人教B版 高中数学 选修2-1 2.1.1曲线与方程的概念(共32张PPT)

(共32张PPT)
2.1 曲线与方程
人教B版 选修2-1 2.1.1 曲线与方程的概念
使同学们对曲线与方程有更系统更完整的认识.
培养同学们分析曲线的能力.




教学目标
知识与能力
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.
通过对圆与方程的感性认识，坐标法研究曲线的方法，进一步学习曲线与方程.

过程与方法
情感态度与价值观
掌握曲线的方程，曲线的方程的概念.



使同学们理解曲线的方程的概念.
分析曲线的能力.



教学重难点
重点
难点
我们知道，在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线的方程是x - y=0，这就是说，如果点 M（x0，y0）是这条直线上的任一点，它到坐标轴的距离相等，
即 x0 = y0，那么，
点 M（ x0，y0 ）
是方程 x - y=0的解.




M(x0，y0)
反过来，如果（ x0，y0 ）是方程x - y=0的解，即x0=y0， 那么以这个解为坐标的点到坐标轴的距离相等.




M(x0，y0)
一般的，在直角坐标系中，如果某曲线 C（ 看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个一元二次方程 : f（x，y）=0的实数解建立如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线
上的点.
那么，这个方程叫做曲线方程；这条
曲线叫做方程的曲线.
证明：与两条坐标轴的距离的积是常数k（k>0）的点的轨迹方程是xy=±k的解.








M
R
O
Q
图2.1-3

例1：
证明：
（1）如图2.1-3，设M（x0，y0）
是轨迹上的任一点.
因为点M与x轴的距离为|y0|，
与y轴的距离为|x0|，所以
|x0| · |y0|=k，即（x0，y0）是
方程 x y=±k的解.








M
R
O
Q
如图2.1-3
（2）设点M1的坐标（x1，y1）是方程xy=±k 的解则x1y1=±k 即|x1|·|y1|=k，|x1|，|y1|正是点M1到纵轴和横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.
由（1）（2）可知x y =±k是与两条坐标的距离的积为常数k（k>0）的点的轨迹方程.
已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（-2，0），C（2，0）.
问：中线AO（O为原点）所在直线的方程是 x = 0吗？为什么？

例2：
解：是，由图可知，等腰三角形ABC的边BC上的中线AO所在直线的方程是：x=0
A
B
C







O
x
y
这里的“曲线”指的是三角形ABC中BC的中线所在的直线x=0是这条曲线的方程.

在理解什么是“曲线”时，要注意曲线是满足条件的图形；在理解“方程”时，要注意方程包含对其中未知数的限制.
比如本例题中，三角形ABC中BC的中线的方程是x=0（0≥y≥3）.
注意！


课堂小结
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线
上的点
那么，这个方程叫做曲线方程；
“曲线方程”的概念 ：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线
上的点
那么，这条曲线叫做方程的曲线.
“方程的曲线”的概念 ：


课堂练习
1、已知：曲线C上的任意一点P到点F（0，1）的距离比它到直线m:y=4的距离小3.不经过坐标原点的直线与曲线l相交于两个不同点A,B，且以AB为直径的原经过坐标原点O
（1）求曲线方程C的方程；
（2）求证：直线l过顶点，并求出该顶点的坐标；
（3）三角形ABF的面积是否存在最小值？若不存在请说明理由；
（4）设曲线C在点A、B处发热切线分别为l1，l2，证明l1与l2的焦点必定在定直线m：y=-4上.
解： （1）解法1：依题意，可知，曲线C是“平面内到顶点F（0，1）的距离与到定直线y=-1的距离相等的点的轨迹”，所以它是以F（0，1）为焦点，以直线y=-1为准线的抛物线.
所以曲线C的方程式x2=4y.
（1）解法二：
设点P的坐标为（x，y），依题意指点P必定在直线m的上方，
即y >-4于是 |PF|= |y+4|- 3= y+1，所以 整理得x2=4y
所以曲线C的方程是x2=4y.
它是以F（0，1）为焦点，
以直线y=-1为准线的抛物线.
（2）直线l的斜率显然存在，又直线l不经过坐标原点，故可设直线l的方程为 y=kx+b（b≥0），并设A（x1，y1）， B（x2，y2）
由 ，消去y，整理得
x2- 4kx - 4b=0①
∴ x1+x2=4k②
x1x2=-4b③
若以AB为直径的圆过坐标原点O则
∴x1x2+y1y2=0，
即 ④
将③带入④，
得
解的b=4或b=0（舍去）
所以x1x2=-16，⑤
∴直线l的方程为y=kx+4，
显然，直线l过定点M（0，4）
（3）由弦长公式得

把②⑤带入上式，得

设点F（0，1）到直线l：kx-y+4=0的距离为d，则

∴
∴当k=0时，S△AFB有最小值，是12
∴ △AFB的面积存在最小值，最小值是12.

（4）曲线C的方程可化为

则 ，

所以l1的方程为：

l2的方程为：
⑥
⑦
解⑥⑦联立方程组，得



所以l1与l2的焦点为
M（2k，-4）
它恒定在直线m：y=-4上.


2.下面各对方程中表示的曲线相同的一对是（ ）.
（A） y2=x与y=x
（B）y=x与 y / x=1
（C）｜y｜=｜x｜与y2=x2
（D）y=lgx2与y=2lgx
C
3. 如果命题“坐标满足方程f (x, y)＝0的点都在曲线c上”是不正确的，那么下列命题正确的是（ ）.
A. 坐标满足方程f (x, y)＝0的点都
不在曲线c上
B. 坐标满足方程f (x, y)＝0的点有
些在曲线c上，有些不在曲线c上
C. 曲线c上的点不都满足方程f (x, y)＝0
D. 一定有不在曲线c上的点，其坐标满足
方程f (x, y)＝0
D
4、已知△ABC的面积为4，A、B两点的坐标分别是（－2，0）、（2，0），则顶点C的轨迹方程是
______________ .
y=2和 y =－2
5、 m=－2是直线
(2－m )x＋my+3=0和
直线 x－my－3=0互相垂直的__________________ .
充分而不必要的条件
6、若直线 l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，
l3：ax+y+1=0能围成三角形,求a的取值范围.
解：由l1、l2相交，需要1·a-1·1≠0，得到
a ≠1，此时，解方程组
可解得 .即l1，l2的交点为（-1-a，1），由l1、l3相交，需1·1-a·a≠0,∴a≠±1,
又(-1-a,1) 不∈l3∴a·(-1-a)+1+1≠0,
得a≠1且a≠-2,
综上，a∈R且a≠±1且a≠-2,能保证三交点
(-1-a,1),(1,-1-a)、(-1-a,-1+a+a2)互不重合，所以所求a的范围为
a∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).


解：如图，设围成四边形为OABC，因OABC有外接圆，且∠AOC＝90°，故∠ABC＝90°.
∴两条直线x+3y-7=0,kx – y – 2 = 0互相垂直，(- )·k=-1，即k=3.
7、已知直线x+3y-7=0，
kx-y-2=0和x轴、y轴围成
四边形有外接圆，求k.