人教B版 选修2-1 高中数学 2.2.2椭圆的几何性质(共39张PPT)

(共39张PPT)

人教B版 选修2-1 2.2.2 椭圆的几何性质

圆锥曲线与方程
教学目标
知识与能力：
了解用方程的方法研究图形的对称性；
理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；
掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；
过程与方法：
注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法，注重培养学生的能力；
注重探索能力的培养.
情感态度与价值观：
在合作、互动的教学氛围中，培养学生科学探索精神，激励学生创新．
让学生参与利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣.
教学重难点
重点：
难点：
认识生活中的椭圆，及其特点.
掌握椭圆的简单几何性质.
一.范围：




o
x
y
图2.2-5
由
同理可得：|y|≤b

说明：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形之中，如图2.2-5.
所以椭圆上点的坐标都适合不等式：
≤1
即: |x|≤a
二. 对称性:



?
F1
?
F2
x
y
O
图2.2-6
经过观察图2.2-6，我们可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.
在椭圆
（a>b>0）把y换成-y方
程不改变,所以曲线关于x轴对称.
若把x换成-x方程也不改变,所以曲线关于y轴对称.
若把x换成-x同时把y换成-y方程不变,所以曲线关于原点对称.
结论

由上述可知，椭圆关于x轴、y轴对称，坐标轴就是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心.对称中心叫做椭圆的中心.
三. 顶点:
在椭圆
（a>b>0）中，令x=0，
那么y= ,
说明椭圆与 y轴的交点是（0， ±b ）
±b
令 y=0，得 x= ,
说明椭圆与 x轴的交点是
±a
椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点.
如右图，椭圆与对称轴有四个交点：A1、A2、B1、B2



o
x
y
B1(0,b)
B2(0,-b)
A1
A2
（±a ，0 ）.
且A1、A2、B1、B2这四个交点叫做椭圆的顶点.
线段A1A2叫做椭圆的长轴，它的长等于2a， a叫做椭圆的长半轴长.
线段B1B2叫做椭圆的短轴，它的长等于2b， b叫做椭圆的短半轴长.



o
x
y
B1(0,b)
B2(0,-b)
A1
A2

a
b
四. 离心率：



图2.2-6
观察图2.2-6，我们发现椭圆的扁平程度不一，那么用什么量可以刻画椭圆的扁平程度呢？
我们接下来讲的离心率就可以刻画.
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做离心率. 用e表示，记做e= .



y
x
O
图2.2-7
如图2.2-7，椭圆
（a>b>0）
的长半轴为a，半焦距为c.保持长半轴a不变，改变椭圆的半焦距c，可以发现，c越接近a，椭圆越扁平.所以用a、c这两个量可以刻画椭圆的扁平程度.
1. 离心率的取值范围：
因为a>c> 0，所以1>e>0.
2. 离心率对椭圆形状的影响：
1）e 越接近 1, c 就越接近 a, 从而 b就越小, 椭 圆就越扁.
2）e 越接近 0, c 就越接近 0, 从而 b就越大, 椭 圆就越圆.
3）当且仅当a=b时，c=0，这时这两个焦点重合，图形变成圆，它的方程为x2+y2=a2.

例1：
解：由方程可知，a=4，b=3，则c=
求椭圆 的离心率、顶点坐标.
所以这个椭圆的离心率e=
顶点坐标为A1（4，0），A2（-4，0），B1（0，3），B2（0，-3）

例2：
求满足长轴与短轴之和为２０，焦距为
的椭圆方程.





解：当焦点在x轴上时，　　　　　　　　　　　　　
设所求椭圆的方程为
由题意，得

即

解得a=6，b=4


继续解答
所以焦点在x轴上的椭圆的方程为
同理可求当焦点在y轴上椭圆的方程为
因此，所求的椭圆的方程为
和

例3：
l





y
x
O
F
.
M
d
H

∟
图2.2-8
点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线l： 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹.
解：设d是点M到直线l： 的距离，根据题意，点M的轨迹就是集合
继续解答
由此得
将上式两边平方，并化简，得9x2+25y2=225，
即
所以，点M的轨迹是长轴、短轴分别为10、6的椭圆.（图2.2-8）
l





y
x
O
F
.
M
d
H

∟
图2.2-8
课堂小结
1. 范围：
椭圆 （a>b>0）位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框内.
2. 对称性：
椭圆关于x轴、y轴都是对称的，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心是椭圆的中心.
3. 顶点：
椭圆与它的对称轴x轴，y轴的四个交点叫做椭圆的顶点.



o
x
y
B1(0,b)
B2(0,-b)
A1
A2
椭圆 顶点坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0）,B1（0，-b），B2（0，b）如图所示.
4. 离心率
把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用e表示，即e= ，取值范围为0离心率对椭圆形状的影响：
1）e 越接近 1, c 就越接近 a, 从而 b就越小, 椭 圆就越扁.
2）e 越接近 0, c 就越接近 0, 从而 b就越大, 椭 圆就越圆.
3）当且仅当a=b时，c=0，这时这两个焦点重合，图形变成圆，它的方程为x2+y2=a2.
课堂练习




1. 设椭圆 （a>b>0）的左右焦点分别为F1,F2，离心率 ，右准线为l，M,N是l上的两个动点，
（Ⅰ）若 ，求a，b的值；
（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时， 与
共线.


解：由a2-b2=c2与 ，得 a2=2b2 ，
，l的方程为
设


则
由
得
①



（Ⅰ）由
，得
②
③
由①、②、③三式，消去y1，y2，并求得a2=4 故







（Ⅱ）
当且仅当
或
时，
|MN|取最小值
此时，
故
与
共线.

2 . 已知△ABC的顶点A，B在椭圆 上，C在直线l:y=x+2上，且AB∥l.
（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.




解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x.
设A，B两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).
由
得
所以
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，
所以 h= ,S△ABC= |AB|·h=2


（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m.
由
得



因为A，B在椭圆上，所以
设A，B两点坐标分别为（x1,y1），（x2,y2）.
则
所以
又因为BC的长等于点（0,m）到直线l的距离，即
所以
所以当m=-1时，AC边最长.（这时△=-12+64>0）
此时AB所在直线的方程为y=x-1.




3. 设椭圆 （a>b>0）过点 ，且着焦点为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当过点 的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时，在线段A,B上取点Q，满足|AP|·|QB|=|AQ|·|PB|，证明：点Q总在某定直线上.








解：(1)由题意： ，解得 ，
所求椭圆方程为










（2）设点Q、A、B的坐标分别为
由题设知
均不为零，记
则
且
又A，P，B，Q四点共线，从而
于是







从而
……（1）
……（2）
又点A、B在椭圆C上，即
（1）+（2）×2并结合（3），（4）得
即 点总在定直线 上.
4.填空题

（1）已知椭圆中心在原点，一个焦点是F （－2 ，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_____________.
（2）分别是椭圆的左右焦点，AB为其过点且斜率为1的弦，则的值为 _________.
5.选择题
（1）方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（ ）
A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）
D
（2）若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
D
6.解答题




（1）椭圆 （a ＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且 ，其中O为坐标原点.
Ⅰ.求 的值；
Ⅱ.若椭圆的离心率e满足 ≤e≤ ，求椭圆长轴的取值范围.






解：设P（x1，y1），由OP ⊥ OQ
x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0
又将y=1-x代入，
①
代入①化简得



Ⅱ. 又由Ⅰ.知 ，

∴长轴 2a ∈ [ ].
（2）中心在原点，一焦点为F1（0，5 ）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是 ，求此椭圆的方程.
解：设椭圆： （a＞b＞0），
则a2＋b2=50…①
又设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0）
∵x0= ，∴y0= －2=－

由
②
解①，②得：a2=75，b2=25，椭圆为：
（3）椭圆C： （a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|= ，|PF2|= ．
Ⅰ. 求椭圆C的方程；
Ⅱ. 若直线l过圆x2＋y2＋4x－2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．

解： Ⅰ.用椭圆定义及基本量法可以求得椭圆方程为 ；
Ⅱ.设A(x1,y1)、B(x2,y2),直线l过点M（－2，1），设直线方程为y=k(x＋2)＋1，代入椭圆方程得（4＋9k2)x2＋(36k2＋18k)x＋36k2＋36k－27=0,由已知得A，B关于M（－2，1）对称，故
，解得k= ，所求直线方程为8x－9y＋25=0,经检验所求直线方程符合题意．