人教B版 选修2-1 高中数学 2.2.1椭圆的标准方程(共44张PPT)

(共44张PPT)

人教B版 选修2-1 2.2.1 椭圆的标准方程

圆锥曲线与方程
教学目标
知识与能力：
理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；
理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；
了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法.
过程与方法：
注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法；
注重探索能力的培养.
情感态度与价值观：
探究方法激发学生的求知欲，培养浓厚的学习兴趣;
进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学习.
教学重难点
椭圆定义的理解及标准方程的推导
重点：
难点：
标准方程的推导
从上述的探究中，我们可以知道：把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离和等于常数.
椭圆：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距.





y
x
M
F1
F2
O
c
c
图2.2-1
类比利用圆的对称性建立圆方程的过程，画出适当的坐标系，建立它的方程.
如图2.2-1，以经过两焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.





y
x
M
F1
F2
O
c
c
图2.2-1
设M（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c>0）,那么焦点F1,F2的坐标分别为（－c，0）（c，0）.又设M与F1，F2的距离等于2a.
由椭圆的定义，椭圆就是集合
P={M||MF1|+|MF2|=2a}.
因为|MF1|= ，|MF2|= ，
所以
化简此方程，将左边的一个根式移到右边，得：
将这个方程两边平方，得
整理得
上式两边再平方，得
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，
整理得
（a2-c2）x2+a2y2=a2(a2-c2),
两边同除以a2(a2-c2),得

由椭圆的定义可知，2a>2c，即a>c，
所以，a2-c2>0.
①




y
x
P
F1
F2
O
图2.2-2
观察与分析
观察图2.2-2，你能从中找出表示a，c，
的线段吗？
由图可知，|PF1|=|PF2|=a，|OF1|=|OF2|=c，|PO|= , 令b=|PO|= ，那么①式就是

（a>b>0） ②
我们把方程②叫做椭圆的标准方程，椭圆上任意一点的坐标都满足此方程.它的焦点在x轴上，两个焦点分别是F1（-c，0），F2（c，0）这里的c2=a2-b2.
y





x
M
F1
F2
O
图2.2-3
如图2.2-3，如果焦点F1,F2在y轴上，且F1,F2的坐标分别为（0，-c），（0，c），a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？

容易知道，此时椭圆的方程是
(a>b>0)
这个方程也是椭圆的标准方程.

例1：
已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点 ，求它的标准方程.
解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
继续解答
（a>b>0）.
由椭圆的定义知
所以
又因为c=2，所以b2=a2-c2=10-4=6.
因此，所求椭圆的标准方程为

例2：
中心在原点，一焦点为F1（0，5）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是 ，求此椭圆的方程.
解：设椭圆的标准方程为：
（a＞b＞0），
则a2＋b2=50…①
又设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0）
∵x0= ，∴y0= －2=－

继续解答
解①，②得：a2=75，b2=25，椭圆为：
×
由
…②


例3：
y





x
O
A
B
M
图 2.2-4
如图2.2-4，设点A,B的坐标分别为（-5，0），（5，0）.直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹方程.















分析
设点M的坐标为（x，y），那么直线AM，BM的斜率就可以用含有x，y的式子表示.由于直线AM,BM的斜率之积是 ，因此可以建立x，y之间的关系式，得出点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标是（-5，0），所以，直线AM的斜率为
继续解答
（x ≠ -5）；
同理，直线BM的斜率
（x ≠ 5）.
由已知有
（x≠±5）
化简，得点M的轨迹方程为
（ x≠±5 ）.
课堂小结
1. 椭圆：
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
2. 椭圆的标准方程：
（1）焦点在x轴上：
（a>b>0）
焦点坐标分别为（-c，0），（c，0）.
（2）焦点在y轴上：
(a>b>0)
焦点坐标分别为（0，-c），（0，c）.
课堂练习
1. 已知△ABC的顶点A，B在椭圆上，C在直线l:y=x+2上，且AB∥l.
（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.
继续解答
解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x.
设A，B两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).
由 得x=±1，
所以
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以
（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m.
由 得 因为A，B在椭圆上，
所以　　　
设A，B两点坐标分别为（x1,y1），（x2,y2）.
则　　　
所以　　　 又因为BC的长等于点（0,m）到直线l的距离，即
所以　　　 所以当m=-1时，AC边最长.
（这时△ =-12+64>0）
此时AB所在直线的方程为y=x-1.
（1）求椭圆C的方程； （2）若AB为垂直与x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于N，直线AF与BN交于点M.
①求证：点M恒在椭圆C上；
②求面积的最大值.
2. 如图，椭圆的一个焦点为F（1，0）且过点（2，0）.
解：（1）由题设a=2,c=1,从而 所以方程为：
（2）①有F(1,0),N(4,0); 设A（m,n），则
B（m,-n），AF与BN得方程分别为：，

设交点M坐标为 ，则
；点M恒在椭圆C上
②设AM的方程为x=ty+1,带入 ，
得：
设 ，则有
则 ，
令 则
所以当 时， 有最大值3，此时AM过点F.
有最大值为 .
3. 如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围.

解：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以, 即1＝ . 因此，椭圆方程为





(Ⅱ)设 (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，


(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，
设直线AB的方程为： 整理得 所以




因为有 ，所以∠AOB恒为钝角.
即 恒成立.



又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m ∈ R恒成立，
即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对m ∈ R恒成立.




当m ∈ R时，a2b2m2最小值为0，所以 a2- a2b2+b2<0.
a2因为a>0,b>0,所以a0,
解得a> 或a< (舍去)，a> ,
综合（i）(ii)，a的取值范围为（ ，+∞）.
4. 填空题
（1）设是椭圆 上的一点，F1F2是椭圆的两个焦点，则 的最大值为 ；最小值为 .
4
1
（2）椭圆 的离心率为 ，则m= .
3或
5.选择题

（1）椭圆 的焦距是（ ）
A．2 B．
C． D．
（2）若椭圆的两焦点为（－2，0）和
（2，0），且椭圆过点 ，则椭圆
方程是（ ）
A． B．
C． D．
A
D
6.解答题




解： ∵e2=
∴椭圆方程可设为： 设A（x，y）是椭圆上任一点，则：│PA│2=x2+（y－ ）2=－3y2－3y+4b2+ f（y）（－b≤y≤b）

(1)设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e= ，已知点P（0， ）到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程.




讨论：1°、－b＞－ 0＜b＜ 时，│PA│ = f（－b）=（b＋ ）2
=
但b＞ ，矛盾.不合条件.
2°、－b≤－ b≥ 时，│PA│ = f（－ ）=4b2+3=7 b2=1
∴所求椭圆为：
（2）椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
解：（1）当 A（2，0）为 长轴端点时，
，
　　椭圆的标准方程为： ；
　 （2）当 A（2，0）为短轴端点时，
，
椭圆的标准方程为： ；




（3）求与椭圆 ＋ =1有相等的焦距，且一条准线方程为12x-169=0的椭圆的标准方程.




解：c2=200-56=144，c=12，
又 = ，∴a=13，b=5.
故所求为 ＋ =1.