课件47张PPT。第一章统计§4 数据的数字特征自主预习学案
最中间 最多
[特别提示]
中位数不一定在这组数据中，而众数必定在该组数据中，有时一组数中有好几个众数.
2．极差、方差、标准差
刻画一组数据离散程度的统计量有极差、方差、标准差．
极差：把一组数据中最大值与最小值的_____ 叫作这组数据的极差．极差对极值非常敏感，一定程度上表明了该组数据的分散程度．差 相同 标准差 1．下列刻画一组数据离散程度的是( )
A．平均数 B．方差
C．中位数 D．众数
[解析] 方差能够刻画一组数据的离散程度，故选B．B 2．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为( )
A．3,5 B．5,5
C．3,7 D．5,7A
3．(2019·江苏，5)已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是______.4．某学校想要调查全校同学是否知道迄今为止获得过诺贝尔物理学奖的6位华人的姓名，为此出了一份考卷．该卷共有六道单选题，每题答对得20分，答错、不答得0分，满分120分．阅卷完毕后，校方公布每题答对率如下：
则此次调查全体同学的平均分数是_______分. 66 [解析] 假设全校一共有x人，则每道题答对人数及总分分别为：互动探究学案命题方向1 ?平均数、众数、中位数 某学校对高一年级经过初步比较后，决定从高一年级(1)、(4)、(8)班这三个班中推荐一个班为市级先进班集体的候选班，现对这三个班进行综合素质考评，下表是它们五项素质考评的得分表：(以分为单位，每项满分为10分)请问各班五项考评分的平均数、中位数和众数中哪个统计量不能反映三个班的考评结果的差异？并从中选择一个能反映差异的统计量将它们的得分进行排序．
[思路分析] 正确理解平均数、中位数和众数的概念是解题关键.
[解析] 设P1、P4、P8顺次为三个班考评分的平均数；
W1、W4、W8依次为三个班考评分的中位数；
Z1、Z4、Z8顺次为三个班考评分的众数．『规律总结』 (1)平均数与每一个样本数据有关，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，而中位数、众数都不具有该性质．
(2)众数考查各数据出现的次数，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题.
(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响．中位数可能出现在所给数据中，也可能不在该组数据中．〔跟踪练习1〕 (1)某地举行了一次数学竞赛，为了估计平均成绩，在抽取的部分试卷中，有1人得10分，3人得9分，8人得8分，12人得7分，9人得6分，7人得5分，则平均成绩是_____________.
(2)在如图所示的茎叶图表示的数据中，众数和中位数分别是( )
A．23与26
B．31与28
C．24与30
D．26与306.85分 B 命题方向2 ?平均数、中位数和众数的应用 据报道，某公司的33名职工的月工资如下(单位：元)
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到1元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合问题谈一谈你的看法．[思路分析] 求平均数、中位数、众数可根据定义和公式直接求出．『规律总结』 深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点，结合实际情况，灵活运用．若平均数受数据中的极端值影响较大时，则妨碍了对总体估计的可靠性，这时用众数、中位数来表示这组数据的“集中趋势”．〔跟踪练习2〕 某公司销售部有销售人员15人，为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：
(1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；
(2)假设销售部负责人把每位销售人员的月销售定额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额．命题方向3 ?方差与标准差的计算 求下列一组数据的平均数、方差、标准差．
900,920,900,850,910,920
[思路分析] 以上各个数据都比较大，但都集中在900左右，可先将各个数据减去900得到一组新数据，求这组新数据的平均数和方差，再解答本题．
D A 为了试验杂交水稻和普通水稻在产量和稳定程度上的区别，随机在两块试验田里分别抽取5穗，其中杂交水稻每穗粒数分别为49,50,51,50,50，而普通水稻每穗粒数分别为48,52,43,57,50，试比较这两种水稻哪种更稳定．[辨析] 对方差理解错误，方差越小，表示波动越小，越稳定．
[点评] 正确理解方差的意义，熟练掌握此类题目的解法．方差、标准差在实际生活中的应用 从甲、乙两种玉米的苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位：cm)
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
问：(1)哪种玉米的苗长得高？
(2)哪种玉米的苗长得齐？『规律总结』 1.方差(标准差)越大，说明数据的离散性越大；方差(标准差)越小，说明数据的离散性越小，数据越集中、稳定．
2．用样本的数字特征估计总体的数字特征时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差，这些偏差是由样本的随机性引起的．虽然样本的数字特征并不是总体真正的数字特征，而是总体的一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本容量很大时，样本的数字特征稳定于总体的数字特征．1．重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：
则这组数据的中位数是( )
A．19 B．20
C．21.5 D．23
[解析] 根据茎叶图的显示易知中位数为20.B 2．高一某班第7学习小组在期末的数学测试中，得135分的1人，122分的2人，110分的4人，90分的2人，则该学习小组数学成绩的平均数、中位数分别是( )
A．110,110 B．110,111
C．111,110 D．112,111C3．一组数据按从小到大顺序排列为1,2,4，x,6,9，这组数据的中位数为5，那么这组数据的众数为( )
A．4 B．5
C．5.5 D．6D4．如图所示的是甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况的茎叶图，则甲运动员的得分的中位数是_______.34
5．甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为了检验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据为：
甲：99,100,98,100,100,103
乙：99,100,102,99,100,100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．第一章 §4
A级 基础巩固
一、选择题
1.甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( A )
A．63 B．64
C．65 D．66
[解析] 甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数分别是36和27，则中位数之和是36＋27＝63.
2．下列说法正确的是( B )
A．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，标准差则反映数据离平均值的波动大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和
D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高
[解析] 平均数、中位数、众数都是反映一组数据的“集中趋势”的统计量，方差、标准差、极差都是反映数据的离散程度的统计量，故选B．
3．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为( C )
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A． B．3
C． D．
[解析] 这组数据的平均数是：
＝3，方差＝[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2]＝，则这100人成绩的标准差为＝.
4．在一次歌声大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：
9．4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( D )
A．9.4 0.484 B．9.4 0.016
C．9.5 0.04 D．9.5 0.016
[解析] 去掉一个最高分和一个最低分后剩余分数为9.4，9.4，9.6,9.4,9.7.
其平均数为＝＝9.5.
方差s2＝(0.12＋0.12＋0.12＋0.12＋0.22)
＝×0.08＝0.016.
5．某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分，标准差是s，后来发现记录有误，某甲得70分误记为40分，某乙得50分误记为80分，更正后重新计算得标准差为s1，则s与s1之间的大小关系是( C )
A．s＝s1 B．sC．s>s1 D．不能确定
[解析] ∵更正前后的平均数均为70，
∴更正前的s2＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(40－70)2＋(80－70)2]，
更正后的s＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(70－70)2＋(50－70)2]，
∴s2>s，即s>s1.
6．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( D )
A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
[解析] 由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20 ℃时月份只有3个，D错误．
二、填空题
7．(2018·江苏，3)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为_90__.
[解析] 这5位裁判打出的分数分别是89,89,90,91,91，因此这5位裁判打出的分数的平均数为＝90.
8．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a－b＝_8__.
[解析] 由茎叶图知a＝19，b＝11，∴a－b＝8.
三、解答题
9．高一·三班有男同学27名、女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．
(1)求这次测验全班平均分(精确到0.01)；
(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？
(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？
[解析] (1)利用平均数计算公式＝(82×27＋80×21)≈81.13(分)．
(2)∵男同学的中位数是75，
∴至少有14人得分不超过75分．
又∵女同学的中位数是80，
∴至少有11人得分不超过80分．
∴全班至少有25人得分低于80分．
(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明得分男同学中两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大．
10．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2
3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1
2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3
1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2
2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据绘制茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
[解析] (1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.由观测结果可得
＝×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，
＝×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.
由以上计算结果可得＞，因此可看出A药的疗效更好．
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．
B级 素养提升
一、选择题
1．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
则7个剩余分数的方差为( B )
A． B．
C．36 D．
[解析] 由图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.故s2＝[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝.
2．如果数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，则3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数和方差分别是( C )
A．和s2 B．3和9s2
C．3＋2和9s2 D．3＋2和12s2＋4
[解析] 3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数是3＋2，由于数据x1，x2，…，xn的方差为s2，所以3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的方差为9s2，所以选择C．
3．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3，下列说法正确的有( D )
①甲队的技术比乙队好；
②乙队发挥比甲队稳定；
③乙队几乎每场都进球；
④甲队的表现时好时坏
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] s甲>s乙，说明乙队发挥比甲队稳定，甲>乙，说明甲队平均进球多于乙队，但乙队平均进球数为1.8，标准差仅有0.3，说明乙队的确很少不进球．
4．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则( D )
A．me＝mo＝ B．me＝mo<
C．me[解析] 30个数中第15个数是5，第16个数是6，故中位数为＝5.5，众数为5，＝＝，
所以mo二、填空题
5．某企业职工的月工资数统计如下：
月工资数(元)
10 000
8 000
5 500
2 500
1 600
1 200
900
600
500
得此工资人数
1
3
3
8
20
35
45
3
2
经计算，该企业职工工资的平均值是1 565元，中位数是_1_200__元，众数是_900__元．
如何选取该企业的月工资代表数呢？企业法人主张用平均值，职工代表主张用众数，监督部门主张用中位数．
请你站在其中一立场说明理由：_企业法人主张用平均值是为了显示本企业员工的收入高__.
[解析] 用中位数与众数的定义易求得答案．
6．已知样本7,8,9，x，y的平均数是8，标准差是，则xy的值为_60__.
[解析] 由已知得7＋8＋9＋x＋y＝5×8，
则x＋y＝16，
所以x2＋y2＋2xy＝256.
又[(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(x－8)2＋(y－8)2]＝2，
整理，得x2＋y2＝16(x＋y)－120＝136，
所以136＋2xy＝256，则xy＝60.
三、解答题
7．对甲、乙两名划艇运动员在相同条件下进行6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下：
甲：27,38,30,37,35,31；
乙：33,29,38,34,28,36.
试比较这两名划艇运动员谁更优秀．
[解析] 甲＝(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，
s＝[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67；
乙＝(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33，
s＝[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67.
∴甲＝乙，s>s.
这说明虽然两人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀．
8．个体户李某经营一家快餐店，下面是快餐店所有人员8月份的工资表：
李某
大厨
二厨
采购员
杂工
服务生
会计
30 000元
4 500元
3 500元
4 000元
3 200元
3 200元
4 100元
(1)计算所有人员8月份的平均工资；
(2)计算出的平均工资能否反映打工人员这个月收入的一般水平？为什么？
(3)去掉李某的工资后，再计算平均工资．这个平均工资能代表打工人员这个月的收入水平吗？
(4)根据以上计算，以统计的观点，你对(3)的结果有什么看法？
[解析] (1)这7人8月份的平均工资是1＝×(30 000＋4 500＋3 500＋4 000＋3 200＋3 200＋4 100)＝7 500(元)．
(2)计算出的平均工资不能反映打工人员这个月收入的一般水平．理由：可以看出，打工人员的工资都低于该平均工资，因为李某的工资特别高，所以他的工资对平均工资的影响较大，同时他也不是打工人员．
(3)去掉李某的工资后的平均工资2＝×(4 500＋3 500＋4 000＋3 200＋3 200＋4 100)＝3 750(元)．这个平均工资能代表打工人员这个月的收入水平．
(4)从本题的计算可以看出，个别特殊值对平均数有很大的影响，因此选择样本时，样本中尽量不用特殊数据．
9．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验. 选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．
试验时每大块地分成8小块，即n＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：
品种甲
403
397
390
404
388
400
412
406
品种乙
419
403
412
418
408
423
400
413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
[解析] 品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
甲＝(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400，
s＝(32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62)＝57.25.
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
乙＝(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，
s＝[72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12]＝56.
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．
