人教版必修二第二章2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课件(共26张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版必修二第二章2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课件(共26张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 725.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-02-08 20:50:31 | ||
图片预览
文档简介
(共26张PPT)
2.1.2 空间中直线与直线之间
的位置关系
1.理解空间两直线的位置关系，并掌握异面直线的
定义.（重点）
2.掌握平行公理、等角定理及其推论，并会应用它们
去解决简单问题.（重点）
3.理解异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所
成的角. （难点）
重庆黄桷湾立交桥
A
B
C
D
六角螺母
两条直线既不平行也不相交
m
m
m′
图1
图2
l
l
m′
一、空间两直线的位置关系
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行、空间中两直线之间的这种关系称为异面直线.
l′
P
l′
的两条直线叫做异面直线.（既不相交也不平行的两条直线）
我们把不同在任何一个平面内
1.异面直线
注：概念应理解为:
“经过这两条直线无法作出一个平面” .
或 “不可能找到一个平面同时经过这两条直线”．
注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定 是异面直线, 它们可能相交,也可能平行.
判断：
直线m和l是异面直线吗?
α
β
l
m
m
l
(1)
(2) ,则 a与b是异面直线.
(3)a,b不同在平面α内,则a与b是异面直线.
不是
是
错
错
巩固练习
①从有无公共点的角度
有且仅有一个公共点——相交直线
在同一平面内——
相交直线
②从是否共面的角度
没有公共点——
平行直线
异面直线
不同在任何一个平面内——异面直线
平行直线
空间两条直线的位置关系
平行
异面
相交
异面
巩固练习
在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那
么这两条直线互相平行.在空间中，是否有类似的规律？
如图,长方体ABCD-A′B′C′D′中, BB′∥AA′, DD′∥AA′,那么BB′与DD′平行吗?
问题探究
BB′与DD′平行
公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据.
a∥b
c∥b
a∥c
符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,
若
2.?空间两平行直线
例1：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
A
B
D
E
F
G
H
C
证明：
连接BD.
因为 EH是△ABD的中位线，
所以EH∥BD,且EH= BD.
同理，FG∥BD，且FG= BD.
因为EH∥FG，且EH =FG，
所以四边形EFGH是平行四边形.
应用举例
[拓展1] 若E，F，G,H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，
CD，DA上的中点，且AC＝BD，则四边形EFGH为 .
[拓展2] 若E，F，G,H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，
CD，DA上的中点，且AC⊥BD，则四边形EFGH为 .
[拓展3] 若E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，
CD，DA上的中点，且AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH
为 .
(以上三个问题你会证明吗？不妨一试)
菱形
矩形
正方形
在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”.在空间中,结论是否仍然成立呢?
观察思考：如图,∠ADC与∠A′D′C′，∠ABC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
问题探究
∠ADC与∠A′D′C′相等，∠ABC与∠A′B′C′相等.
3.?等角定理
定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点
O，过O点分别作 a、b的平行线 a′和 b′， 则这两条线所成的锐角θ（或直角），称为异面直线a，b所成的角.
a
b
P
a′
b′
O
θ
？
O
a′
平移
若两条异面直线所成的角为90°，则称它们互相垂直.
异面直线a与b垂直也记作a⊥b.
异面直线所成的角θ的取值范围：
例2 已知正方体ABCD－A′B′C′D′.
（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
（2）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
解:（1）由异面直线的定义可知，
与直线BA′成异面直线的有直线B′C′，AD,CC′,DD′,DC,D′C′.
应用举例
(2)直线
与直线 垂直.
分别
例2 已知正方体ABCD－A′B′C′D′.
（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
（2）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
(1)求两异面直线所成的角的一般步骤：
①作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线
所成的角；
②证：证明作出的角就是要求的角；
③求：求角的值，常利用解三角形．
可用“一作二证三计算”来概括．
(2)平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角
的补角，要注意识别这种情况．
【提升总结】
1. 判断:
（1）平行于同一直线的两条直线平行.（ ）
（2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ?）
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线
平行. （ ）
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.
（ ）????
√
×
√
×
（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行， 那么这两个角相等.（ ）
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行， 那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（???）????
√
×
2.填空：
(1) 空间两条不重合的直线的位置关系有 、
、 三种.
(2)没有公共点的两条直线可能是 直线，也有
可能是 直线.
(3)和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条
的位置关系是 .
(4)过已知直线上一点可以作 条直线与已
知直线垂直.
平行
相交
异面
平行
异面
无数
相交、异面
A
B
G
F
H
E
D
C
2
3.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB= ,AD= , AE=2.
(1)求BC和EG所成的角是多少度?
(2)求AE和BG所成的角是多少度?
(2)因为BF∥AE，
所以∠FBG（或其补角）为所求.
在Rt△BFG中，求得∠FBG = 60°，
所以AE与BG所成的角为60°.
A
B
G
F
H
E
D
C
2
解答：
(1)因为GF∥BC，
所以∠EGF（或其补角）为所求.
在Rt△EFG中，求得∠EGF = 45°，
所以BC与EG所成的角为45°.
异面直线
相交直线
平行直线
异面直线
空间两直线的位置关系
异面直线的定义
异面直线的画法
两异面直线所成的角
一作(找)二证三求
2.1.2 空间中直线与直线之间
的位置关系
1.理解空间两直线的位置关系，并掌握异面直线的
定义.（重点）
2.掌握平行公理、等角定理及其推论，并会应用它们
去解决简单问题.（重点）
3.理解异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所
成的角. （难点）
重庆黄桷湾立交桥
A
B
C
D
六角螺母
两条直线既不平行也不相交
m
m
m′
图1
图2
l
l
m′
一、空间两直线的位置关系
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行、空间中两直线之间的这种关系称为异面直线.
l′
P
l′
的两条直线叫做异面直线.（既不相交也不平行的两条直线）
我们把不同在任何一个平面内
1.异面直线
注：概念应理解为:
“经过这两条直线无法作出一个平面” .
或 “不可能找到一个平面同时经过这两条直线”．
注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定 是异面直线, 它们可能相交,也可能平行.
判断：
直线m和l是异面直线吗?
α
β
l
m
m
l
(1)
(2) ,则 a与b是异面直线.
(3)a,b不同在平面α内,则a与b是异面直线.
不是
是
错
错
巩固练习
①从有无公共点的角度
有且仅有一个公共点——相交直线
在同一平面内——
相交直线
②从是否共面的角度
没有公共点——
平行直线
异面直线
不同在任何一个平面内——异面直线
平行直线
空间两条直线的位置关系
平行
异面
相交
异面
巩固练习
在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那
么这两条直线互相平行.在空间中，是否有类似的规律？
如图,长方体ABCD-A′B′C′D′中, BB′∥AA′, DD′∥AA′,那么BB′与DD′平行吗?
问题探究
BB′与DD′平行
公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据.
a∥b
c∥b
a∥c
符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,
若
2.?空间两平行直线
例1：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
A
B
D
E
F
G
H
C
证明：
连接BD.
因为 EH是△ABD的中位线，
所以EH∥BD,且EH= BD.
同理，FG∥BD，且FG= BD.
因为EH∥FG，且EH =FG，
所以四边形EFGH是平行四边形.
应用举例
[拓展1] 若E，F，G,H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，
CD，DA上的中点，且AC＝BD，则四边形EFGH为 .
[拓展2] 若E，F，G,H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，
CD，DA上的中点，且AC⊥BD，则四边形EFGH为 .
[拓展3] 若E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，
CD，DA上的中点，且AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH
为 .
(以上三个问题你会证明吗？不妨一试)
菱形
矩形
正方形
在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”.在空间中,结论是否仍然成立呢?
观察思考：如图,∠ADC与∠A′D′C′，∠ABC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
问题探究
∠ADC与∠A′D′C′相等，∠ABC与∠A′B′C′相等.
3.?等角定理
定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点
O，过O点分别作 a、b的平行线 a′和 b′， 则这两条线所成的锐角θ（或直角），称为异面直线a，b所成的角.
a
b
P
a′
b′
O
θ
？
O
a′
平移
若两条异面直线所成的角为90°，则称它们互相垂直.
异面直线a与b垂直也记作a⊥b.
异面直线所成的角θ的取值范围：
例2 已知正方体ABCD－A′B′C′D′.
（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
（2）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
解:（1）由异面直线的定义可知，
与直线BA′成异面直线的有直线B′C′，AD,CC′,DD′,DC,D′C′.
应用举例
(2)直线
与直线 垂直.
分别
例2 已知正方体ABCD－A′B′C′D′.
（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
（2）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
(1)求两异面直线所成的角的一般步骤：
①作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线
所成的角；
②证：证明作出的角就是要求的角；
③求：求角的值，常利用解三角形．
可用“一作二证三计算”来概括．
(2)平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角
的补角，要注意识别这种情况．
【提升总结】
1. 判断:
（1）平行于同一直线的两条直线平行.（ ）
（2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ?）
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线
平行. （ ）
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.
（ ）????
√
×
√
×
（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行， 那么这两个角相等.（ ）
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行， 那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（???）????
√
×
2.填空：
(1) 空间两条不重合的直线的位置关系有 、
、 三种.
(2)没有公共点的两条直线可能是 直线，也有
可能是 直线.
(3)和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条
的位置关系是 .
(4)过已知直线上一点可以作 条直线与已
知直线垂直.
平行
相交
异面
平行
异面
无数
相交、异面
A
B
G
F
H
E
D
C
2
3.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB= ,AD= , AE=2.
(1)求BC和EG所成的角是多少度?
(2)求AE和BG所成的角是多少度?
(2)因为BF∥AE，
所以∠FBG（或其补角）为所求.
在Rt△BFG中，求得∠FBG = 60°，
所以AE与BG所成的角为60°.
A
B
G
F
H
E
D
C
2
解答：
(1)因为GF∥BC，
所以∠EGF（或其补角）为所求.
在Rt△EFG中，求得∠EGF = 45°，
所以BC与EG所成的角为45°.
异面直线
相交直线
平行直线
异面直线
空间两直线的位置关系
异面直线的定义
异面直线的画法
两异面直线所成的角
一作(找)二证三求