人教B版 高中数学 选修2-1 2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质(共31张PPT)

(共31张PPT)
2.1 曲线与方程
人教B版 选修2-1 2.1.2 由曲线求方程、由方程研究曲线的性质
使同学们掌握利用坐标法来求圆锥曲线的方程.
培养同学们分析曲线的能力.




教学目标
知识与能力
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.
通过上节课的学习，进一步体会用坐标法来解决圆锥曲线的几何问题.
过程与方法
情感态度与价值观
掌握曲线的方程，曲线的方程的概念.


使同学们理解曲线的方程的概念.
坐标法求曲线的方程.





教学重难点
重点
难点
我们已经建立了曲线的方程、方程的曲线的概念，再结合前面提到的坐标法，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹.
数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.
解析几何研究的主要问题是：
（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程.
（2）通过曲线方程，研究曲线的性质.

本节课我们主要研究曲线方程的问题.
已知：一条直线l和它上方的一个点F，点F到 l 的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.

例1：
分析：
建立坐标系的时候，一般应当充分利用已知条件中的定点，定直线等，这样可以使问题中的集合特征得到更好的表示从而使曲线方程得到更好的表示，从而使曲线方程的形式简单一些.
解：如图2.1-5，取直线 l为x轴，过点F且垂直于直线l的直线为y轴，建立直角坐标系xOy.
设点M (x, y)是曲线上的任意一点，作MB垂直于x轴，垂足为B，那么
点M属于集合
P={M| |MF|-|MB|=2}.





M
B
O
F
x
y
图2.1-5
由两点的距离公式，
点M适合的条件可表示为根号

将1式移项后两边平方，得
x2+(y-2)2=(y+2)2
化简得y = x2





M
B
O
F
x
y
图2.1-5
由于曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以，曲线的方程应是
y = x2 (x≠0)





M
B
O
F
x
y
图2.1-5
由上述例子，可以看出，结合前面所提及的
坐标法，求曲线方程，一般有以下几个步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x, y)
表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合的条件p的点M的集合
P = { M | p (M) }；
（3）用坐标表示条件 p (M)，列出方程f (x, y)=0；
（4）化方程f (x, y)=0为最简形式；
（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上
一般的，化简前后的方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况可以适当说明.另外，也可以根据情况略去步骤（2），直接列出曲线方程.
接下来，为了巩固这一方法，
我们再来看一个例子…

已知点A(3,0)，点P在圆x2+y2=1
的上半圆周上，∠AOP的平分线交
PA于Q，求点Q的轨迹方程.

例2：






解：设∠AOP=α，α∈(0，π)，则P(cosα，sinα)，∠AOQ=
则OQ直线方程为y=x·tan = kx ①

∴直线PA方程为y= (x-3) ②
由Q满足①②且 k = tan

由②得y=


消去 k 有y=

∴ ,由图知y>0.
故所求Q点轨迹方程为 ：
(y>0)


课堂小结
坐标法求曲线方程的步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x, y)
表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合的条件p的点M的集合
P = { M | p (M) }；
坐标法求曲线方程的步骤（续）：
（3）用坐标表示条件 p (M)，列出方程
f (x, y)=0；
（4）化方程f (x, y)=0为最简形式；
（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.



课堂练习
1. 如图，圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得
试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹方程.







P
M
N





O
O2
O1
解：如图，以直线O1O2为轴，线段O1O2的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为O1(-2,0),O2(2,0)．设P(x，y)，则 PM2=O1P2-O1M2=(x+2)2+y2-1,
同理PN2=(x-2)2+y2-1
因为
所以(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],
即x2-12x+y2+3=0即(x-6)2+y2=33.这就是动点P的轨迹方程.






P
M
N





O
O2
O1
2、与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是____________
解：曲线化为(x-6)2+(y-6)2=2
其圆心到直线x+y-2=0的距离为
所求的最小圆的圆心在直线y=x上，其到直线的距离为 ，圆心坐标为(2,2),标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2.
(x-2)2+(y-2)2=2
3. 倾斜角为60°，且过原点的直线被圆
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)截得弦长恰好等于圆的半径，则a、b、r满足的条件是 ( )




A.
B.
C.
D.
A



r
直线方程为 ，
则圆心(a,b)到直线 x-y=0
的距离为d= ，
又截得弦长恰好等于圆的半
径，故 d = r ，
∴ | a-b|= r，故选A

4.直线l与直线y=1、x-y-7=0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为(1,-1)，则直线l的斜率为( )

D. -
A.
B.
C. -
A
解析： 设P (a,1)，Q (b+7,b)，因PQ的中点为(1，-1)
∴ 解得，
故P为(-2,1),Q为(4，-3)，
5.若点P( a, b)与点Q(b+1,a-1)关于直线 l 对称，
则直线l的方程是_______________
解： x-y-1=0 P、Q关于直线l对称，故
=-1且 PQ中点在l上，
∴ 又PQ中点为
( , )
∴ l的方程为y- ＝x- ，
即x-y-1=0.此题也可将a, b赋特殊值去求直线l.



y - =x -
6.已知圆的(x-2)2+(y-1)2 =16一条直径通过
直线x-2y-3=0被圆截弦的中点，则该直径
所在直线的方程为___________.
解：2x+y-3=0 由圆的几何意义知该直径
与直线x-2y-3=0垂直.故该直径方程为
y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.
2x+y-3=0
7.过圆x2+y2=4外一点P(4，-1)引圆
的两条切线.
求：经过两切点的直线方程.

解：设切点为A、B，则AB⊥OP，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由AP⊥OA可得 kAP kAO=-1，
即
∴x12+y12-4x1+y1=0 ，又x12+y12=4,
∴-4x1+y1+4=0
同理可得，∴AB直线为-4x+y+4=0，即4x-y-4=0.








O
A
B
P
x
y


8.已知点P是直线l上的一点，将直线l绕点P逆时针方向旋转α(0 <α< )所得直线的方程为3x-y-4=0，若继续绕点P逆时针方向旋转 ，则得的方程为
x+2y+1=0，试求直线l的方程.


解：由已知条件知P为直线3x-y-4=0和直线x+2y+1=0的交点,联立两直线方程得
∴

∴P点为(1，-1).
又l与l2垂直，故l的方程为y+1=2(x-1)，即l的方程为2x-y-3=0.