信息，题图(1)表示函数的图像；题图(2)上的点分布在某一条直线附近，所以它们是相关关系；题图(3)上的点分布在某一个二次函数的图像附近，所以这两个变量之间也是相关关系；题图(4)表示的点不具有相关关系．所以题图(2)和题图(3)表示的点对应的两个变量具有相关关系．D3．下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过点( )
A．(2,2) B．(1.5,2)
C．(1,2) D．(1.5,4)D
4．若施肥量x与小麦产量y之间的回归直线方程为y＝250＋4x，当施肥量为50 kg时，预计小麦产量为_________kg.
[解析] 把x＝50 kg代入y＝250＋4x可求得y＝450 kg. 450 5．下表是某地区年降雨量与年平均气温关系表，判断两者是否是相关关系.
[解析] 把年平均气温作为横坐标把相应的年降雨量作为纵坐标在直角坐标系中描点(xi，yi)(i＝1,2，…，7)，作出散点图如图：因为图中各点并不在一条直线附近，而是散乱地分布在平面直角坐标系内，所以两变量是不相关的．互动探究学案命题方向1 ?变量间相关关系的判断②④ 下列关系中，带有随机性相关关系的是_______.
①圆的面积与圆的半径之间的关系 ②水稻产量与施肥之间的关系；
③人的身高与年龄之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
[思路分析] 两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．[解析] ①圆的面积与圆的半径之间的关系是函数关系．
②水稻产量与施肥之间不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．
③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系．
④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．『规律总结』 相关关系与函数关系的区别在于是否具有确定性．在区分二者时，如果一个变量每取一个值，另一个变量总有唯一确定的值与之对应，那么这两个变量就是函数关系，不是相关关系；如果一个变量每取一个值，另一个变量的取值带有一定的随机性，并且从总体上来看有关系，但不是确定性关系，那么这个变量之间就是相关关系，不是函数关系．确定相关关系时有时要依靠生活经验大致确定．〔跟踪练习1〕 下列两个变量之间不属于相关关系的是( )
①学生每日学习时间与学习成绩；
②人的年龄与血压；
③某天的天气情况与股市的涨跌情况；
④球的表面积与体积．
A．①② B．①③
C．②③ D．③④D命题方向2 ?用散点图判断相关关系 从高一(1)班中随机选出10名同学，将他们的身高、数学成绩和物理成绩列表如下：
试判断数学成绩与身高和物理成绩是否成相关关系.
[思路分析] 分别画出数学成绩与身高、数学成绩与物理成绩的散点图，即可判断两者是否为相关关系. [解析] 我们将上述数据，分别在“数学成绩—身高”和“数学成绩—物理成绩”的坐标平面上，画出散点图如下图所示．从图(1)上的散点分布，我们看不出身高与数学成绩之间有什么相关性，也就是说，这两个变量之间不存在相关性，而从图(2)上，我们发现，在数学成绩与物理成绩之间有某种相关性：不少数学成绩好的同学，物理成绩也很好，两者之间似乎有一种线性关系，也就是说，这两个变量近似成线性相关关系. 『规律总结』 判断变量之间有无相关关系，一种常用的简便可行的方法就是绘制散点图，如果点的分布有规律(如大致在一条直线附近)，那么这两个变量之间具有相关关系. 〔跟踪练习2〕 下面是水稻产量与施肥量的一组统计数据(单位：kg)：
(1)将上表中的数据制成散点图；
(2)你能从散点图中发现施肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随着施肥量的增加而增加吗？
(3)若近似成线性关系，请画出一条直线来近似表示这种线性关系．[解析] (1)以x轴表示施肥量，y轴表示水稻产量，可得散点图如图所示：
(2)从图中可以发现施肥量与水稻产量之间具有相关关系．当施肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，但水稻产量只是在一定范围内随着施肥量的增加而增加．(3)如图所示．命题方向3 ?求回归直线方程 (2019·山西大同灵丘县高一期末测试)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(t)与相应的生产能耗y(t标准煤)的几组对照数据： (1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(2)已知该厂技术改造前100 t甲产品能耗为90 t标准煤．试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100 t甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
〔跟踪练习3〕 (2019·山西沁县中学高一月考)通过市场调查，得到某产品的资金投入x(万元)与获得的利润y(万元)的数据，如下表所示：B 由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到线性回归方程y＝bx＋a，那么下列说法中错误的是( )[错解] A
利用回归方程对总体进行估计 利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归方程为y＝bx＋a，则当x＝x0时的估计值为y0＝bx0＋a.因为回归直线将部分观测值所反映的规律进行了延伸，所以它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用．
为了了解学生初中升学的数学成绩对高中一年级数学学习情况的影响，在高一年级学生中随机抽取了10名学生，他们的入学数学成绩与期末数学成绩(单位：分)如下表：(1)若变量x与y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程；
(2)若某学生的入学数学成绩为80分，试估计他的期末数学成绩．『规律总结』 利用回归方程，我们可以进行预测，并对总体进行估计．尽管我们利用回归方程所得的值仅是一个估计值，具有随机性，但我们是根据统计规律得到的，因而所得结论正确的概率是最大的，故我们可以放心大胆地利用回归方程进行预测．1．下列两个变量之间的关系：
①角度和它的余弦值；
②正n边形的边数与内角和；
③家庭的支出与收入；
④某户家庭用电量与电价间的关系．
其中是相关关系的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[解析] ①②④中的两个变量是函数关系，③中的两个变量是相关关系，故选A．AA y＝1.56x＋0.44 4．在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)
(1)画出散点图；
(2)求水稻产量y与施化肥量x之间的回归直线方程；
(3)当施化肥50 kg时，对水稻的产量予以估计．[解析] (1)画出散点图如图：
由图可见两者之间是线性相关的．(2)借助计算器列表：第一章 §7 §8
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列变量之间的关系是函数关系的是( B )
A．光照时间与大棚内蔬菜的产量
B．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a、c是常数，b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4ac
C．每亩施肥量与粮食亩产量之间的关系
D．人的身高与所穿鞋子的号码之间的关系
[解析] 应用变量相关关系的定义加以判断．A项，光照时间与大棚内蔬菜的产量是相关关系．B项，判别式Δ＝b2－4ac与b是函数关系．C项，每亩施肥量与粮食亩产量是相关关系．D项，人的身高与所穿鞋子的号码在一定时期是相关关系，故选B．
2．设有一个回归直线方程为y＝2－1.5x，则变量x每增加1个单位时( C )
A．y平均增加1.5个单位
B．y平均增加2个单位
C．y平均减少1.5个单位
D．y平均减少2个单位
[解析] 回归直线方程y＝2－1.5x是关于x的递减函数，因为y随x的增大而减小，因此排除了A，B，回归直线方程y＝2－1.5x的一次项系数为－1.5，因此变量x每增加一个单位，y平均减少1.5个单位，因此选C .
3．已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( C )
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
[解析] 因为变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，其中－0.1<0，所以x与y呈负相关；又因为变量y与z正相关，不妨设z＝ky＋b(k>0)，则将y＝－0.1x＋1代入即可得到：z＝k(－0.1x＋1)＋b＝－0.1kx＋(k＋b)，所以－0.1k<0，所以x与z负相关，综上可知，应选C．
4．观测相关变量x，y得到如下数据：
x
－9
－6.99
－5.01
－2.98
－5
5
4.999
4
y
－9
－7
－5
－3
－5.02
4.99
5
3.998
则下列选项中最佳的线性回归方程为( B )
A．y＝x＋1 B．y＝x
C．y＝2x＋ D．y＝2x＋1
[解析] 因为表格的每组数据的x和y都近似相等，所以最佳的线性回归方程为y＝x.
5．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如下表：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a中的b的值为0.7，则记忆力为14的同学的判断约为( B )
A．7 B．7.5
C．8 D．8.5
[解析] 因为＝9，＝4，代入y＝0.7x＋a，得a＝－2.3，所以线性回归方程为y＝0.7x－2.3，把x＝14代入，得y＝7.5，选择B．
6．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( B )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
[解析] ∵＝＝，＝＝42，又y＝bx＋a必过(，)，∴42＝×9.4＋a，
∴a＝9.1.
∴线性回归方程为y＝9.4x＋9.1.
∴当x＝6时，y＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．
二、填空题
7．已知x、y之间的一组数据，
x
1
2
3
4
5
6
7
y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
则y关于x的线性回归方程为_y＝0.5x＋2.3__.
[解析] 因为＝＝4，
＝＝4.3，
所以(xi－4)(yi－4.3)＝－3×(－1.4)－2×(－1)＋0.7＋0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
(xi－4)2＝9＋4＋1＋1＋4＋9＝28，
则b＝0.5，a＝4.3－0.5×4＝2.3，
所以所求的线性回归方程为y＝0.5x＋2.3.
8．某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
杯数
24
34
38
64
由表中数据算得线性回归方程y＝bx＋a中的b≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为_70__杯．
[解析] 根据表格中的数据可求得＝(18＋13＋10－1)＝10，＝(24＋34＋38＋64)＝40.
∴a＝－b＝40－(－2)×10＝60.
∴y＝－2x＋60.
当x＝－5时，y＝－2×(－5)＋60＝70.
三、解答题
9．某商场品牌毛衣专柜为了了解毛衣的月销量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销量与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温x(℃)
17
13
8
2
月销量y(件)
24
33
40
55
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)根据表中数据求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(3)气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场专柜下个月毛衣的销售量约为多少件？
[解析] (1)散点图如图所示．
(2)由表中数据可得：
＝＝10，
＝＝38，
又b＝－2，所以a＝38－(－2)×10＝58，
从而线性回归方程为y＝－2x＋58.
(3)当月的平均气温约为6℃时，其销售量约为y＝－2×6＋58＝46(件)．
10．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y (千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y关于t的回归方程y＝bt＋a；
(2)用所求回归方程预测该地区2019年(t＝6)的人民币储蓄存款．
附：回归方程y＝bt＋a中，b＝，a＝－b .
[解析] (1)列表计算如下
i
ti
yi
t
tiyi
1
1
5
1
5
2
2
6
4
12
3
3
7
9
21
4
4
8
16
32
5
5
10
25
50
∑
15
36
55
120
这里n＝5，＝i＝＝3，＝i＝＝7.2.
又lnt＝i－n 2＝55－5×32＝10，lny＝iyi－n ＝120－5×3×7.2＝12.
从而b＝＝＝1.2，a＝－b ＝7.2－1.2×3＝3.6.故所求回归方程为y＝1.2t＋3.6.
(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2019年的人民币储蓄存款为y＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2019·河南花州实验中学月考)两个相关变量满足如下关系：
x
2
3
4
5
6
y
25
·
50
56
64
根据表格已得回归方程：＝9.4x＋9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是( C )
A．37.4 B．38.5
C．39 D．40.5
[解析] ＝＝4，
∵回归直线＝9.4x＋9.2过点(，)，
∴＝9.4×4＋9.2＝46.8.
∴＝＝46.8，
∴x＝39，故选C．
2．为了研究某班学生的脚长x(单位：cm)和身高y(单位：cm)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系．设其回归直线方程为y＝bx＋a.已知i＝225，i＝1 600，b＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( C )
A．160 B．163
C．166 D．170
[解析] ∵i＝225，∴＝i＝22.5.
∵i＝1 600，∴＝i＝160.
又b＝4，∴a＝－b＝160－4×22.5＝70.
∴回归直线方程为y＝4x＋70.
将x＝24代入上式得y＝4×24＋70＝166.
故选C．
二、填空题
3．今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：
月平均气温x/℃
17
13
8
2
月销售量y/件
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程y＝bx＋a中的b≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为_46__.
[解析] ＝＝10，
＝＝38，
∴38＝10×(－2)＋a，
∴a＝58，
∴y＝－2x＋58.
当x＝6时，y＝－2×6＋58＝46.
4．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是170 cm、173 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_190.5__cm.
[解析] 儿子和父亲的身高可列表如下：
父亲身高x/cm
170
173
176
儿子身高y/cm
173
176
182
由表中数据可得，＝173，＝177，＝89 805，iyi＝91 890，
∴b＝＝＝1.5，
∴a＝－b＝177－1.5×173＝－82.5.故线性回归方程为y＝1.5x－82.5.将x＝182代入，得y＝1.5×182－82.5＝190.5.
三、解答题
5．某公司近年来科研费用支出x万元与公司所获得利润y万元之间有如下的统计数据：
x
2
3
4
5
y
18
27
32
35
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)观察散点图，判断y与x是否具有线性相关关系．
[解析] (1)散点图如下：
(2)由图可知，所有数据点接近直线排列，
因此认为y与x有线性相关关系．
6．(2019·山西芮城县高一期末测试)一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表：
转速x(转/s)
16
14
12
6
每小时生产缺损零件数y(件)
11
9
8
4
(1)如果y与x有线性相关关系，求回归直线方程；
(2)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？
参考公式：＝＝，＝－.
[解析] (1)＝＝12，
＝＝8.
＝＝.
＝8－×12＝－.
∴y＝x－
(2)∵y≤10，∴x－≤10.
解得x≤，又∵x＞0，∴0＜x≤.
∴机器的运转速度应控制在(0，]内．
