人教B版 选修2-1 高中数学 第三章 3.1.4空间向量的直角坐标运算 教学课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
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复习平面向量基本定理
如果两向量a，b不共面，那么对平面任一向量p，均存在有序实数组{x，y}，使得p=xa+yb.











当向量a垂直于向量b时，这种分解叫做平面向量的正交分解.


平面上向量的这些性质能推广到空间吗？
3.1.4空间向量的直角坐标运算
教学目标


知识目标
1. 了解空间向量基本定理及其意义；
2. 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;
3. 能够在简单问题中选用空间三个不共线向量作为基底表示其他向量.
能力目标
感受从特殊到一般的推导方式.
情感目标
承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值.
教学重难点


重点
难点
空间向量的基本定理.
（1）空间向量的正交分解;
（2）空间向量的基本定理及其应用.
类比平面向量的正交分解，你能得出空间向量的正交分解吗？
探究
设i，j，k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O.对于空间任意一个向量p=OP，设Q为点P在i，j所确定的平面上的正投影.















x
z
Q
P
i
j
k
O
y











x
z
Q
P
y



i
j
k
O



由平面向量基本定理可知，在OQ,k所确定的平面上，存在实数z，使得OP=OQ+zk.










x
z
Q


y



i
j
k
O



在i，j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x，y），使得OQ=xi+yj.












x
z
Q
P


y



i
j
k
O



OP=OQ+zk，OQ=xi+yj，从而OP=OQ+zk=xi+yj+zk












空间向量的正交分解
空间向量的正交分解与平面向量的正交分解相似，区别在于分解的结果中多了“一项”.
注意
由上述证明可知，如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量p，存在一个有序实数组{x，y，z}，使得p=xi+yj+zk.称xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量.














类比平面向量基本定理，你能得出空间向量基本定理吗？
探究










O
A
B
C
A'
B'
P'
P
设a,b,c不共面，过点O作OA=a，OB=b，OC=c，OP=p；过P作直线PP'平行于OC，交平面OAB与点P'；在平面OAB中，过点P’作直线P'A'//OB，P'B'//OA.





















O
A
B
C
A'
B'
P'
P
于是存在三个实数x,y,z，使
OA'=xOA=ya,OB'=yOB=yb,P'P=zOC=zc,








OP=OA'+OB'+P'P=xOA+yOB+zOC.







所以，p=xa+yb+zc.




空间向量基本定理
定理
如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得




p=xa+yb+zc.




注意
空间向量基本定理说明，用空间三个不共面已知向量组{a,b,c}可以线性表示出空间任意一个向量，并且表达的结果是唯一的.



基底和基向量



由空间向量基本定理，如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}.








c

b

a


基向量



c

b

a

集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}可以看做是由向量a,b,c生成的.
{a,b,c}叫做空间的一个基底（base），a,b,c都叫做基向量（base vector）.














注意
对于基底{a,b,c}需要明确以下几点：



1.向量a,b,c不共面；
2.空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的一个基底；
3.由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
4.一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.





设e1,e2,e3为有公共点O的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以O为原点，分别以e1,e2,e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.












e1
e2
e3
x
y
z
O









e1
e2
e3
x
y
z
O




p

对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP=p.



P
这样，我们就有了从正交基底到空间直角坐标系的转换.
由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x,y,z}，使得p=xe1+ye2+ze3.
把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标，记做p=(x,y,z).此时，向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标（x,y,z）.










计算一下
计算单位正交基之间的数量积：e1?e2,e1?e3,e2?e3,e1?e1,e2?e2,e3?e3.












e1?e2=e1?e3=e2?e3=0.
e1?e1=e2?e2=e3?e3=1.




























A

D

B

C

A1

B1

D1

E

F

C1

如图正方体ABCD-A'B'C'D'，点E,F分别是上底面A'C'和侧面CD'的中心，若满足AF-AD=xAB+yAA'，求x,y的值.?




例题
所以，










课堂小结



1.空间向量基本定理.
在空间，具有大小和方向的量如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p=xa+yb+zc.








2.基底与基向量.
空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的一个基底.一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.
3.空间向量的正交分解.
能从正交基底到空间直角坐标系转换.
课堂练习





1.已知空间四边形ABCD，连结AC,BD，设M,G分别是BC,CD的中点，则MG-AB+AD等于（???）







2.设e1,e2是平面上两个不共线向量，已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2，若A,B,D三点共线，则k=_______________.











B
-8










A
B
C
O
M
N
Q
P
3.如下图，M,N分别为四面体OABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点.用向量OA,OB,OC表示OP和OQ.


















A
B
C
O
M
N
Q
P

















解答










A
B
C
O
M
N
Q
P

















继续